Introduction to interval notation

С това видео искам да те запозная с понятието интервал

и да разгледам начините, по които можем да означим даден интервал.

Това е една числова ос.

Нека да разгледаме върху числовата ос интервала от минус три до две.

Нека използвам различен цвят.

Интересува ме този интервал тук.

Интересуват ме всички числа от минус три до две.

Но трябва да бъда по-точен и да поясня дали включвам минус три и две или не ги включвам,

или може би включвам само едното от тях.

Ако включвам минус три и две в интервала, тогава ще ги запълня.

Ето така запълвам кръгчетата на минус три и две,

което означава, че минус три и две са част от този интервал.

Ако свържеш крайните точки, това се нарича затворен интервал.

Току-що ти показах как мога да го изобразя върху числова ос,

като запълня кръгчетата на крайните точки.

Има много начини да опишем

математически този интервал.

Бих могъл да кажа, че това са всички...

Нека кажем, че тази числова ос показва различни стойности на х.

Бих могъл да кажа, че това са всички х,

които се намират между минус три и две.

И забележи, че имам минус три е по-малко или равно на х,

което означава, че х може да бъде равно на минус три.

След това имаме х е по-малко от или равно на плюс две.

Това означава, че х може да бъде равно на плюс две,

така че това е затворен интервал.

Друг начин да изобразим този затворен интервал е да използваме квадратни скоби.

Това е затворен интервал между минус три и две.

Използвам квадратни скоби и те показват...

Ето тази квадратна скоба отляво ни показва, че включваме в интервала минус три,

а тази квадратна скоба отдясно ни казва, че включваме в интервала плюс две.

Понякога можеш да видиш тези неща, написани по малко по-математически начин.

х принадлежи към реалните числа, за които...

Бих могъл да поставя тези къдрави скоби около това.

Тези къдрави скоби ни казват, че говорим за множество от стойности и казваме,

че множеството е от всички х, които принадлежат към реалните числа.

Това тук е просто модерно математическо означение,

че принадлежи към реалните числа, използвам гръцката буква епсилон.

Това принадлежи към реалните числа, за които...

Тази вертикална линия тук означава "за които",

минус три е по-малко от или равно на х,

е по-малко от или равно на две.

Бих могъл да го напиша и по друг начин.

Бих могъл да напиша, че х принадлежи към реалните числа,

за които х принадлежи

към това затворено множество, тук включвам и крайните точки.

Всичко това са различни начини за обозначаване

или изобразяване на един и същ интервал.

Нека направим още няколко примера.

Нека начертая отново една числова ос.

И сега ще направя един отворен интервал.

Отворен интервал, за който

ясно можем да видим разликата.

Да кажем, че искам да отбележа

стойностите между минус едно и четири.

Ще използвам различен цвят.

Стойностите между минус едно и четири,

но без да включвам минус едно и четири.

Това е отворен интервал.

Няма да включвам четири

и няма да включвам минус едно.

Забележи, че тук имам отворени кръгчета.

Тук горе имахме затворени кръгчета.

Затворените кръгчета ми показват, че включвам минус три и две.

Сега тук имам отворени кръгчета.

Това показва, че това са всички стойности между минус едно и четири.

Минус 0,999999 ще се включва,

но минус едно няма да бъде включено в интервала.

И също 3,9999999 ще бъде включено,

но четири няма да бъде включено.

Какво би било обозначението за това?

Можем да кажем, че х ще принадлежи към реалните числа,

които са по-големи от минус едно...

няма да кажа по-голямо или равно на,

защото х не може да бъде равно на минус едно,

така че минус едно е всъщност по-малко от х,

и е по-малко от четири.

Забележи, че не е по-малко от или равно на четири,

защото не може да бъде равно на четири, четири не е включено.

Ето това е един от начините да го кажем.

По друг начин мога да го запиша ето така.

х принадлежи към реалните числа, за които

х принадлежи към...

