-
Not Synced
Mums jau bija video
-
Not Synced
par arksinusu un arktangensu,
-
Not Synced
tāpēc pilnam komplektam
apskatīsim arī arkkosinusu.
-
Not Synced
Tāpat kā pārējām inversajām
trigonometriskajām funkcijām
-
Not Synced
arī arkkosinusam pielietojams
tāds pats domu gājiens.
-
Not Synced
Ja es teiktu, ka arkkosinuss –
-
Not Synced
tā, šoreiz runāsim par arkkosinusu –
-
Not Synced
ja es teiktu, ka arkkosinuss no x
ir vienāds ar tētu,
-
Not Synced
tas būtu tas pats, kas teikt,
ka inversais kosinuss no x
-
Not Synced
ir vienāds ar tētu.
-
Not Synced
Tie vienkārši ir divi dažādi veidi,
kā pierakstīt vienu un to pašu,
-
Not Synced
un, līdzko es ieraugu arkkosinusu
vai inverso trigonometrisko funkciju,
-
Not Synced
manas smadzenes to tūlīt pat iztulko šādi:
-
Not Synced
kosinuss leņķim tēta ir vienāds ar x.
-
Not Synced
Šādi manā prātā tiek pārvērstas
abas augšējās izteiksmes.
-
Not Synced
Ja jautājums ir,
cik ir inversais kosinuss no x,
-
Not Synced
manas smadzenes to saprot šādi:
-
Not Synced
kādam leņķim jānosaka kosinuss,
lai iegūtu x?
-
Not Synced
Labi, mēģināsim to izmantot
kādā piemērā.
-
Not Synced
Pieņemsim, ka mums ir arkkosinuss –
-
Not Synced
tā, šeit būtu jābūt diviem c burtiem –
-
Not Synced
pieņemsim, ka mums jānosaka
-
Not Synced
arkkosinuss no mīnus 1/2.
-
Not Synced
Manas smadzenes, protams, saka,
ka tas būs vienāds ar kādu leņķi,
-
Not Synced
un tas ir tas pats, kas teikt,
ka mūsu noslēpumainā leņķa kosinuss
-
Not Synced
ir vienāds ar mīnus 1/2.
-
Not Synced
Un, līdzko esam šo izteikuši šādi,
-
Not Synced
vismaz manām smadzenēm
ir daudz vieglāk to atrisināt.
-
Not Synced
Labi, uzzīmēsim vienības riņķi
-
Not Synced
un paskatīsimies, vai varam
kaut kā tikt uz priekšu.
-
Not Synced
Te būs...
-
Not Synced
tā, šo es varētu uzzīmēt mazliet taisnāk.
-
Not Synced
Patiesībā es varētu izmantot lineālu –
ar lineālu varbūt sanāktu taisnāk.
-
Not Synced
Nē, tas būs par sarežģītu.
-
Not Synced
Labi, te būs mana y ass un šeit – x ass.
-
Not Synced
Varbūt tās nav visu laiku precīzākās asis,
bet būs gana labas.
-
Not Synced
Tālāk zīmēju vienības riņķi,
-
Not Synced
kas gan vairāk izskatās pēc elipses,
bet nu priekšstatam derēs.
-
Not Synced
Leņķa kosinuss
-
Not Synced
atbilstoši vienības riņķa līnijas
definīcijai
-
Not Synced
ir x vērtība uz vienības riņķa līnijas.
-
Not Synced
Tātad – mums ir leņķis,
kura x vērtība ir vienāda ar mīnus 1/2.
-
Not Synced
Atzīmējam 1/2 šeit.
-
Not Synced
Un mums jāaprēķina leņķis tēta.
-
Not Synced
Tas ir leņķis, kas veidojas,
-
Not Synced
taisnei krustojot riņķa līniju vietā,
kur x vērtība ir mīnus 1/2.
-
Not Synced
Lūk, leņķis, ko gribam aprēķināt.
-
Not Synced
Leņķis tēta, kas mums jānosaka.
-
Not Synced
Kā to izdarīt?
-
Not Synced
Ja šeit ir mīnus 1/2,
noskaidrosim šos leņķus.
-
Not Synced
Un mana pieeja ir šāda –
es mēģinu noskaidrot šo leņķi,
-
Not Synced
jo, ja tas leņķis būs zināms,
varēšu to atņemt no 180 grādiem,
-
Not Synced
lai atrastu gaišzilā leņķa platumu,
-
Not Synced
kas tad arī būtu
mūsu uzdevuma atrisinājums.
