-
V tomto videu bych chtěl
-
dokázat pravidlo
o změně základu logaritmu,
-
které zní… Raději to napíšu…
-
Pokud chci najít logaritmus x
o základu a,
-
mohu ho najít také pomocí logaritmu
o jiném základu.
-
Toto by se tedy rovnalo
logaritmu x o základu b,
-
tedy o jiném základu, logaritmu x
o základu b děleno
-
logaritmem a o základu b.
-
A to je velice užitečný
výsledek.
-
Pokud vaše kalulačka umí
pouze přirozený nebo
-
dekadický logaritmus,
můžete toto pravidlo
-
použít k vyčíslení logaritmu
o jakémkoli základu.
-
Pokud chcete vyčíslit
logaritmus o základu 2…
-
Ujasním.
-
Pokud chcete vyčíslit
logaritmus o základu
-
například 3 třeba z 25,
-
můžete na kalkulačce
použít log o základu 10
-
nebo o základu 2.
-
Takže toto se bude rovnat
-
log 25 o základu 10…
-
A většina kalkulaček má
pro něj tlačítko.
-
Děleno log 3 o základu 10.
-
Takže toto je aplikace
pravidla o změně základu logaritmu.
-
Ale nyní si ho pojďme dokázat.
-
Takže řekněme, že chceme…
Položme log x o základu a
-
rovno nějaké nové proměnné.
-
Nazvěme ji y.
-
Takže zde pouze položíme y rovno
tomuto výrazu.
-
Toto je však pouze jiný způsob,
jak napsat, že a na y se rovná x.
-
Proto to můžeme přepsat:
a na y rovná se x.
-
Napíšu to x až sem,
protože chci…
-
Tyto dvě věci se rovnají.
-
Toto je pouze jiný způsob zápisu
-
toho, co jsme napsali výše.
-
Nyní použijeme logaritmus
o základu b.
-
A abychom to udělali,
prostě obě strany rovnice
-
zlogaritmujeme
logaritmem o základu b.
-
Takže zlogaritmujeme levou
stranu logaritmem o základu b,
-
a pravou stranu logaritmem
o základu b.
-
Ale z vlastností logaritmu víme,
-
že logaritmus z něčeho
umocněného na nějakou
-
mocninu, je totéž
jako tato mocnina
-
krát log z toho něčeho.
-
Takže logaritmus 'a na y' o základu b
-
je totéž co y krát logaritmus a
o základu b.
-
Toto je pouze klasická
vlastnost logaritmu.
-
Důkaz ještě uděláme.
-
Tedy víme, že se to bude rovnat
pravé straně.
-
Tedy bude se to rovnat
log x o základu b.
-
A nyní rovnici vyjádřeme y.
-
A je to opravdu vzrušující
díky této věci.
-
Pokud nyní vyjádříme y,
bude to pomocí
-
logaritmů o základu b.
-
Takže abychom vyjádřili y,
pouze vydělíme
-
obě strany rovnice
log a o základu b.
-
Takže log a o základu b
vydělíme levou i pravou stranu.
-
A tak se nám na levé straně tyto
dva výrazy vykrátí.
-
A zbyde nám…
A zasloužíme si fanfáry…
-
Že y je rovno log x o základu b
děleno log a o základu b.
-
Napíšu to…
-
Pouze to zkopíruji, ať pořád nemusím
měnit barvy.
-
Vložím toto.
-
Tak tady to máte.
-
Máme pravidlo pro
změnu základu logaritmu.
-
Uvědomte si, že y je totéž
co tamhleta věc.
-
Y je logaritmus a.
-
Ujasním.
-
Y, které se rovná log a, který se rovná
log x o základu a…
-
Vložím to…
-
Y se rovná této věci,
tak jsme si ho přece definovali
-
přesně tady, y je log x o základu a,
-
právě jsme ukázali, že se to rovná
tomuto, kde je v základu b.
-
A máme pravidlo o změně základu logaritmu.
Khan Academy
