Justificativa da regra da potência | Matematica | Khan Academy

RKA10 – O que quero fazer neste vídeo
é utilizar a regra da potência

e buscar resultados
que parecem aceitáveis.

E uma coisa a se falar é que isso
não é a prova da regra da potência.

Mas, pelo menos, vai nos deixar um pouco
mais confortáveis utilizando esta regra.

Então vamos supor que a gente tenha
este f(x) que seja igual a “x”.

A regra da potência nos diz
que f'(x) será igual a quanto?

Sabemos que “x” é o mesmo que x¹,

então implicitamente já sabemos
que este “n” é igual a 1.

E levando este 1 para frente,
teremos 1 vezes x¹⁻¹,

ou seja, teremos 1 vezes x⁰.

A gente sabe que todo número elevado a zero
é igual a 1. Então este x⁰ é igual a 1.

Deixe-me plotar um gráfico a respeito dessa função para
a gente conseguir visualizar um pouco melhor essa ideia.

Vou fazer um gráfico dessas funções,
este é o eixo “y” e este é o eixo “x”.

Vamos ter “y” igual a “x”,
já que “y” é igual a f(x).

Então fica mais ou menos deste jeito:
“y” é igual a “x”, ou seja, f(x) é igual a “x”.

Se a gente derivar este f(x),
e já vimos que ele é igual a 1,

quando a gente olha para a nossa função,
percebemos que a inclinação desta reta,

ou a reta tangente bem neste ponto,
terá uma inclinação contínua e igual a 1,

independentemente do valor de “x” que a gente
observar, ou seja, teremos uma reta…

Uma reta com uma inclinação
constante e igual a 1, nesse caso.

Isso é bem consistente com o que sabemos
sobre derivar das inclinações.

Podemos desenhar esta derivada. Então estou dizendo que,
ao longo de todo o “x”, vamos ter uma reta horizontal e igual a 1,

independentemente do valor que a gente atribua a “x”.
Agora se a gente for para este outro ponto,

a inclinação, sem dúvida, também vai ser igual a 1.
Se for aqui a inclinação também é igual a 1.

Assim, a gente vai ter uma ótima resposta,
mas vamos tentar algo que mude esta inclinação.

Vamos dizer que eu tenha
g(x) igual a x².

A regra da potência nos diz
que g'(x) vai ser igual a…

A gente coloca este
2 na frente vezes x²⁻¹.

E 2 – 1 é igual a 1. Assim, a gente vai ter
que a derivada desta função é igual a 2 vezes “x”.

Vamos fazer também um gráfico desta função?
O eixo “y” e o eixo “x”. Deixe-me marcar algumas coisas.

Aqui vou ter 1, 2, 3, 4, 5.
Aqui vou ter 1, 2, 3, 4.

E g(x), quando “x” é zero,
vai ser zero.

Quando “x” for igual a 1,
g(x) é igual a 1.

Quando “x” é igual a 2,
g(x) vai ser igual a 4.

Então a gente vai ter 1, 2, 3, 4.
Deixe-me colocar aqui…

Quando “x” é -2 também
vamos ter algo igual a 4.

Assim, vamos ter uma parábola. Você já deve ter visto
ao longo de muitos anos. Uma parábola se parece com isso.

Lembre-se que uma parábola tem os dois lados bem simétricos,
então vou tentar desenhar isso mais ou menos simétrico.

Pronto, então temos o gráfico de g(x),
em que g(x) é igual a x².

Agora a gente pode fazer o gráfico de g'(x).

E o que a regra da potência
disse para a gente sobre g'(x)?

A gente conseguiu obter uma resposta igual a 2x.
Então isso daqui é uma reta.

A derivada de g(x), ou seja,
g'(x) é uma reta passando pela origem.

Quando “x” é igual a -2,
vamos ter uma inclinação negativa,

já que vamos ter 2 vezes -2, que é igual a -4.
Então a gente vai ter uma inclinação negativa e bem íngreme.

Isso nos mostra a inclinação neste ponto.
E neste ponto a inclinação é -4.

A inclinação da reta tangente seria algo parecido com isso,
e parece ter uma inclinação bem aceitável.

Agora o que acontece se a gente
for para onde “x” é igual a zero?

Neste ponto a derivada,
ou g', vai ser igual a zero,

afinal de contas a gente vai ter 2 vezes zero.
Então neste ponto vamos ter uma inclinação igual a zero,

ou seja, uma reta tangente sendo horizontal.
E observando na parábola isso faz muito sentido.

A inclinação da reta tangente
se parece com algo assim neste ponto.

Estamos no ponto mínimo no vértice desta parábola,
e a inclinação nesse ponto vai ser igual a zero.

Agora se a gente vier para “x” igual a 2,
o que vai acontecer?

Podemos perceber que g' é igual a 2x.

Assim a gente vai ter 2 vezes 2,
que é igual a 4.

A inclinação da reta tangente
neste ponto vai ter essa aparência.

Então neste ponto em que “x” é igual a 2,
vamos ter uma inclinação igual a 4.

Tudo isso que observamos parece ser
bem aceitável e nos mostra que, de fato,

a regra da potência faz muito sentido.
Agora eu gostaria que você pegasse outras funções

e tentasse fazer o mesmo que fiz aqui.
Então aquele forte abraço e até o próximo vídeo!