Introduction to interval notation

Cílem tohoto videa bude seznámit
vás s intervaly a také si ukázat,

jakými způsoby můžeme intervaly zapsat.

Takže zde mám číselnou osu.

Řekněme, že bych chtěl vyjádřit interval,

který je od -3 po 2 na číselné ose.

Pokud chci tedy…
(Nakreslím to jinou barvou)

Pokud chci vyjádřit tento interval zde,
zajímají mě všechna čísla od -3 do 2.

Pro větší přesnost musím také zmínit,

jestli do intervalu zahrnujeme
-3 a 2, nebo je nezahrnujeme,

anebo jestli zahrnujeme
jenom jedno z nich.

Pokud chci zahrnout do intervalu
-3 a 2, tak -3 a 2 vyplním.

Když tedy vyplním -3 a 2, znamená to,

že -3 a 2 jsou součástí toho intervalu.

Když do intervalu zahrnujeme i koncové
body, nazýváme to uzavřený interval.

Uzavřený interval.

Právě jsem vám ukázal,

jak tento interval můžu značit na
číselné ose vyplněním koncových bodů.

Tento interval můžeme matematicky
vyjádřit několika způsoby.

Mohli bychom říct, že jsou to všechna…

Řekněme, že tato číselná osa
nám ukazuje hodnoty pro ,x'.

Mohli bychom říct, že to jsou všechny
hodnoty ,x', které jsou mezi -3 a 2.

Všimněte si, že zde mám
"-3 je menší nebo rovno x",

což nám říká, že ,x' může být rovno…

,x' může být rovno i -3.

Pak tu také máme, že
"x je menší nebo rovno 2",

což znamená, že ,x' může být
rovno i 2 a máme uzavřený interval.

Tento interval bychom mohli
vyjádřit dalším způsobem.

Mohli bychom říct, že máme interval mezi…

(Použijeme tu hranaté závorky,
protože se jedná o uzavřený interval.)

…máme interval mezi -3 a 2…

Hranaté závorky nám tu říkají,
že "zahrnujeme."

Tato levá závorka nám říká,
že zahrnujeme -3, a pravá říká,

že do našeho intervalu zahrnujeme 2.

Můžete se také setkat i
s více matematickým zápisem.

Například "x je součástí
reálných čísel, které…"

A mohl bych sem dát složené závorky.

Tyto závorky nám říkají,
že mluvíme o množině hodnot,

a říkáme, že množina všech hodnot ,x',
které jsou součástí reálných čísel…

Toto je jen způsob, jak to zapsat:

"patří do množiny reálných čísel."

(Používám zde řecké písmeno epsilon.)

…jsou to tedy taková reálná čísla ,x',

(tato svislá čára znamená
"pro která platí, že…")

…kde -3 je menší…

kde -3 je menší nebo rovno ,x'
a ,x' je menší nebo rovno 2.

Mohl bych také napsat,
že ,x' je takové reálné číslo,

které je také součástí tohoto uzavřeného
intervalu, kde zahrnuji i koncové body.

Toto byly teda všechny
způsoby, jakými vyjádřit,

jakými zapsat stejný interval.

Pojďme k dalším příkladům.

Pojďme tedy znovu načrtnout číselnou osu.

Takže, číselná osa.

Teď vám tedy ukážu otevřený interval.

Otevřený interval, na
kterém poznáme rozdíl.

Řekněme, že chci mluvit
o hodnotách mezi -1 a 4.

(Udělám to odlišnou barvou.)

Takže hodnoty mezi -1 a 4,
ale nechci zahrnout -1 a 4.

Toto bude otevřený interval.

Do intervalu nezahrnuji 4 a nezahrnuji -1.

Všimněte si, že zde mám prázdné body.

Vyplněné body nahoře mi říkají,
že do intervalu jsem zahrnul -3 a 2.

Teď mám prázdné body, což mi
říká, že nezahrnuji koncové body.

Jsou to všechny hodnoty mezi -1 a 4.

I -0,9999999 bude v intervalu zahrnuto,

ale -1 už v intervalu zahrnuto nebude.

Stejně tak platí,
že 3,99999999 bude v intervalu,

ale 4 už v intervalu nebude.

Jak bychom…

Jak bychom to mohli zapsat?

No, mohli bychom říct, že ,x' patří
do množiny reálných čísel takových,

že pro ně platí, že -1…

Nebudu tu psát "menší nebo rovno",
protože ,x' se nemůže rovnat -1,

takže -1 musí být menší než ,x'
a ,x' musí být menší než 4.

