Separable differential equations examples

Bu videoda dəyişənlərinə

ayrıla bilən diferensial tənliklərin

ümumi həllinin tapılmasına aid
misallara baxacağıq.

Fərz edək ki,

y-in x-ə görə törəməsi bərabərdir

e üstü x böl y tənliyi verilmişdir.

Əvvəlcə bu tənliyin ümumi

həllini özünüz tapmağa çalışın.

Qeyd edim ki, bu,

dəyişənlərinə ayrıla bilən diferensial tənlikdir.

Belə ki, dəyişənlərinə ayrıla bilən

diferensial tənliklərdə

dy və y-ləri bərabərliyin bir tərəfində,

dx və x-ləri isə bərabərliyin digər
tərəfində yazırıq.

Başqa sözlə desək, bu

diferensialları da

bir növ dəyişən kimi fərz edirik.

Gəlin baxaq.

Bərabərliyin hər iki tərəfini

y-ə vursaq,

nə alırıq?

y vur y-in

x-ə görə törəməsi bərabərdir e üstü x-ə.

Aldığımız bərabərliyin hər iki tərəfini

dx-ə vura bilərik. Bu halda

y vur dy bərabərdir e üstü x dx alırıq.

İndi isə hər ki tərəfin ibtidai funksiyasını
tapaq.

Gəlin yazaq.

İnteqral y dy nəyə bərabərdir?

Burada qüvvət funksiyasının
inteqralını tapacağıq.

Qüvvəti bir vahid artırsaq,

-- gəlin yazaq --

y kvadratı böl

həmin qüvvət, alarıq.

Maraqlıdır ki, e üstü x-in

ibtidai funksiyası da, törəməsi də

elə e üstü x-ə bərabərdir.
Deməli, bərabərdir e üstü x

üstəgəl c alırıq.

Bunu bu şəkildə saxlaya bilərik.

Lakin bu,

aşkar funksiya deyil.

Burada y aşkar funksiya deyil.

Buradan y bərabərdir
müsbət mənfi

kökaltında 2 vur bu ifadəyə bərabərdir.

Lakin bu, verilmiş tənliyin

ümumi həllidir.

Başqa bir nümunəyə baxaq.

Fərz edək ki,

y-in x-ə görə törəməsi bərabərdir

y kvadratı vur sinus x-ə.

Videonu dayandırın və ümumi

həlli tapmağa çalışın.

Qeyd edim ki, yenə y-ləri və
x-ləri ayırmalıyıq.

Belə ki, bərabərliyin hər iki tərəfini

y üstü mənfi 2-yə vursaq,

bu, 1-ə bərabər olacaq.

Sonra isə hər iki tərəfi dx-ə vuraq.

Bu halda bu dx-lər
ixtisar olunacaq və

y üstü

mənfi 2 vur dy bərabərdir

sinus x dx alırıq. İndi isə hər iki tərəfin
ibtidai funksiyasını tapaq.

y üstü mənfi 2-nin ibtidai funksiyası
nəyə bərabərdir?

Burada yenə qüvvət funksiyasının
inteqralını tapacağıq.

Qüvvəti artıraq.

y üstü mənfi 1 və bunu

aldığımız yeni qüvvətə bölək.

Böl mənfi 1.

Bu, elə mənfi y üstü mənfi 1 deməkdir.

Gəlin görək bu nəyə bərabər olacaq.

sinus x-in ibtidai funksiyası
nəyə bərabərdir?

Bəlkə də

buraya və buraya mənfi işarəsi qoysaq,
bu, sizə tanış gələcək.

sinus x-in ibtidai funksiyası

kosinus x-ə bərabərdir.

Beləliklə, bütün bu ifadə,
mənfi kosinus x-ə bərabərdir.

Yaxud da bərabərliyin
hər iki tərəfini

mənfi 1-ə vursaq,

müsbət olacaq və

1 böl y bərabərdir kosinus x alırıq.

Gəlin bu şəkildə yazaq.
Üstəgəl c.

C-ni əlavə etməyi unutmayaq.

Yaxud da hər iki tərəfin tərsini

yaza bilərik.
Bu halda y bərabərdir

1 böl kosinus x üstəgəl c

alırıq.
Bu, verilmiş tənliyin ümumi həllidir.

Vəssalam.

Fikrimcə, olduqca maraqlı video idi.