Roger Penrose - Is Mathematics Invented or Discovered?

Roger Tôi đã bị

toán học cuốn hút trong suốt cuộc đời mình và thật

vui khi được đến với bạn để thảo luận về hai

khía cạnh cơ bản của nó: một là

khả năng đáng kinh ngạc của nó trong việc mô tả thực tế

và sau đó là toán học thực sự là gì, vậy

chúng ta hãy bắt đầu với câu hỏi đầu tiên:

toán học mô tả chính xác như thế nào?

thế giới vật chất

cái gì cực kỳ chính xác và trong các

lĩnh vực khác nhau chính xác hơn trong một số

lĩnh vực chúng ta biết ít hơn về nó nhưng tôi nghĩ

mọi người thường thấy khó hiểu rằng

một cái gì đó trừu tượng toán học thực sự

mô tả thực tế như chúng ta hiểu nó

ý tôi là thực tế bạn nghĩ đến một cái gì đó giống như

một chiếc ghế hoặc một thứ gì đó được làm từ

chất rắn và sau đó bạn nói rằng

hiểu biết khoa học tốt nhất của chúng ta về

thứ đó là gì, bạn nói rằng nó được làm từ

sợi và tế bào, v.v. và chúng được

tạo thành từ các phân tử và các phân tử đó

được tạo thành từ các nguyên tử được gọi là Athens

được tạo thành từ hạt nhân và electron

quay xung quanh và sau đó bạn nói thế

nào là hạt nhân và bạn nói thế nào là

proton và neutron và chúng được giữ lại

với nhau bởi những thứ gọi là gluon và

chúng là neutron và proton và được tạo thành từ

những thứ gọi là quark và và sau đó

bạn nói thế nào là electron hoặc

thế nào là quark và tại giai đoạn đó điều

tốt nhất bạn có thể làm là mô tả một số

cấu trúc toán học bạn nói chúng là

những thứ thỏa mãn phương trình Dirac

hoặc thứ gì đó tương tự mà bạn không thể

hiểu điều đó có nghĩa là gì nếu không có

toán học ý tôi là

mô tả toán học về thực tế là nơi chúng ta re

luôn dẫn đầu và các phương trình này

cực kỳ chính xác

phương trình Dirac mô tả electron hoặc

quark là một phương trình rất chính xác và

ví dụ có một phép tính

mô tả mômen từ đó

các electron hoạt động giống như những nam châm nhỏ và

mômen từ của nam châm có sức mạnh

của nam châm đó có thể được mô tả

theo các thông số khác và có một

phép tính có được độ chính xác của

điều đó Fineman đã có một

mô tả rất hay, ông ấy nói rằng bạn có thể

mô tả khoảng cách giữa New York

và Los Angeles

với độ chính xác nhỏ hơn

độ dày của một sợi tóc người nên

khá chính xác không thể tin được và đó là

mô tả về cấu trúc vi mô của các nguyên tử

và nhưng đây là các hạt về

electron và các gluon các

electron các khóa học cụ thể

electron và quark những thứ

được gọi là hạt spin 1/2 nhưng không đừng

lo lắng về những cái màu xanh hơi khác một chút

bây giờ toán học cũng có thể mô tả những thứ

trong thế giới vật lý thông thường hoặc

lực hấp dẫn lực hấp dẫn từ tính

và với cùng loại

độ chính xác mô tả, vâng, còn

một lực khác nữa, thậm chí còn hơn thế nữa theo một

nghĩa nào đó, bởi vì lực hấp dẫn theo

lý thuyết của Einstein, ý tôi là lý thuyết của Newton

đã có độ chính xác khoảng

một phần trong 10 mũ 7, vì vậy

đó là 10 phần triệu với một phần trong

đó và sau đó có sự khác biệt được

nhìn thấy và trong hành vi của thủy ngân,

v.v. và đó là nơi bạn bắt đầu thấy

sự khác biệt với sơ đồ của Newton và

sau đó Einstein xuất hiện và đưa ra một

lý thuyết mà hiện được biết là có

độ chính xác khoảng 10 mũ

14 và độ chính xác là

thước đo mức độ chính xác

của một hệ thống gồm hai ngôi sao cụ thể quay

