Лихва (част 2)

Продължаваме да съпоставяме между проста и сложна лихва. Създадено от Сал Кан.

Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/economics-finance-domain/core-finance/interest-tutorial/credit-card-interest/v/annual-percentage-rate-apr-and-effective-apr?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=financeandcapitalmarkets

Пропусна предишния урок? Гледай тук: https://www.khanacademy.org/economics-finance-domain/core-finance/interest-tutorial/interest-basics-tutorial/v/introduction-to-interest?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=financeandcapitalmarkets

Финанси и капиталови пазари в Кан Академия: лихвите са в основата на съвременните капиталови пазари. В зависимост оттова дали даваш назаем или взимаш заем, тя може да се разглежда като доходност на активите (даване на заем) или като цена на капитала (взимане на заем). В тези уроци представяме тази фундаментална концепция, включително какво представлява сложната лихва. Показваме също така някои методи, които могат да ти помогнат да правиш бързи изчисления наум.

За Кан Академия: В Кан Академия ще намериш практически упражнения, видео уроци и персонализиран работен панел, които помагат на учащите да учат със собствено темпо и в и извън класната стая. Материалите включват математика, природни науки, компютърно програмиране, история и история на изкуството, икономика и други. Нашата мисия е да направляваме учащите от детската градина до висшата математика с помощта на модерна, адаптивна технология, която разпознава силните страни и пропуските в знанията. Ние си партнираме с институции като NASA, Музея на модерните изкуства в САЩ, Калифорнийската академия на науките и MIT, за да предложим специализирано съдържание.

Безплатно. За всеки. Завинаги. #ТиМожешДаНаучишВсичко

Абонирай се за канала Финанси и капиталови пазари на Кан Академия: https://www.youtube.com/channel/UCQ1Rt02HirUvBK2D2-ZO_2g?sub_confirmation=1
Абонирай се за Кан Академия: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacadem

Нека обобщим това, което
научихме в предходното видео.

Да кажем, че вземам назаем P долара.

P долара, толкова взимам назаем,
така че това е моята първоначална главница.

Това е главницата Р.

r е равно на лихвата, при която

вземам назаем.

Можем също да я запишем като
100 по r процента.

И аз ще взема назаем за –
не знам, нека са t години.

Да видим дали ще успеем да изведем
формули, с които да намерим

колко ще дължа след t години

при проста или при сложна лихва.

Нека първо да разгледаме проста лихва,
понеже се намира по-лесно.

Така в нулевия момент – ще сложим
времето по абсцисата –

колко ще дължа в този случай?

Това е моментът, в който взимам назаем,
така че ако върна заема веднага,

дължа само P долара.

В момент 1 дължа сумата P плюс лихвата,

можеш да гледаш на нея като на наем
върху парите, тя е r по P.

В примера от предходното видео

лихвата беше 10%.

P беше 100, така че трябва да платя 10 долара,
за да заема парите за една година

и да върна 110 долара.

Това е равно на Р по (1 + r), нали?

Тъй като можем да използваме
просто 1 по Р, плюс r по Р.

Колко ще дължа след две години?

Всяка година плащам лихва r по Р, нали?

В предишния пример това бяха
още 10 долара.

Ако r е 10%, ние всяка година
плащаме 10%

върху първоначалната сума, т.е. върху главницата.

Значи през втората година дължим
Р плюс r по Р – това дължим през година 1 –

след това имаме още веднъж
r по Р, и така получаваме

Р по (1 плюс 2 по r).

Ако просто изнесем пред скоби Р,
ще получим в скобите 1 плюс r, плюс r,

което става 1 плюс 2 по r.

През третата година ще дължим това,
което дължим през втората година,

значи Р плюс r по Р, плюс r по Р,
а после добавяме още веднъж r по Р,

това са други 10%, r може да е 10%,
или да е 50% върху главницата,

значи плюс r по Р, така че това
е равно на Р по (1 плюс 3 по r).

Колко ще дължим след t години?

Това е първоначалната главница
Р по 1 плюс...

ще добавим t по r.

Можем да разкрием скобите,
защото всяка година плащаме P по r,

а са изминали t години.

Ето какъв е смисълът на това.

Ако кажем, че взимам заем...