-
Not Synced
Uzzīmēšu šo trijstūri
mazliet lielākā izmērā.
-
Not Synced
Tas izskatīsies apmēram šādi.
-
Not Synced
Šī mala būs 1/2,
-
Not Synced
savukārt tā būs 1.
-
Not Synced
Cerams, jau ievēroji, ka šis ir trijstūris
ar 30, 60 un 90 grādu leņķiem.
-
Not Synced
Mēs varētu izrēķināt šo malu –
tā būs kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.
-
Not Synced
Lai šo trešo malu izrēķinātu,
vienkārši jāizmanto Pitagora teorēma.
-
Not Synced
Patiesībā izdarīsim to.
-
Not Synced
Apzīmēsim šo malu ar a.
-
Not Synced
Un tad a kvadrātā
plus 1/2 kvadrātā – kas ir 1/4 –
-
Not Synced
būs vienāds ar 1 kvadrātā, kas ir 1.
-
Not Synced
Sanāk, ka a kvadrātā ir vienāds ar 3/4
-
Not Synced
un a ir kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.
-
Not Synced
Tātad ir skaidrs, ka šis ir trijstūris
ar 30, 60 un 90 grādu leņķiem,
-
Not Synced
jo šādā trijstūrī hipotenūza ir 1
-
Not Synced
un malas ir 1/2
un kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.
-
Not Synced
Tāpat mēs zinām,
-
Not Synced
ka pretī kvadrātsaknei no 3 dalīts ar 2
-
Not Synced
atrodas 60 grādu leņķis.
-
Not Synced
Šeit ir 60 grādi,
-
Not Synced
te ir taisnais 90 grādu leņķis,
-
Not Synced
un šis augšējais ir 30 grādi.
-
Not Synced
Bet mūs interesē šis leņķis,
-
Not Synced
un tikko noskaidrojām,
ka tas ir 60 grādus plats,
-
Not Synced
Tātad cik liels ir šis platākais leņķis?
-
Not Synced
Cik liels ir 60 grādu leņķa blakusleņķis?
-
Not Synced
Tā blakusleņķis ir 180 grādus plats,
-
Not Synced
tātad arkkosinuss jeb inversais kosinuss –
-
Not Synced
šo pierakstīsim –
-
Not Synced
arkkosinuss no mīnus 1/2
ir vienāds ar 120 grādiem.
-
Not Synced
Šeit nez kāpēc uzrakstīju 180 –
-
Not Synced
nē, pareizi būs 180 grādi mīnus 60 grādi.
-
Not Synced
Kopējais platums ir 180 grādi,
tātad šis leņķis ie 120 grādi.
-
Not Synced
120 plus 60 būs 180.
-
Not Synced
Ja gribam šo izteikt radiānos,
-
Not Synced
120 grādi jāpareizina ar pī radiāniem
uz katriem 180 grādiem.
-
Not Synced
Grādus varam noīsināt.
-
Not Synced
12 dalīts 18 būs 2/3,
-
Not Synced
tātad šis būs vienāds
ar 2 pī dalīts ar 3 radiāniem.
-
Not Synced
Šis ir vienāds
ar 2 pī dalīts ar 3 radiāniem.
-
Not Synced
Tāpat kā arksinusa un arktangensa video
-
Not Synced
arī šeit varam jautāt...
-
Not Synced
ja 2 pī dalīts ar 3 radiāniem
ir kosinuss no mīnus 1/2 –
-
Not Synced
varam pierakstīt,
ka kosinuss no 2 pī dalīts ar 3 radiāniem
-
Not Synced
ir vienāds ar mīnus 1/2 –
-
Not Synced
tas ir tas pats, kas šajā izteiksmē –
-
Not Synced
taču mēs varētu turpināt
riņķot ap vienības riņķi.
-
Not Synced
Piemēram, šis punkts –
-
Not Synced
arī šī punkta kosinuss,
ja leņķis ir šādā platumā,
-
Not Synced
būtu mīnus 1/2.
-
Not Synced
Tālāk varam apmest 2 pī loku
un atkal nokļūt šeit,
-
Not Synced
tātad ir vesela rinda vērtību,
leņķu, kuru kosinuss būs mīnus 1/2.
-
Not Synced
Tāpēc mums sevi jāierobežo –
-
Not Synced
mums jāierobežo
arkkosinusa funkcijas vērtības,
-
Not Synced
būtībā jāierobežo
funkcijas vērtību apabals.