quanh bạn các loại sao đặc biệt gọi là

sao neutron các vật thể rất đặc và những

ngôi sao này một trong số chúng là cái

gọi là sao xung phát ra các xung

tín hiệu có thể là thời gian

cực kỳ chính xác và trong một khoảng thời gian mà

tôi cho là có thể hơn 30

năm và tôi không thể nhớ họ đã

quan sát thứ này và trong khoảng

thời gian đó độ chính xác trong khoảng thời gian đó độ dài

thời gian được biết đến với độ chính xác như một phần

trong 10 mũ 14 và sự

phù hợp giữa lý thuyết của Einstein

và các quan sát cho thấy

đây là những điều rất rất chính xác cho

dù chúng ta đang nói về

cấu trúc của các thực thể rất lớn

sao neutron khoảng cách lớn trong

vũ trụ với lực hấp dẫn hoặc

cấu trúc của một electron đúng là

toán học trong cả hai trường hợp đều có thể

mô tả nó với

độ chính xác đáng kinh ngạc như vậy đúng vậy và

đây là những phương trình nhỏ ý tôi là chúng

không phải là thử và đúng vậy chúng' về

các phương trình tương đối nhỏ ý tôi là

chúng hơi khó hiểu

một chút

lý thuyết của Einstein chắc chắn là tinh tế nó

không phức tạp theo nghĩa là

ý tưởng này ổn bạn phải hiểu

về không gian cong và

những thứ tương tự như vậy mà không phải là điều dễ dàng để có được

tâm trí của bạn xung quanh một khi bạn đến đó

nó là về điều đơn giản nhất bạn có thể

viết ra tốt trong trong trong thuật ngữ trong

loại thuật ngữ đó vì vậy chúng ta có

độ chính xác phi thường này giữa

toán học ở cấp độ vĩ mô

với các sao neutron và ở

cấp độ vi mô với bản chất của

electron và toán học cực kỳ

chính xác trong cả hai trường hợp vậy thì điều đó

bây giờ bắt đầu cho chúng ta biết điều gì về

toán học thực sự Vâng, theo một

nghĩa nào đó, điều này cho chúng ta biết rằng

bức tranh về thực tại vật lý của chúng ta phụ thuộc vào

một thứ gì đó theo nghĩa

chính xác hơn ít nhất là trong sự hiểu biết của chúng ta về

nó so với cách chúng ta nghĩ về

thế giới và độ chính xác này thực sự có từ

người Hy Lạp cổ đại thời

Pythagoras và sau đó họ

phát triển các ý tưởng toán học như một

lĩnh vực nghiên cứu được kích thích ở một mức độ nào đó

bởi thực tế vật lý vì hình học

của Euclid vốn là một phần rất lớn của

toán học đang được nghiên cứu vào

thời điểm đó mà chúng ta biết là nonno không

cực kỳ chính xác và

nó cực kỳ chính xác nhưng không

chính xác bằng lý thuyết của Einstein nên người ta phải

vượt ra ngoài một chút so với hình học

mà họ có Tôi không nghĩ họ thực sự

đánh giá cao rằng họ đang làm vật lý

vì họ không nhận ra rằng

hình học của thế giới có thể là

bất cứ thứ gì khác nhưng họ đã phát triển

sơ đồ toán học này hoàn toàn như một nghiên cứu

riêng lẻ và do đó toán học được nghiên cứu

như một

hoạt động trí tuệ thuần túy và với điều đó,

nó cần thiết phải liên quan đến

cấu trúc của thế giới vật lý mặc dù

hình học rõ ràng là một đầu vào lớn nhưng

sau đó các tính chất của số và cách

bạn nhân và các khái niệm về

số nguyên tố thực tế là có

vô số số nguyên tố quay

trở lại Euclid và trước đó và vì vậy

những điều này về chỉ liên quan đến các con số đã được

phát triển rất nhiều từ thời

Hy Lạp và kể từ đó toán học

đã trở thành một môn học mà bạn có thể nghiên cứu

vì chính nó, nó có cuộc sống riêng của nó theo

nghĩa và chắc chắn các nhà toán học

xem nó theo cách này nó là một cái gì đó ở ngoài

