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Größter gemeinsamer Teiler, Übungsaufgabe

Wir werden gefragt:
"Was ist der größte gemeinsame Teiler

von 20 und 40?"

Und sie sagen dazu
"eine andere Schreibweise ist:

das hier ist der ggT,
oder größte gemeinsame Teiler,
von 20 und 40,

ist gleich, Fragezeigen."

'Größter gemeinsamer Teiler'
klingt sehr kompliziert,

aber es sagt wirklich nur:

was ist die größte Zahl,
die sowohl in 20
als auch in 40 hineingeht?

Nun, dieses Beispiel
scheint recht einfach zu sein,

weil 20 schon
in 40 hineingeht.

Oder anders gesagt:
diese 40 kann durch

20 dividiert werden,
ohne daß ein Rest bleibt.

also die größte Zahl, die ein--

ich glaube, du könntest sagen--
Teiler von sowohl 20 als auch 40
ist tatsächlich 20.

20 ist 20 mal 1,
und 40 ist 20 mal 2.

Also müssen wir
bei diesen Angaben

nicht einmal unser
Papier hervornehmen.

Wir können einfach 20 schreiben.

Laß uns noch einige mehr
von denen lösen.

Wir werden also gefragt:
"Was ist der größte gemeinsame Teiler

von 10 und 7?"

Dafür holen wir jetzt
unser Papier hervor.

Also unser größter
gemeinsamer Teiler
von 10 und 7.

Also laß mich das aufschreiben.

Wir haben 10.

Wir wollen überlegen:
was ist unser ggT von 10 und 7?

Da gibt es zwei Möglichkeiten,
wie du an das herangehen kannst.

Eine Möglichkeit:
du könntest buchstäblich
alle Teiler auflisten--

nicht Primfaktoren,
nur einfache Teiler--
von jeder

dieser Zahlen,
und herausfinden,
welche größer ist,

oder was der größte Teiler
von beiden ist.

Also zum Beispiel
könntest du sagen:
gut, ich habe eine 10,

und 10 kann man ausdrücken
als 1 mal 10,
oder 2 mal 5.

1, 2, 5, und 10.

All das sind Teiler von 10.

All diese sind,
könnte man sagen,
Divisoren von 10.

Und manchmal wird das
der größte gemeinsame
Divisor genannt.

Sieben-- was sind alle ihre Teiler?

Also, 7 ist eine Primzahl.

Sie hat nur zwei Teiler--
1 und sich selbst.

Was ist also der größte gemeinsame Teiler?

Nun, da gibt es
nur einen Teiler:

1 ist der einzige
gemeinsame Teiler.

Also ist der größte
gemeinsame Teiler
von 10 und 7,

oder der größte
gemeinsame Divisor,
gleich 1.

Als schreiben wir das hin.

1.

Machen wir noch eines.

"Was ist der
größte gemeinsame Teiler
von 21 und 30?"

Und das hier ist nur
die andere Schreibweise.

Also 21 und 30 sind die zwei Zahlen,
um die wir uns hier kümmern.

Wir möchten also den
größten gemeinsamen Teiler finden--

und ich hätte
größter gemeinsamer Divisor
schreiben können--

von 21 und 30.

Also noch einmal,
man kann das auf 2 Arten tun.

So habe ich das voriges Mal gemacht,
wo ich alle Teiler

aufgelistet habe.

Laß mich das schnell machen.

Also wenn ich sage 21,
welche sind alle Teiler?

Also, 1 und 21, und 3, und 7.

Ich denke, ich habe alle.

Und 30 kann man schreiben als
1 und 30, 2 und 15, und 3--

das hat keinen Platz mehr.

Laß mich das so schreiben,
um mehr Platz zu haben.

Also 1 und 30.

2 und 15.

3 und 10.

und 5 und 6.

Hier sind also alle Teiler von 30.

Und welche sind jetzt
die *gemeinsamen* Teiler?

Nun, 1 ist ein gemeinsamer Teiler.

3 ist auch ein gemeinsamer Teiler.

Aber welcher ist der
*größte* gemeinsame Teiler,

oder der
*größte* gemeinsame Divisor?

Nun, das ist die Drei.

Wir können also 3 schreiben.

Jetzt spreche ich die ganze Zeit
von einer anderen Methode.

Laß mich dir diese andere Methode zeigen,

und die verwendet
die Primfaktorzerlegung.

Wenn du sagst,
daß die Primfaktorzerlegung
von 21--

laß uns sehen, teilbar durch 3--

ist 3 mal 7.

Und die Primfaktorzerlegung
von 30 ist gleich

3 mal 10, und
10 ist 2 mal 5.

Also welche sind
die meisten Teiler,
die wir

von 21 und 30 nehmen können,
um die größtmögliche

Zahl zu machen?

Wenn du die Primfaktor-
zerlegung anschaust,

ist das einzige Gemeinsame
hier eine 3.

Und so können wir sagen,
daß der größte gemeinsame Teiler

oder der größte gemeinsame Divisor
von 21 und 30 drei ist.

Würdest du hier
nichts Gemeinsames sehen,

dann würdest du sagen,
daß der größte gemeinsame Teiler
eins ist.

Laß mich noch ein
interessantes Beispiel geben,

nur damit wir ein
Gefühl dafür bekommen.

Also laß uns sagen,
die zwei Zahlen seien
nicht 21 und 30,

sondern laß uns sagen,
wir interessieren uns für den
größten gemeinsamen Teiler

nicht von 21,
sondern sagen wir
von 105 und 30.

nicht von 21,
sondern sagen wir
von 105 und 30.

Wenn wir also die Methode der
Primfaktorzerlegung verwenden,

könnte das jetzt
etwas klarer werden.

All die Primfaktoren
von 105 zu finden,

hey, das ist vielleicht Arbeit,
aber wenn du eine

Primfaktorzerlegung machst,
sagst du, gut, laß uns sehen

105-- ist teilbar durch 5,
ganz sicher.

Also ist es 5 mal 21,
und 21 ist 3 mal 7.

Die Primfaktor-
zerlegung von 105

ist also gleich--
wenn ich die
nach Größe anordne-

3 mal 5 mal 7.

Die Primfaktorzerlegung von 30,
die haben wir schon gemacht,

30 ist gleich
2 mal 3 mal 5.

Welche sind also die meisten gemeinsamen Teiler,

oder Primfaktoren,
die die gemeinsam haben?

Nun, die haben beide eine 3,
und beide haben eine 5.

Also ist der
größte gemeinsame Teiler, oder der
größte gemeinsame Divisor

ein Produkt dieser beiden.

In diesem Beispiel ist der
ggT von 105 und 30

ist 3 mal 5, ist gleich 15.

Du könntest das also
auf beide Arten lösen.

Du könntest einfach alle
Divisoren oder Teiler auflisten,

und herausfinden,
welcher von denen

gemeinsam ist,
und der größte.

Oder du kannst alles
in seine Grundbausteine zerlegen,

die Primfaktoren,
und dann herausfinden,

welches die größte Menge
von gemeinsamen Primfaktoren ist,

und das Produkt davon ist dann

dein größter gemeinsamer Teiler,

also die größte Zahl,
die in beide Zahlen
ohne Rest hineingeht.