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In diesem Video möchte ich euch
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mit dem Begriff des Intervalls bekannt machen,
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und auch darüber nachdenken,
wie wir ein Intervall darstellen können.
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und auch darüber nachdenken,
wie wir ein Intervall darstellen können.
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Hier haben wir eine Zahlengerade.
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Lass uns annehmen, ich möchte
über das Intervall sprechen,
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das auf der Zahlengerade von -3 bis 2 reicht.
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Es geht mir um dieses Intervall hier.
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Es geht mir um dieses Intervall hier.
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Alle Zahlen von -3 bis 2.
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Um genau zu sein, muss ich dazusagen:
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Schliesse ich -3 und 2 ein oder nicht?
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Schliesse ich -3 und 2 ein oder nicht?
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Oder vielleicht schliesse ich nur eins davon ein.
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Wenn ich -3 und 2 einschliesse,
zeiche ich ausgefüllte Kreise.
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Wenn ich -3 und 2 einschliesse,
zeiche ich ausgefüllte Kreise.
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Wenn ich -3 und 2 einschliesse,
zeiche ich ausgefüllte Kreise.
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-3 und 2 sind Teil des Intervalls.
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-3 und 2 sind Teil des Intervalls.
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Wenn du die Endpunkte einschliesst,
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nennt man das ein abgeschlossenes Intervall.
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Abgeschlossenes Intervall.
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Ich hab dir gerade gezeigt, wie ich das auf
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einer Zahlengerade darstellen kann,
indem ich die Endpunkte ausfülle.
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Man kann ein Intervall auf mehrere Arten mathematisch beschreiben.
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Man kann ein Intervall auf mehrere Arten mathematisch beschreiben.
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Man kann ein Intervall auf mehrere Arten mathematisch beschreiben.
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Lass uns annehmen, diese Zahlengerade
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zeigt verschiedene Werte für x.
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Ich könnte sagen, dass das Intervall
alle x sind, die zwischen -3 und 2 liegen.
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Ich könnte sagen, dass das Intervall
alle x sind, die zwischen -3 und 2 liegen.
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Und beachte, ich hab hier -3 ist kleiner-gleich x.
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Damit wissen wir, dass x gleich -3 sein könnte.
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Damit wissen wir, dass x gleich -3 sein könnte.
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Und dann haben wir x ist kleiner oder gleich 2,
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das heisst, x könnte gleich 2 sein.
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Dadurch ist das ein abgeschlossenes Intervall.
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Eine andere Art, dieses abgeschlossene
Intervall darzustellen, ist mit Klammern.
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Eine andere Art, dieses abgeschlossene
Intervall darzustellen, ist mit Klammern.
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Für ein abgeschlossenes Intervall
verwenden wir eckige Klammern.
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Für ein abgeschlossenes Intervall
verwenden wir eckige Klammern.
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Das abgeschlossenen Intervall zwischen -3 und 2.
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Die eckigen Klammern bedeuten,
dass die Endpunkte eingeschlossen sind.
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Die Klammer links sagt uns,
dass wir -3 einschliessen.
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Die Klammer links sagt uns,
dass wir -3 einschliessen.
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Die Klammer rechts sagt uns,
dass wir 2 in unserem Intervall einschliessen.
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Manchmal siehst du das vielleicht
ein wenig mehr mathematisch dargestellt:
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Manchmal siehst du das vielleicht
ein wenig mehr mathematisch dargestellt:
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x ist ein Element der reellen Zahlen, sodass --
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Dann mache ich
geschwungene Klammern um das Ganze.
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Geschwungene Klammern bedeuten, dass wir über eine Menge von Werten sprechen.
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Geschwungene Klammern bedeuten, dass wir über eine Menge von Werten sprechen.
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Der Ausdruck bedeutet:
Die Menge aller x,
die ein Element der reellen Zahlen sind
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Der Ausdruck bedeutet:
Die Menge aller x,
die ein Element der reellen Zahlen sind
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das hier ist nur ein mathematischer Ausdruck.
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x ist ein Element der reellen Zahlen.
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Ich verwende hier den griechischen Buchstaben Epsilon.
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Es ist ein Element der reellen Zahlen, das folgende Bedingung erfüllt.
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Diese vertikale Linie hier bedeutet "sodass".
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-3 ist kleiner oder gleich x ist kleiner oder gleich 2 .
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-3 ist kleiner oder gleich x ist kleiner oder gleich 2 .
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-3 ist kleiner oder gleich x ist kleiner oder gleich 2 .
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Ich kann das auch so schreiben.
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x ist ein Element der reellen Zahlen,
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das die Bedingung erfüllt, ein Element dieser abgeschlossenen Intervalls zu sein.