kia nó dường như có một thực tế

độc lập với thực tế của

loại thực tế thông thường như những thứ

như ghế và những thứ tương tự mà

chúng ta thường nghĩ là có thật nhưng

được rồi thực tế toán học là

một cái gì đó khác biệt đôi khi nó được

gọi là thế giới Platon

thực tế Brittonic và đôi khi mọi người

gặp rất nhiều khó khăn khi nghĩ rằng đó

là thực tế ý tôi là các nhà triết học lo lắng về

điều đó và vân vân điều đó là gì điều đó có

nghĩa là gì một thực tế Platon tốt tôi

nghĩ đó là một loại thực tế khác

với thực tế của thế giới vật chất

Ý tôi là tôi nghĩ rằng cuối cùng cũng nghĩ đến việc

có nhiều cách khác nhau để nhìn nhận

thực tế, có thực tế của

trải nghiệm tinh thần của chúng ta, được rồi,

có liên quan đến thực tế,

thực tế vật lý và sau đó là

thực tế toán học của

thế giới Platon này mang lại thực tế cho

những khái niệm này vì vậy nếu bạn thích

các sự kiện toán học như không có lớn nhất số nguyên tố

là nếu nó là một cái gì đó độc lập

với chính chúng ta thì nó luôn đúng nó

không phải không phải một số bằng cách nào đó trở thành sự thật

ngay khi ai đó có vẻ rất khó để

chứng minh nó thì nó luôn đúng chúng là

những ví dụ tuyệt vời có khả năng nó sẽ

đúng không ai nếu chính xác là có và

theo một nghĩa nào đó thì phải như vậy bởi vì nếu

thế giới vật chất phụ thuộc chính xác

vào các định luật toán học này thì tôi không thể

biết phải làm gì theo một nghĩa nào đó

nếu toán học chưa có

ở đó Ý tôi là không phải chúng ta áp đặt

điều này lên thế giới mà là nó ở ngoài kia,

mọi người nghĩ rằng bạn biết đấy, có lẽ lý do

chúng ta có các định luật vật lý toán

học tốt là vì đó là cách tốt nhất để chúng ta có thể

hiểu thế giới nhưng

còn nhiều điều hơn thế nữa, nó thực sự ở

ngoài kia trên thế giới, đó là

lập luận liệu toán học có phải do

chúng ta phát minh ra bởi con người cố gắng áp đặt

cách suy nghĩ của chúng ta lên

thế giới vật chất hay liệu nó được khám phá ra

bởi vì nó đã tồn tại ở đó và chúng ta đang

tìm thấy nó bởi vì nó đã tồn tại ở đó,

đó là hai quan điểm đối lập đôi khi

mọi người tranh luận họ nói rằng bạn biết

đấy đó chỉ là cách chúng ta tổ chức

những gì chúng ta thấy về chúng ta nhưng tôi thực sự không

nghĩ rằng điều đó đủ tốt vì

ví dụ như Newton, các quan sát có lẽ

có khoảng ba con số và ba chữ số

thập phân và ông đã đưa ra

lý thuyết của mình, lý thuyết này vẫn tiếp tục hoạt động, tất cả đều

là bảy con số, bạn thấy đấy, sau đó

có sự khác biệt thấy Einstein

đã đưa ra lý thuyết của mình chủ yếu là từ trong

đầu ông với sự hấp dẫn để biết những điều

mà Galileo đã biết, v.v. nhưng

ngoài ra, đó không phải là

bằng chứng thực nghiệm nhiều hơn nhưng ông đã đưa ra

lý thuyết của mình vượt xa

bất kỳ điều gì mà các quan sát tại thời điểm đó

thời gian đã nói với chúng ta và họ tiếp tục

đồng ý với quan sát để

lý thuyết đó là nếu bạn thích một

điều tuyệt đối theo kiểu Platon và đó là một điều toán học

dường như được tích hợp vào cách

thế giới vận hành, không phải như thể

bạn thấy một hiệu ứng mới và nói được rồi chúng ta

thậm chí không bao giờ nghĩ ra một lý thuyết nào tốt hơn để

giải quyết vấn đề đó đôi khi khoa học

cũng giống như vậy nhưng

những lý thuyết vật lý thực sự tốt này không giống như vậy

bạn đang tiết lộ điều gì đó trong cách

