Връзка между теоремата на Грийн и теоремата на Стокс

В това видео ще видим, че теоремата на Грийн е частен случай на теоремата на Стокс.

Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/surface-integrals/stokes_theorem/v/orienting-boundary-with-surface?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=MultivariableCalculus

Пропусна предишния урок?
https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/surface-integrals/stokes_theorem/v/stokes-theorem-intuition?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=MultivariableCalculus

В последното видео започнахме
да разглеждаме теоремата на Стокс.

Сега в това видео искам

да видим дали тя е в унисон

с това, което сме учили досега.

За да го направим, да си представим...
ще начертая координатните оси.

Това е оста z.

Това е оста х.

Това е оста у.

Сега си представи една област
в равнината ху.

Ще я начертая по следния начин.

Да кажем, че това е нашата
област в равнината ху.

Ще означа тази област като R.

Имаме някаква граница на тази област.

Да кажем, че ни интересува
посоката, по която

се движим по тази граница.

Да кажем, че се движим

обратно на часовниковата стрелка.

Значи имаме този контур около
нашата област.

Ще означа контура с 'c

Значи това е контурът 'c',

по който се движим обратно
на часовниковата стрелка.

Да кажем, че е дадено едно
векторно поле F.

Неговият i-компонент е

функцията Р от х и от у.

Неговият j компонент
е функцията Q от х и от у.

Да кажем, че няма k-компонент.

Векторното поле в тази област

изглежда примерно ето така.

Ще начертая някакви произволни
вектори.

След това, когато напуснем
тази област,

ако се движим в посока z,

векторното поле е едно и също,
когато отиваме все по-високо и по-високо.

Значи този вектор не се променя,

когато се променя z-компонента.

Всички вектори са по същество

успоредни на... или ако z е равно на 0,

всички те лежат в равнината ху.

Като знаем това, да помислим

какво ни казва теоремата на Стокс
за стойността на

криволинейния интеграл
по затворения контур –

ще го направя малко по-старателно –

криволинейния интеграл по
контура 'c',

от скаларното произведение на F и dr,

където dr очевидно се движи по контура.

Ако вземем теоремата на Стокс,
тогава тази величина ето тук
(показва с мишката)

трябва да е равна на
тази величина ето тук.
(показва с мишката)

Криволинейният интеграл трябва да е равен
на двойния интеграл по повърхнината.

Тази област всъщност е
една повърхнина, която

лежи в равнината ху.

Така че това е равно на двойния интеграл...

ще напиша това със същия цвят –

равно на двойния интеграл по
тази област, което всъщност

е равно на повърхнината...

на скаларното произведение
на ротацията на F по n.

Да помислим какво означава
това скаларно произведение на ротацията на F по n.

dS е просто малко парченце от тази област –

малко парченце от тази плоска
повърхнина ето тук.

Вместо dS мога да напиша просто dA.

Но да помислим какво представлява
скаларното произведение на ротацията на F по n.

Първо да разгледаме ротацията на F.

Значи ротацията на F –
начинът, по който винаги

запомням това е, че намираме

детерминантата на една матрица, която съдържа
ijk; частните производни относно х,

частните производни относно у

и частните производни относно z.

Това е просто дефиницията
за ротация на векторно поле.

Намираме колко много
векторното поле ще накара

нещо да се върти.

След това имаме компонента i,

който е функцията Р, която
просто е функция от х и от у,

j-компонентът е функция от Q.

Тук няма z-компонент, значи 0.

Това ще е равно на...

ако разгледаме i-компонента,

той ще бъде частната производна
спрямо у от 0, значи е просто 0,

минус частната производна на Q относно z.

Колко е частната производна
на Q относно z?

Q не е функция от z.

Значи частната производна относно z
ще бъде 0 – ще напиша това,

за да не стане твърде объркващо.

Значи нашият компонент i
е равен на частната производна

на 0 относно у.

Това също е нула, минус
частната производна на Q

относно z.

Частната производна на Q относно z

също е нула.

Значи имаме нулев i-компонент.

След това просто изваждаме
j-компонента.

За j-компонента – частната
производна на 0 относно х е 0.

После от това вадим частната
производна на Р относно z.

Отново, Р не е функция от z.

Значи това пак ще бъде 0.

След това имаме плюс k
по частната производна на Q относно х.

Спомни си, че това е просто
оператор за частна производна.

Значи частната производна
на Q относно х.

От нея ще извадим частната
производна на Р относно у.

Ротацията на F се опрости
до това нещо ето тук.
(огражда го)

А колко е n?

Това е единичният нормален вектор.

Намираме се в равнината ху.

Следователно единичният
нормален вектор

ще сочи просто нагоре в посока z.

Ще има дължина единица.

В този случай нашият
единичен нормален вектор

ще бъде просто вектор k.

Така че взимаме... ротацията
на F е ето това нещо.

Единичният нормален вектор

е равен на вектор k –

той е просто единичният k вектор.

Ще сочи ето така.

Какво се получава, когато намерим
скаларното произведение на ротацията на F и k?

Просто намираме скаларното
произведение на това и вектор.

Намираме просто скаларното
произведение на това и на вектор k.

Ще получим тази част ето тук.
(огражда я)

Значи скаларното произведение на ротацията
на F и единичния нормален вектор

е равно просто на това нещо.
(което е оградено с виолетово)

Равно е на частната производна
на Q относно х

минус частната производна на Р относно у.

Това е чудесно, защото
когато използваме теоремата на Стокс

в този конкретен случай,
когато имаме

плоска повърхнина в равнината ху,

в този случай това ни дава
просто теоремата на Грийн.

Това нещо ето тук просто
се сведе до теоремата на Грийн.

Виждаме, че теоремата на Грийн
е просто специален случай...

ще запиша "теорема" по-четливо.

Виждаме, че теоремата
на Грийн по същество

е просто частен случай на
теоремата на Стокс,

когато повърхнината е плоска
и лежи в равнината ху.

Това трябва да ни дава
увереност, макар че

още не сме доказали
теоремата на Стокс.

Едно нещо, което харесваме
относно това, е фактът, че

теоремата на Грийн и теоремата на Стокс
са съвместими помежду си,

поради което ето това тук
придобива смисъл.

Когато за пръв път разглеждахме
теоремата на Грийн,

ние се чудихме за какво се отнася тя.

Какво означава тя?

Сега това просто ни казва, че

просто намираме ротацията
в тази област в повърхнината.

Сега това придобива смисъл, когато стъпим

върху това, което видяхме
в предишното видео.