-
Not Synced
Funkcijas vērtību apgabals
būs šī augšējā puslode –
-
Not Synced
pirmais un otrais kvadrants.
-
Not Synced
Ja sakām, ka arkkosinuss no x
ir vienāds ar tētu,
-
Not Synced
funkcijas vērtību apgabals
atradīsies šeit, augšpusē.
-
Not Synced
Tēta būs lielāka vai vienāda ar 0
-
Not Synced
un mazāka vai vienāda ar 102 pī –
-
Not Synced
atvaino, nevis 2 pī,
bet mazāka vai vienāda ar pī.
-
Not Synced
Šo varam izteikt arī grādos –
-
Not Synced
0 grādu un 180 grādi.
-
Not Synced
Vērtību apgabals atrodas šajā puslodē,
-
Not Synced
un šis ir vienīgais punkts,
-
Not Synced
kurā leņķa kosinuss
būs vienāds ar mīnus 1/2.
-
Not Synced
Šo leņķi nevaram izmantot,
jo tas ir ārpus vērtību apgabala.
-
Not Synced
Un kādas ir iespējamās x vērtības?
-
Not Synced
Jebkura leņķa kosinuss
var būt vērtība starp mīnus 1 un plus 1,
-
Not Synced
tātad mūsu kosinusa funkcijas
definīcijas apgabals x
-
Not Synced
būs mazāks vai vienāds ar 1
-
Not Synced
un lielāks vai vienāds ar mīnus 1.
-
Not Synced
Arī šoreiz pārbaudīsim,
vai mūsu iegūtā vērtība,
-
Not Synced
vai arkkosinuss no mīnus 1/2
patiešām ir 2 pī dalīts ar 2.
-
Not Synced
Slēdzam iekšā kalkulatoru.
-
Not Synced
Mums tātad jānoskaidro,
-
Not Synced
cik ir inversais kosinuss jeb arkkosinuss
no mīnus 1/2 – no mīnus 0,5.
-
Not Synced
Iegūstam šādu decimāldaļskaitli.
-
Not Synced
Pārbaudīsim, vai tas ir tas pats,
kas 2 pī dalīts ar 3.
-
Not Synced
2 reiz pī dalīts ar 3
ir vienāds ar tieši to pašu skaitli,
-
Not Synced
tātad ar kalkulatoru
rezultāts sanāk tāds pats.
-
Not Synced
Taču ar kalkulatoru iegūtais skaitlis,
-
Not Synced
lai gan pareizs,
tomēr nav tik īss un precīzs.
-
Not Synced
Es, piemēram, nezinu, ka šis ir tas pats,
kas 2 pī dalīts ar 3 radiāni.
-
Not Synced
Ar vienības riņķa palīdzību
mēs ieguvām atbildi šādā formā.
-
Not Synced
Noslēgumā kāds interesants jautājums,
-
Not Synced
kas attiecināms
uz visām inversajām funkcijām.
-
Not Synced
Ja es tev jautātu...
-
Not Synced
ņemsim arkkosinusu no x
un atradīsim tā kosinusu.
-
Not Synced
Ar ko tas būs vienāds?
-
Not Synced
No šīs izteiksmes varam izspriest,
-
Not Synced
ka arkkosinuss no x ir vienāds ar tētu.
-
Not Synced
Tas nozīmē, ka kosinuss no tētas
ir vienāds ar x.
-
Not Synced
Tātad, ja arkkosinuss no x
ir vienāds ar tētu,
-
Not Synced
mēs varam aizvietot šo ar tētu,
-
Not Synced
un tālāk jau kosinuss no tētas ir x.
-
Not Synced
Viss šis ir vienāds ar x.
-
Not Synced
Ceru, ka nesamulsināju tevi ar šo.
-
Not Synced
Arkkosinuss no x ir tēta.
-
Not Synced
Atbilstoši definīcijai tas nozīmē,
ka kosinuss no tētas ir vienāds ar x.
-
Not Synced
Šīs izteiksmes ir ekvivalentas.
-
Not Synced
Ja šeit liekam tētu
un meklējam kosinusu no tētas,
-
Not Synced
tam jābūt vienādam ir x.
-
Not Synced
Uzdošu vēl vienu,
mazliet āķīgāku jautājumu.
-
Not Synced
Ja nu es jautātu...
-
Not Synced
Šis būs patiesi ar jebkuru x vērtību.