да измислим някакви числа.

Може да го решиш и по този начин,
със символи, което ти препоръчвам.

Не е нужно просто
да запаметяваш формули.

Ако вземем назаем 50 долара при
проста лихва 15% за 15 години –

или нека да са 20 години, значи
след 20 години ще дължа

50 долара по 1 плюс времето,
което е 20 години, по 0,15, нали?

Това е равно на 50 долара по
1 плюс... колко е 20 по 0,15?

Това е 3, нали?

Да.

Това е 50 по 4, което е равно на
200 долара, ако заемът е за 20 години.

Значи 50 долара при 15% лихва
за 20 години означава, че

накрая ще дължа 200 долара.

Това беше случаят с проста лихва,

а това е формулата за него.

Да видим дали можем да изведем
формула за сложна лихва.

Ще изтрия всичко това.

Не исках да направя това.

Готово.

Когато лихвата е сложна,
през първата година имаме същото

като при простата лихва, което
видяхме в предишното видео.

Дължа Р плюс лихвата по Р,
което е равно на Р по (1 плюс r).

Добре.

В година две се появява разликата
между проста и сложна лихва.

При простата лихва просто
ще платим още веднъж r по Р,

така тук става 1 плюс 2 по r.

При сложната лихва обаче
това става новата главница.
(подчертава на екрана)

Щом това е новата главница,
тогава ние ще трябва да платим

1 плюс r, по това, нали?
(показва с мишката)

Оригиналната главница беше Р.

След една година платихме
(1 + r) по оригиналната главница,

по 1 плюс лихвата r.

За да преминем към втората година,
трябва да платим това, което дължим

в края на първата година, което е
Р по (1 + r), след което

увеличаваме това с r процента.

Значи ще умножим още веднъж по (1 + r).

Значи това е равно на Р
по (1 + r) на квадрат.

Можем да кажем, че при простата лихва

всяка година добавяме P по r.

При проста лихва, ако сме заели 50 долара
при лихва 15%, тогава всяка година

добавяме 3 долара – добавяме –
колко беше това?

50%.

Добавяме 7,50 долара лихва,
като Р е главницата,

а r е лихвата.

При сложната лихва всяка година

умножаваме главницата по
(1 + r), 1 плюс лихвата r.

Ако отидем в третата година,

тогава ще умножим това по (1 + r).
(посочва на екрана)

Значи през третата година имаме
Р по (1 + r) на трета степен.

През година t ще имаме
главницата по (1 + r) на степен t.

Да разгледаме същия пример,

когато заехме 200 долара
с проста лихва.

Сега да видим какво
се получава при сложна лихва.

Главницата е 50 долара.

1 плюс... колко беше лихвата?

0,15.

Заемаме тази сума за 20 години.

Значи това е равно на 50
по 1,15 на степен 20.

Знам, че това е нечетливо,
но да видим как можем

да повдигнем това на 20-та степен.

Ще използвам Excel и ще изтрия всичко това.

Всъщност мога да използвам
мишката си вместо инструмента за писане,

за да почистя всичко това.

Добре, сега ще избера
една произволна клетка.

Искаме просто това плюс 1,15
на 20-та степен –

можеш да го сметнеш и с калкулатор –
получаваме 16,37.

Значи е равно на 50 по 16,37.

Колко е 50 по 16,37?

Плюс 50 по 16,37 дава 818 долара.

Виждаме, че ако някой
ти даде заем,

ако каже: "Давам ти заем за 20 години

при 15% лихва%."

Тогава е много важно да се изясни

дали тези 15% са проста лихва
или са сложна лихва.

Понеже при сложната лихва
накрая ще трябва да платиш –

просто виж това – ще вземеш
назаем 50 долара,

а трябва да върнеш 618 долара
повече, отколкото ако лихвата е проста.

За съжаление в реалността
лихвата почти винаги е сложна.

И тя не е просто сложна,
банките не правят натрупване

на лихвата година за година, даже
не и на шест месеца,

а правят непрекъснато натрупване.

Трябва да гледаш следващите
няколко видео урока

за непрекъснато натрупваща се
сложна лихва,

за да започнеш да разбираш
магията на числото 'e'.

До скоро!