Сега интервала е от минус едно до четири,

но няма да използвам тези квадратни скоби.

Тези квадратни скоби ни казват, "да включим и крайните точки,"

но аз няма да ги включвам,

така че тук ще поставя обикновени скоби.

Обикновени заоблени скоби.

Това ни казва, че си имаме работа с отворен интервал.

Нека го запиша, това е отворен интервал.

Обърни внимание, в първия случай са включени и двете крайни точки -

това е затворен интервал.

В този случай и двете крайни точки са изключени -

това е отворен интервал.

Можем ли да имаме интервал, където да е включена само едната крайна точка,

а другата да е изключена?

Да, разбира се!

Нека видим един такъв пример.

Ще взема друга числова ос.

Нека го направя по различен начин.

Ще го напиша първо и след това ще го начертая.

Да кажем, че разглеждаме всички х,

които принадлежат към реалните числа,

за които х е по-голямо от минус четири (тук минус четири не е включено),

и х е по-малко или равно на минус едно (тук минус едно е включено).

Няма да включваме минус четири.

Минус четири е стриктно по-малко от x,

а не по-малко или равно на x,

така че х не може да бъде равно на минус четири, следователно тук имаме отворено кръгче.

Но х може да бъде равно на минус едно.

То трябва да бъде по-малко от или равно на минус едно.

То може да бъде равно на минус едно,

така че ще запълня това кръгче.

И интервалът включва всичко между тях.

Ако искам да го напиша с това означение,

пиша х принадлежи към реалните числа,

за които х принадлежи към интервала

между минус четири и минус едно,

но не включваме минус четири...

имаме отворено кръгче тук,

така че ще поставя обикновена скоба от тази страна,

но ще включим минус едно.

Включваме минус едно.

Така че ще поставя квадратна скоба от тази страна.

Ето това е означението.

Има още неща, които могат да се направят

с означението за интервал.

Могат да се посочат всички стойности от интервала, с изключение на някои .

Нека дам друг пример.

Ако искаме да посочим всички реални числа,

с изключение на едно.

Искаме да включим в интервала

всички реални числа, с изключение на едно.

С изключение на едно, тук ще изключим едно,

имаме отворено кръгче, но може да бъде и всяко друго реално число.

Как ще означим това?

Бихме могли да напишем, че х принадлежи към реалните числа,

за които х не е равно на едно.

Тук казвам, че х принадлежи към реалните числа,

но х не може да бъде равно на едно.

То може да бъде всичко друго, но не и равно на едно.

Има и други начини да се изобрази този същия интервал.

Можеш да кажеш, че х принадлежи към реалните числа,

за които х е по-малко от едно

или х е по-голямо от едно.

Можеш да го запишеш по този начин.

Или можеш да направиш нещо интересно.

Аз бих използвал това, тъй като е най-кратко и много ясно.

Казваш, всичко с изключение на едно.

Но можеш да кажеш и нещо по-модерно, например

х принадлежи към реалните числа, за които х принадлежи

към множеството от минус безкрайност до едно,

без да включваме едно,

или принадлежи към интервала от едно,

без да включваме едно, чак до плюс безкрайност.

И когато говорим за минус безкрайност

или плюс безкрайност, винаги поставяме обикновени скоби.

Причината е, че никога не можеш да включиш всичко

чак до безкрайност.

Би трябвало да има поне отворено кръгче в тази крайна точка,

защото безкрайността просто продължава.

Така че винаги поставяш обикновени скоби,

когато имаш плюс или минус безкрайност.

Това в действителност не е крайна точка,

тя продължава нататък завинаги.

Така че използваш означението за отворен интервал,

поне в този край и забележи, че не включваме

дори не включваме едно,

така че ако х принадлежи към този интервал или към този,

то би могло да бъде всичко друго освен едно.

Но най-простото означение за описване на този случай е ето това тук.