-
Not Synced
Šis būs patiesi ar jebkuru x vērtību –
-
Not Synced
jebkuru vērtību starp mīnus 1 un 1,
ieskaitot abus galapunktus.
-
Not Synced
Labi, ja nu es tev jautātu –
-
Not Synced
ar ko ir vienāds arkkosinuss
no kosinusa no tētas?
-
Not Synced
Atbilde būtu – tas atkarīgs no tētas.
-
Not Synced
Ja tēta ietilpst
funkcijas vērtību apgabalā,
-
Not Synced
ja tēta ir starp 0 un pī,
proti, mūsu vērtību apgabalā,
-
Not Synced
arkkosinusa vērtību apgabalā,
tad šis būs vienāds ar tētu.
-
Not Synced
Ja attiecībā uz tētu tiek ņemts vērā šis.
-
Not Synced
Bet ja nu mūsu tēta
būtu ārpus šī apgabala?
-
Not Synced
Pamēģināsim.
-
Not Synced
Sāksim ar tētu, kas ietilpst
šajā vērtību apgabalā.
-
Not Synced
Ņemsim arkkosinusu no kosinusa –
-
Not Synced
ņemsim tādu, ko mēs jau zinām, –
-
Not Synced
ņemsim kosinusu no 2 pī dalīts ar 3.
-
Not Synced
Kosinuss no 2 pī dalīts ar 3
-
Not Synced
ir tas pats, kas arkkosinuss
no mīnus 1/2, –
-
Not Synced
kosinuss no 2 pī dalīts ar 3 ir mīnus 1/2,
-
Not Synced
to mēs redzējām iepriekš šajā pašā video.
-
Not Synced
Ejam tālāk un atrisinām šo –
-
Not Synced
tas ir vienāds ar 2 pī dalīts ar 3.
-
Not Synced
Tātad funkcijas vērtību apgabalā,
ja tēta ir starp 0 un pī, tas darbojas.
-
Not Synced
Un tas ir tāpēc,
ka arkkosinusa funkcijas vērtības
-
Not Synced
var atrasties tikai starp 0 un pī.
-
Not Synced
Bet ja nu es jautātu,
-
Not Synced
cik ir arkkosinuss
-
Not Synced
no kosinusa no, piemēram, 3 pī.
-
Not Synced
Uzzīmēsim vienības riņķi.
-
Not Synced
Lūk, arī asis.
-
Not Synced
Kur būs 3 pī?
-
Not Synced
2 pī būs viens pilns
loks ap vienības riņķi,
-
Not Synced
un tad jāapmet vēl viens pusloks jeb pī.
-
Not Synced
Esam nonākuši šeit –
-
Not Synced
tas ir 1,5 reizes apkārt vienības riņķim.
-
Not Synced
Tātad 3 pī ir šeit.
-
Not Synced
Kāda ir šī punkta x koordināta?
-
Not Synced
Mīnus 1.
-
Not Synced
Tātad kosinuss no 3 pī ir mīnus 1.
-
Not Synced
Cik būs arkkosinuss no mīnus 1?
-
Not Synced
Arkkosinuss no mīnus 1.
-
Not Synced
Atceramies, ka funkcijas vērtību apgabals
jeb arkkosinusa vērtību kopa
-
Not Synced
atrodas šajā augšējā puslodē,
-
Not Synced
tas var atrasties tikai starp pī un 0.
-
Not Synced
Tātad arkkosinuss no mīnus 1
būs vienkārši pī.
-
Not Synced
Šis būs pī.
-
Not Synced
Arkkosinuss no mīnus 1 ir pī.
-
Not Synced
Un tas ir loģiski,
-
Not Synced
jo vienīgā atšķirība starp 3 pī un pī
ir vēl viens loks ap vienības riņķi.
-
Not Synced
Mēs savā ziņā nonākam
ekvivalentā vienības riņķa punktā.
-
Not Synced
Man šķita, ka ir vērts uzdot tev
šos divus jautājumus.
-
Not Synced
Šis patiesībā ir visai noderīgs.
-
Not Synced
Kosinuss no arkkosinusa no x
vienmēr būs x.
-
Not Synced
To pašu varam izdarīt ar sinusu.
-
Not Synced
Sinuss no arksinusa no x
arī būs vienāds ar x.
-
Not Synced
Tās ir noderīgas lietas,
-
Not Synced
ko vērts ne tikai iemācīties no galvas,
jo iemācīties var nepareizi.
-
Not Synced
Ir vērts par tām mazliet padomāt,
tad tās nekad neaizmirsīsies.