thế giới vận hành mà nó luôn ở đó

và tôi không nghĩ rằng có

cách nào để hiểu rằng chỉ xét về mặt chúng ta

đang cố gắng hiểu những gì chúng ta thấy

xung quanh mình thì một sự thật quan trọng thực sự có vẻ như

là những gì bạn đã nói rằng khi

những lý thuyết toán học này được

phát hiện thì độ chính xác của

quan sát mà chúng có được vào thời điểm đó

là nhỏ so với độ chính xác mà

những lý thuyết đó tạo ra sau đó

đúng vậy đúng vậy

ý ​​tôi là trường hợp của Einstein được rồi bảy

chữ số thập phân là có lẽ được biết đến trong

chuyển động của các hành tinh ở đây nhưng có

bảy hành tinh khác ngoài kia độ chính xác còn

cao hơn thế nữa vâng đó là một

triệu mười triệu đó là mười phút

mười triệu mười triệu đúng vậy vâng vâng

ý tôi là điều đó thật không thể tin được

vâng vậy hãy đẩy nó xa hơn cái gì cái gì

điều đó có nghĩa là vì toán học

gần như vô hạn về tất cả các mối

quan hệ và biểu thức

và những thứ khác nhau mà chúng ta đã biết vâng điều

đó có nghĩa là gì về số lượng

toán học đang tồn tại ngoài kia ừ thì

đó là một điểm tốt

vì có rất nhiều của

toán học mà dường như không có

bất kỳ mối liên hệ rõ ràng nào với thế giới vật chất

theo cách tôi muốn hình dung là có

một thế giới toán học và chỉ một

phần nhỏ trong đó và đó là một

phần rất bổ ích, một phần cực kỳ

bổ ích có liên quan đến

thế giới vật chất có rất nhiều thứ ngoài

kia mà theo như chúng ta biết thì không có

liên quan đến hành vi vật lý

tất nhiên mọi người đã nói một số điều như vậy

trong quá khứ và sau đó chúng ta

ngạc nhiên khi tìm thấy một số điều khác mà

sau này không nói nhưng vẫn có rất nhiều

phép toán ngoài kia và rất nhiều điều kỳ lạ mà tôi

không biết bằng cách nào nói cách khác,

các cấu trúc có vẻ như không

thể liên quan đến

thế giới vật chất nhưng điều đó có nghĩa là gì

nếu nó ở ngoài kia trong một

thế giới Platon nào đó thì ngoài kia có

những ý tưởng, cấu trúc và khả năng vô hạn này,

vâng nhưng đôi khi mọi người

nghĩ về chúng như những sáng tạo tinh thần mà

bạn thấy nhưng nó không thực sự giải thích

và chỉ có một ví dụ cho

tập hợp Mandelbrot, nó cực kỳ

phức tạp, đúng là phân số và bạn

có thể phóng đại một chút, bạn thấy

tất cả những chi tiết đáng kinh ngạc này và đó là

tất cả đều có trong một ý tưởng toán học rất đơn giản

và nó được bao hàm trong một

phần toán học rất đơn giản này làm thế

nào mà nó duy trì được cảm nhận của riêng bạn về

toán học thực sự là gì? Tôi nghĩ

có hai khía cạnh của toán học, làm ơn hãy xem xét

cách tôi nhìn nhận nó, một số người chỉ

khám phá toán học và đó là

sở thích thực sự của họ và đó là vẻ đẹp

và chủ đề thường xuyên

và đó là lý do tại sao họ làm điều đó vì

họ thấy nó thú vị, điều gì đó họ

thấy thực sự tuyệt vời khi làm nhưng có

một mặt khác của nó, đó là cách nó

liên quan đến thế giới vật chất và

có độ chính xác phi thường mà chúng ta

thấy khi bạn có toán học đúng

nó thực sự phản ánh hành vi của

thế giới vật lý ở mức độ không thể tin được

và do đó có hai mặt của

toán học, nó có thực tế này mà

bạn có thể nghiên cứu khá độc lập với

vai trò của nó trong vật lý và mặt còn lại

là cách nó thực sự dường như tiết lộ cách

thế giới thực hoạt động theo một nghĩa nào đó,

thế giới là gì theo như chúng ta có thể

hiểu được