Interest (part 2)

Agora vamos generalizar um pouco o que nós aprendemos

na última apresentação.

Vamos dizer que eu esteja pegando emprestado P dólares.

P dólares, isso é o que eu estou pegando emprestando, então isso é

o meu capital inicial.

Então esse é o meu capital.

r é igual à taxa, a taxa de juros a que

eu estou pegando o empréstimo.

Nós também podemos escrever isso como 100r%, certo?

E eu vou pegar emprestado por— bem, eu

não sei— t anos.

Vamos ver se nós podemos encontrar algumas equações para descobrir

quanto eu vou dever ao fim de t anos usando

tanto juros simples quanto compostos.

Então vamos fazer juros simples primeiro porque é fácil.

Então no tempo 0— vamos fazer esse eixo do tempo—

quanto eu vou dever?

Bem, isso é bem quando eu peguei emprestado, então se eu tivesse

pago de volta imediatamente, eu só deveria P, certo?

No tempo 1, eu devo P mais os juros, mais o que você pode meio

que ver como o aluguel por esse dinheiro, e isso é r vezes P.

E anteriormente, no exemplo anterior, no

vídeo anterior, era 10%.

P era 100, então eu tinha que pagar $10 para pegar esse dinheiro emprestado por

um ano, e eu tinha que pagar de volta $110.

E isso é o mesmo que P vezes 1+r, certo?

Porque você poderia usar simplesmente 1P+rP.

E então, depois de dois anos, quanto nós deveríamos?

Bem, todo ano nós simplesmente pagamos mais um rP, certo?

No exemplo anterior, isso era mais $10.

Então se isso é 10%, todo ano nós pagamos 10%

do nosso capital original.

Então no ano 2, nós devemos P + rP— isso é o que nós devíamos

no ano 1— e mais um rP, então isso é igual

a P mais 1+2r.

E você só coloca o P para fora, e você tem 1+r

mais r, então 1+2r.

E então no ano 3, nós deveríamos o que nós devíamos no ano 2.

Então P+rP+rP, e então nós pagaríamos outro rP,

outro, diga, sabe, se r é 10%, ou 50% do nosso capital inicial,

mais rP, então isso é igual a P vezes 1+3r.

Então após t anos, quanto nós deveríamos?

Bem, esse é o nosso capital original vezes 1 mais,

isso será t.r.

Então você pode distribuir isso porque a cada ano nós pagamos Pr,

e isso será por t anos.

Então é por isso que faz sentido.

Então, se eu te dissesse que estou pegando emprestado— vamos

fazer algumas contas.

Você poderia trabalhar desse jeito, e eu recomendo que você o faça.

Você não deveria só decorar as formulas.

Se eu pegasse emprestado $50 a 15% de juros simples por 15— ou

vamos dizer, 20 anos— ao fim de 20 anos, eu

deveria $50 vezes 1 + 20 vezes 0.15, certo?

Então isso é igual $50 vezes 1 mais— quanto é 20 vezes 0.15?

É 3, certo?

Certo.

Então isso é 50 vezes 4, o que é igual a $200 para

pegar emprestado por 20 anos.

Então $50 a 15% por 20 anos resulta em um

pagamento de $200 no final.

Então isso era juros simples, e essa

é a fórmula para eles.

Vamo ver se nós podemos fazer a mesma coisa com juros compostos.

Deixe-me apagar isso tudo.

Não era assim que eu queria apagar.

Aqui está.

OK, então com juros compostos, no ano 1, é a mesma coisa,

realmente, como juros simples, e nós vimos isso

no vídeo anterior.

Eu devo P mais, e agora a taxa vezes P, e isso é igual

a P vezes 1 + r.

Muito bem.

Agora no ano 2 é quando juros simples e compostos começam a divergir.

Nos juros simples, nós pagaríamos mais um rP, e

isso se torna 1+2r.

Nos juros compostos, isso se torna o novo

capital, certo?

Então se este é o novo principal, nós vamos pagar

1 + r vezes isso, certo?

Nosso capital original era P.

Após um ano, nós pagamos 1 + r vezes o capital original

vezes 1+ r.

Então nós vamos chegar no ano 2, e nós vamos pagar o que nós devíamos

ao fim do ano 1, que é P vezes 1+r, e agora nós vamos

crescer isso por r %.

Então nós vamos multiplicar isso de novo por 1 + r.

E isso é igual a P vezes (1+r) elevado ao quadrado.

Então a maneira como você poderia pensar sobre isso, em juros simples,

a cada ano nós adicionamos uma parcela Pr.

Em juros simples, nós adicionamos Pr a cada ano.

Então se isso era $50 e isso era 15%, a cada ano nós estamos somando

$3— nós estamos somando— o que era isso?

50%.

Nós estamos adicionando $7.50 em juros, onde P é o capital,

e r é a taxa.

Em juros compostos, a cada ano nós estamos multiplicando

o capital vezes 1 mais a taxa, certo?

Então nós vamos para o ano 3, nós vamos multiplicar

isso vezes 1+r.

Então no ano 3 é P vezes (1+r) elevado à terceira.

Então no ano t vai ser o capital vezes

(1+r) elevado à t-ésima potência.

E então vamos ver este mesmo exemplo.

Nós devemos $200 neste exemplo com juros simples.

Vamos ver quanto nós deveríamos em juros compostos.

O capital é $50.

1 mais— quanto é a taxa?

0.15.

E nós estamos pegando emprestado por 20 anos.

Então isso é igual a 50 vezes 1.15 elevado à 20ª potência.

Eu sei que você não consegue ler isso, mas deixe-me ver o que

eu posso fazer quanto à 20ª potência.

Deixe-me usar meu Excel e limpar isso.

Na verdade, eu deveria simplesmente usar meu mouse em vez da caneta

para limpar tudo.

OK, vou escolher um ponto qualquer.

Então eu só quero— mais 1.15 à 20ª potência, e você

pode usar qualquer calculadora. 16,37, vamos dizer.

Então isso é igual a 50 vezes 16,37.

E quanto é 50 vezes isso?

Mais 50 vezes isso: $818.

Então você agora percebeu que se alguém está te fazendo um empréstimo e

eles dizem, bem, eu te empresto— você precisa de um empréstimo por 20 anos?

Eu vou te emprestar isso a 15%.

É muito importante deixar claro se eles vão cobrar

15% de juros simples ou

juros compostos.

Porque com juros compostos, o que você vai acabar pagando—

quer dizer, olhe isso: para pegar $50 emprestados, você vai

pagar $618 a mais do que se fossem juros simples.

Infelizmente, no mundo real, a maior parte

dos empréstimos são com juros compostos.

E não é é composto, mas eles não contabilizam

todo ano e eles não só contabilizam a cada

6 meses. Na verdade eles contabilizam continuamente.

Então você deveria assistir os próximos vídeos sobre

juros compostos continuamente, e você vai

começar a entender a mágica de e.

Bem, vejo vocês no próximo vídeo.