Není tam "menší nebo rovno",

protože se to nemůže
rovnat 4, 4 není zahrnuto.

To je jeden způsob, jak to říct.

Mohli bychom to také vyjádřit takhle.

,x' je součástí takových reálných
čísel, kde platí, že ,x' je součástí…

Interval je od -1 po 4,
ale nepoužiju tyto závorky.

Hranaté závorky naznačují,
že zahrnuji koncové body,

ale já je tu nezahrnuji, takže
tu použiju kulaté závorky.

(Kulaté závorky)

Toto nám říká, že se
jedná o otevřený interval.

Pro ujasnění, toto zde
je otevřený interval.

Teď si tedy říkáte, dobře, v tomto případě
byly oba koncové body zahrnuty,

je to uzavřený interval.

Zde byly koncové body vyřazeny,
je to otevřený interval.

Můžeme mít interval, kde je jeden
bod zahrnutý a druhý bod vyřazený?

Odpověd je ano.

Ukážeme si zde příklad tohoto intervalu.

Udělám si další číselnou osu.

(Další číselnou osu.)

Řekněme, že chceme…

Udělám to obráceně.

Nejprve to napíšu, potom to namaluji.

Chceme vyjádřit hodnoty ,x',

které patří do množiny
takových reálných čísel,

kde -4 není zahrnuto a je menší
než ,x' a ,x' je menší nebo rovno -1.

V tomto intervalu je -1 zahrnuto.

Nezahrnujeme zde -4.

-4 je méně než ,x', ne "méně nebo rovno",

takže ,x' se nemůže rovnat
-4, dáme tam prázdný bod.

,x' se ale může rovnat -1.

x' musí být menší nebo rovno -1.

Protože ,x' se může rovnat
-1, zaplním tento bod.

Je to všechno mezi těmito body.

Kdybych to chtěl vyjádřit tímto
způsobem, mohl bych zapsat,

že x je prvkem takových reálných
čísel, kde x je součástí intervalu,

takže to bude mezi -4 a -1,
ale nezahrnuji do intervalu -4.

Máme zde otevřený bod, takže na
tuto stranu dám kulatou závorku,

ale do intervalu zahrnujeme -1.

Do intervalu zahrnujeme -1, takže na
druhou stranu dám hranatou závorku.

Takhle bychom to mohli také zapsat.

Se zápisem intervalu
můžeme dělat i jiné věci.

Mohli bychom zapsat všechno
kromě nějakých hodnot.

Udělám zde další příklad.

Udělám zde další příklad.

Řekněme, že chceme mluvit o všech
reálných číslech, až na jedno konkrétní.

Chceme zahrnout všechna reálná čísla.

Všechna reálná čísla, až na 1.

Takže vyloučíme 1 zde,

uděláme tam prázdný bod, ale všechna
ostatní reálná čísla zahrnujeme.

Jak bychom to mohli zapsat?

No, mohli bychom zapsat,

že ,x' patří do množiny takových
reálných čísel, kde ,x' se nerovná 1.

Tady říkám, že ,x' je součástí
reálných čísel, ale nerovná se 1.

Může to být všechno ostatní,
ale nemůže to být 1.

Jsou i jiné způsoby, jak to zapsat.

Můžeme říct, že ,x' je prvkem
takových reálných čísel,

kde x je menší než 1
nebo x je větší než 1.

Takhle byste to mohli také zapsat.

Nebo to můžeme udělat takhle.

Tuto metodu bych volil já, protože
je nejkratší a velmi srozumitelná.

Řeknete v ní "vše kromě 1".

Ale dalo by se to zapsat i takhle:

"x je prvkem takových reálných čísel,

že x patří do intervalu
od -nekonečna po 1,

ale 1 nezahrnujeme, nebo
x je prvkem intervalu od…

…nebo je prvkem intervalu od 1 do
+nekonečna, 1 znovu nezahrnujeme."

Když mluvíme o -nekonečnu nebo o
+nekonečnu, používáme vždy kulaté závorky.

Důvodem je, že nemůžeme
zahrnout všechno až po nekonečno.

Musí to být otevřené v bodě nekonečna,
protože nekonečno jde prostě dál a dál.

Takže vždy dávejte kulaté závorky,
když značíte - nebo + nekonečna.

Není to koncový bod, protože
to jde navždy dál a dál.

Používejte zde otevřený interval,

všimněte si, že nezahrnujeme
jak nekonečna, tak 1,

takže ,x' je součástí jednoho
intervalu nebo toho druhého,

je to v podstatě všechno kromě 1.

Ale tohle by byl nejjednodušší
zápis, který to popisuje.