Rational equations | Polynomial and rational functions | Algebra II | Khan Academy

Rational Equations

Watch the next lesson: https://www.khanacademy.org/math/algebra2/polynomial_and_rational/rational_funcs_tutorial/v/solving-rational-equations-1?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=AlgebraII

Missed the previous lesson?
https://www.khanacademy.org/math/algebra2/polynomial_and_rational/rational_funcs_tutorial/v/adding-and-subtracting-rational-expressions-3?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=AlgebraII

Algebra II on Khan Academy: Your studies in algebra 1 have built a solid foundation from which you can explore linear equations, inequalities, and functions. In algebra 2 we build upon that foundation and not only extend our knowledge of algebra 1, but slowly become capable of tackling the BIG questions of the universe. We'll again touch on systems of equations, inequalities, and functions...but we'll also address exponential and logarithmic functions, logarithms, imaginary and complex numbers, conic sections, and matrices. Don't let these big words intimidate you. We're on this journey with you!

About Khan Academy: Khan Academy offers practice exercises, instructional videos, and a personalized learning dashboard that empower learners to study at their own pace in and outside of the classroom. We tackle math, science, computer programming, history, art history, economics, and more. Our math missions guide learners from kindergarten to calculus using state-of-the-art, adaptive technology that identifies strengths and learning gaps. We've also partnered with institutions like NASA, The Museum of Modern Art, The California Academy of Sciences, and MIT to offer specialized content.

For free. For everyone. Forever. #YouCanLearnAnything

Subscribe to Khan Academy’s Algebra II channel:
https://www.youtube.com/channel/UCsCA3_VozRtgUT7wWC1uZDg?sub_confirmation=1
Subscribe to Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Rozwiąż równanie i znajdź dziedzinę.

Jeśli mówimy o znajdowaniu dziedziny

to musimy zastanowić się dla jakich wartości zmiennej

obie strony równania mają sens.

Chcemy to zrobić ponieważ

po przekształceniach równania możemy pozbyć się mianownika

i dostać pewną odpowiedź,

lecz jeśli dla którejś z odpowiedzi

któraś ze stron naszego oryginalnego równania jest

nieokreślona, to nie będzie to poprawna odpowiedź,

dlatego musimy się zastanowić które wartości zmiennej wykluczyć,

więc które wartości w tym przypadku wykluczymy?

Cóż, 4 dzielone przez (p-1),

będzie nieokreślone gdy p jest równe 1, ponieważ wtedy

będziemy po lewej stronie dzielić przez zero, a takie dzielenie nie ma sensu.

W takim razie p musi być różne od jednego,

a z drugiej strony, jeśli p jest równe -3,

to prawy mianownik również będzie równy 0,

i dostaniemy nielegalne działanie.

Reasumując, p nie może być równe 1, ani -3.

A więc te dwie wartości zmiennej musimy wykluczyć.

W takim razie spróbujmy rozwiązać...

...spróbujmy rozwiązać to równanie.

Przepiszę to tutaj,

a więc 4 podzielone przez (p-1) jest równe

5 podzielone przez (p+3),

Pierwszą rzeczą którą należy zrobić, to - szczególnie, że

możemy w tej chwili założyć, że

żadne z tych wyrażeń nie jest równe 0, oba działania

są określone, skoro wykluczyliśmy wartości dla których nie są -

to pozbyć się (p-1) z mianownika

możemy pomnożyć lewą stronę przez

(p-1), pamiętając, że jest to równanie i jeśli

chcemy aby równość dalej zachodziła, to

jakkolwiek działamy na lewą stronę,

musimy tak samo zadziałać na prawą stronę,

a więc tutaj też mnożę przez (p-1).

Teraz, chciałbym się pozbyć również (p+3),

z mianownika po prawej stronie,

a najlepiej to osiągnąć mnożąc,

prawą stronę równania przez (p+3),

ale jeśli robię to z prawą stroną,

to muszę również zrobić to z lewą stroną,

... (p+3),

teraz co się stanie jeśli mamy,

(p-1) w liczniku oraz (p-1) w mianowniku,

możemy skrócić te dwie rzeczy,

i będziemy mieli tylko 1 w mianowniku,

lub po prostu nie mamy mianownika w ogóle,

i lewa strona upraszcza się do 4 pomnożone przez (p+3),

lub jeśli chcemy wejść z 4 pod nawias,

4 pomnożone przez (p+3),

co się równa 4p + 12,

z kolei po prawej stronie, mamy

(p+3) się skróci z (p+3), to jest,

(p+3) podzielone przez (p+3),

więc zostajemy z 5 pomnożone przez (p-1),

i jeśli wejdziemy z 5 pod nawias to dostaniemy,

5p - 5,

teraz mamy dość oczywistą sytuację,

do rozwiązania jest liniowe równanie, chcemy

oddzielić p na jedną stronę, a stałe umieścić po drugiej stronie,

więc odejmijmy 5p z obu stron -- zmienię kolory --

odejmijmy 5p z obu stron,

i po lewej stronie dostaniemy,

4p - 5p co jest równe -p,

plus 12, jest równe,

5p się skróci, jest równe -5,

teraz możemy odjąć 12 z obu stron,

... odjąć 12 z obu stron i dostaniemy,

12 się skróci, dostaniemy -p jest równe,

-5 - 12 co jest równe -17,

i jesteśmy już prawie w domu, bo możemy pomnożyć obie strony,

przez -1, lub podzielić obie strony przez -1,

zależy co kto lubi,

i dostaniemy, -1 razy -p jest...

... przewinę nieco w dół,

aby mieć więcej miejsca,

to będzie p, jest równe,

17.

p jest równe 17.

Sprawdźmy więc czy to naprawdę działa,

nie jest to więc żadna z wykluczonych wcześniej wartości,

lecz na wszelki wypadek, sprawdźmy czy ta odpowiedź rzeczywiście działa.

jeśli p=17, to mamy,

4 podzielone przez (17 - 1),

ma być równe 5 podzielone przez (17 + 3),

po prostu podmieniam p na 17,

ponieważ to jest nasze rozwiązanie,

a więc to jest to samo co 4 podzielone przez 16,

ma być równe 5 podzielone przez 20,

czyli 4/16 to jest to samo co 1/4,

i musi to być równe 5/20,

co jest również tym samym co 1/4,

a więc wszystko się zgadza.

A więc to są nasze wykluczone wartości, lecz szczęśliwie dla nas

rozwiązanie p=17 nie jest jedną z nich.