Két pont távolságának meghatározása Pitagorasz tételének segítségével | Geometria | Khan Academy

Matematika a Khan Academyn: https://hu.khanacademy.org/math

Mi a Khan Academy? A Khan Academy gyakorló feladatokat, oktatóvideókat és személyre szabott tanulási összesítő táblát kínál, ami lehetővé teszi, hogy a tanulók a saját tempójukban tanuljanak az iskolában és az iskolán kívül is. Matematikát, természettudományokat, programozást, történelmet, művészettörténetet, közgazdaságtant és még más tárgyakat is tanulhatsz nálunk. Matematikai mesterszint rendszerünk végigvezeti a diákokat az általános iskola első osztályától egészen a differenciál- és integrálszámításig modern, adaptív technológia segítségével, mely felméri az erősségeket és a hiányosságokat.

Küldetésünk, hogy bárki, bárhol világszínvonalú oktatásban részesülhessen.

A magyar fordítás az Akadémia Határok Nélkül Alapítvány (akademiahataroknelkul.hu) csapatának munkája.

Iratkozz fel a Khan Academy magyar csatornájára:

https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademymagyar

Kövess minket a Facebook-on: https://www.facebook.com/khanacademymagyar/

Az a feladatunk, hogy meghatározzuk

az alábbi két pont közötti távolságot.

Állítsd le a videót, és nézd meg, hogy
ki tudod-e számolni!

Többféle módon gondolkodhatunk erről.

Én úgy szeretek erre gondolni,
hogy megpróbálok rajzolni

egy derékszögű háromszöget úgy,
hogy az ezeket a pontokat

összekötő szakasz legyen az átfogó,

és aztán alkalmazom a Pitagorasz-tételt.

Megmutatom, hogy gondolom ezt.

Rajzolok ide egy derékszögű háromszöget,

ez a derékszögű háromszögem
magassága,

ez pedig a szélessége.

És az átfogó köti össze ezeket a pontokat.

Használhatom a vonalzó eszközt

ennek meg ennek a pontnak az összekötésére.

Narancssárgára színezem,

íme kész is van.

Itt van egy derékszögű háromszög,
ahol a két pontot összekötő szakasz

a derékszögű háromszög átfogója.

És hogy ez miért jó?

Innentől, ha leállítod a videót,

ki tudod-e számítani a narancssárga
szakasz hosszát,

amely a két pont közti távolság?

Milyen hosszú ez a piros szakasz?

Ezt láthatod a négyzetrácson,

két egység hosszú.

Pontosan két egységnyi, és

akár koordinátákként is gondolhatsz erre.

Ennek a pontnak a koordinátái

mínusz 5 és 8, (−5;8).

Ennek a koordinátái pedig:
x négy és y hat, (4;6).

Ennek a pontnak az y koordinátája

tehát megegyezik ennek az y koordinátájával,

mindkettő 6 lesz,

és ennek a pontnak az x koordinátája
ugyanaz lesz, mint ennek,

ez a pont tehát (−5;6) lesz.

Vegyük észre, hogy csupán az y
irányban módosítunk,

méghozzá 2-vel.

Mennyi ennek a szakasznak a hossza?

Megszámolhatod: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Vagyis 9, de azt is mondhatod,

hogy csak az x értékét változtattuk,

mínusz 5-ről indultunk,

x = −5-től x = 4-ig.

9-cel növeltük.

Mindezzel előkészítettük, hogy

használhassuk a Pitagorasz-tételt.

Ha ezt az oldalt 'c'-nek nevezzük, akkor
tudjuk, hogy

a² + b² = c²,

de úgy is mondhatjuk, hogy
(ugyanazt a pirosat fogom használni)

2² + 9² = az átfogónk négyzetével,

amit 'c'-nek neveztünk, tehát c²-tel,

és ez a 'c' lesz a távolság,
ezt igyekszünk kiszámítani.

2² = 4 meg 9² = 81,

ez lesz egyenlő c²-tel.

c² = 85, azaz c = √85,

vagyis 85 négyzetgyöke.

Vajon tudom-e ezt egy kicsit egyszerűsíteni?

Nézzük csak! Hányszor van meg az 5 a 85-ben?

17-szer. Egyik sem négyzetszám,

igen, 50 + 35,

vagyis azt hiszem ez a legegyszerűbb
lehetséges felírása.

Persze tizedes törtként is írhatod,
megbecsülheted a számológép

segítségével olyan pontossággal,
ahogy csak akarod.

Ez tehát ennek a szakasznak,

a derékszögű háromszögünk
átfogójának a hossza,

de még ennél is fontosabb,
hogy az eredeti kérdésre adott válasz,

azaz ennyi a két pont távolsága.