-
-
Ich habe hier einen Kreis, dessen Umfang 18 pi groß ist.
-
Wenn wir den Kreis einmal im Uhrzeigersinn messen,
-
erhalten wir als Größe 18 pi.
-
In der Mitte zeichne ich gleich einen Kreis ein.
-
Das ist das Zentrum des Kreises.
-
Der Mittelpunktswinkel, den ich jetzt einzeichne
-
hat eine Öffnung von 10 Grad.
-
Dieser Winkel ist also 10 Grad groß.
-
Ich möchte nun die Länge des Kreisbogens ermitteln,
-
der durch den Winkel eingeschlossen wird.
-
Wie lang ist dieses in magenta markierte Stück des Kreises?
-
Eine Möglichkeit sich diesem
-
Problem zu nähern, ist das Verhältnis des
-
markierten Kreisbogens zum gesamten Umfang zu betrachten.
-
-- ich notiere das mal -- Dieses Verhältnis
-
sollte das Gleiche sein, wie das Verhältnis des Mittelpunktswinkels
-
zu der Gesamtanzahl an Winkeln, wenn
-
der Kreis einmal umrundet wird -- also zu 360 Grad.
-
Denk darüber mal nach.
-
Der Umfang ist 18 pi groß.
-
Der Umfang ist 18 pi groß.
-
Wir wollen die Länge des Kreisbogens wissen.
-
Ich bezeichne diese nun mit a. a steht für die Länge des Kreisbogens.
-
Danach wollen wir die Gleichung auflösen.
-
Wir wissen, dass der Mittelpunktswinkel 10 Grad groß ist.
-
Wir notieren also 10 Grad geteilt durch 360 Grad.
-
Wir notieren also 10 Grad geteilt durch 360 Grad.
-
Wir können das vereinfachen, indem wir
-
beide Seiten mit 18 pi multiplizieren.
-
beide Seiten mit 18 pi multiplizieren.
-
Wir wissen jetzt, dass die Kreisbogenlänge
-
-- 10/360 ist das Gleiche wie 1/36 --
-
1/36 mal 18 pi entspricht.
-
18 pi geteilt durch 36, was das Gleiche ist wie pi/2.
-
Der Kreisbogen ist also pi/2 Einheiten groß.
-
Der Kreisbogen ist also pi/2 Einheiten groß.
-
Nun folgt ein weiteres Beispiel.
-
Wir betrachten den gleichen Kreis.
-
Das ist der gleiche Kreis.
-
Der Umfang ist immer noch 18 pi.
-
Der Umfang ist immer noch 18 pi.
-
Hinter mir haben ein paar Personen
-
eine Konferenz.
-
Wunder dich nicht, falls Stimmen im Hintergrund hörst.
-
Also, der Umfang ist hier auch 18 pi.
-
Jetzt ist der Mittelpunktswinkel ein stumpfer Winkel.
-
Wir beginnen wieder mit dem Winkel.
-
Das ist die eine Seite des Winkels.
-
Ich zeichne nun einen Winkel ein, der 350 Grad groß ist.
-
Ich muss also fast einmal um das Zentrum gehen.
-
Das sind 350 Grad.
-
Ich bin gespannt wie groß der Kreisbogen ist,
-
der durch diesen Winkel eingeschlossen wird.
-
Ich möchte nun die Länge dieses Kreisbogens bestimmen.
-
Ich möchte die Länge des Kreisbogens berechnen,
-
der durch diesen stumpfen Winkel aufgespannt wird.
-
Wir verwenden nun die gleiche Vorgehensweise -- das Verhältnis von der Länge des Kreisbogens a
-
zu dem Umfang des gesamten Kreises, 18 pi,
-
sollte das Gleich sein, wie das Verhältnis des Mittelpunktswinkel,
-
der 350 Grad groß ist zu
-
dem Gesamtumfang von 360 Grad.
-
Wir multiplizieren beide Seiten mit 18 pi.
-
Wir multiplizieren beide Seiten mit 18 pi.
-
Wir erhalten a ist gleich -- das ist 35 mal 18 geteilt durch 36 pi.
-
350 geteilt durch 360 ist gleich 35/36.
-
Das ergibt 35 mal 18 mal pi geteilt durch 36.
-
Das ergibt 35 mal 18 mal pi geteilt durch 36.
-
36 und 18 sind beide durch 18 teilbar,
-
also teilen wir sie durch 18.
-
Wr erhalten 35/2 pi.
-
Ich notiere das -- 35 pi geteilt durch 2.
-
Ich notiere das -- 35 pi geteilt durch 2.
-
Als Dezimalzahl ergibt das
-
17,5 pi.
-
Ergibt das Sinn?
-
Das ist hier ist andere Kreisbogenlänge.
-
Als unser Mittelpunktswinkel 10 Grad groß war,
-
war der Kreisbogen 0,5 pi lang.
-
Wenn wir nun diese beiden Zahlen addieren,
-
also 0,5 plus 17,5,
-
dann erhalten wir 18 pi, was der Umfang des Kreises ist.
-
Das macht Sinn, weil wenn du 10 Grad
-
und 350 Grad addierst, erhälst du die 360 Grad des Kreises.
-
Khan Academy