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das die Bedingung erfüllt, ein Element dieser abgeschlossenen Intervalls zu sein.
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Das sind alles mögliche Wege,
um das selbe Intervall darzustellen.
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Das sind alles mögliche Wege,
um das selbe Intervall darzustellen.
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Machen wir noch einige Intervalle.
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Ich zeichne noch einmal eine Zahlengerade.
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Ich zeichne noch einmal eine Zahlengerade.
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Jetzt zeichnen wir ein offenes Intervall,
damit wir den Unterschied sehen können.
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Jetzt zeichnen wir ein offenes Intervall,
damit wir den Unterschied sehen können.
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Jetzt zeichnen wir ein offenes Intervall,
damit wir den Unterschied sehen können.
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Diesmal nehmen wir die Werte zwischen -1 und 4,
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Diesmal nehmen wir die Werte zwischen -1 und 4,
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Diesmal nehmen wir die Werte zwischen -1 und 4,
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Diesmal nehmen wir die Werte zwischen -1 und 4,
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aber ohne -1 und 4.
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Es ist also ein offenes Intervall.
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Ich schliesse weder 4 noch -1 ein.
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Ich schliesse weder 4 noch -1 ein.
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Deshalb fülle ich meine Kreise nicht aus.
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Oben waren ausgefüllte Kreise,
das bedeutet,
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dass ich -3 und 2 einbezogen hatte.
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Jetzt habe ich nicht ausgefüllte Kreise, also
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sind es lediglich alle Werte zwischen -1 und 4.
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- 0,999999 ist eingeschlossen,
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aber -1 nicht.
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Und 3,9999999 ist eingeschlossen,
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aber 4 nicht.
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Wie würden wir das darstellen?
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Wie würden wir das darstellen?
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Wir könnten sagen, x ist ein Element
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der reellen Zahlen, das die Bedingung erfüllt:
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-1 kleiner als x
-- ich sage hier nicht kleiner oder gleich --
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-1 kleiner als x
-- ich sage hier nicht kleiner oder gleich --
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-1 kleiner als x
-- ich sage hier nicht kleiner oder gleich --
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und x ist kleiner als 4.
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Beachte, nicht kleiner-gleich, denn es kann nicht
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gleich 4 sein, 4 ist nicht eingeschlossen.
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Das ist eine Möglichkeit es darzustellen.
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Eine andere Möglichkeit wäre,
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x ist ein Element der reellen Zahlen,
das die Bedingung erfüllt
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x ist ein Element von ...
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Nun, das Intervall ist von -1 bis 4
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aber ich nehme nicht diese eckigen Klammern.
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Eckige Klammern sagen "Hey, lass mich die Endpunkte mit einbeziehen.",
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aber ich schliesse sie nicht ein,
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somit verwende ich hier die runden Klammern.
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Runde Klammern.
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Also das hier sagt uns,
dass es sich um ein offenes Intervall handelt.
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Das hier ist ein offenes Intervall.
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Das hier ist ein offenes Intervall.
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Jetzt fragst du dich vielleicht, okay, in diesem Fall
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waren beide Endpunkte eingeschlossen, und es ist ein abgeschlossenes Intervall.
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In dem Fall waren beide Endpunkte ausgeschlossen,
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und es ist ein offenes Intervall.
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Kann es sein, dass ein Endpunkt eingeschlossen
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und ein anderer ausgeschlossen ist? Absolut.
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Lass uns ein solches Beispiel anschauen.
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Ich zeichne hier eine weitere Zahlengerade.
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Ich zeichne hier eine weitere Zahlengerade.
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Lass es mich erst aufschreiben, dann zeichnen.
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Lass es mich erst aufschreiben, dann zeichnen.
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Wir meinen alle x,
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die ein Element der reellen Zahlen sind
und die Bedingung erfüllen:
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sagen wir, 4 ist nicht eingeschlossen, so -4 ist kleiner x,
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ist kleiner oder gleich -1.
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Damit ist -1 eingeschlossen.
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Aber -4 nicht.
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-4 ist kleiner als
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nicht kleiner-gleich,
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x kann also nicht gleich -4 sein.
Der Punkt bleibt unausgefüllt.
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Aber x könnte gleich -1 sein.
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Es muss kleiner oder gleich -1 sein.
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Es könnte gleich -1 sein,
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somit fülle ich den Punkt hier aus.
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Und es ist alles dazwischen.
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In der Schreibweise rechts wäre das:
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x ist ein Element der reellen Zahlen,
das die Bedingung erfüllt,
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x ist ein Element des Intervalls
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zwischen -4 und -1.
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Aber -4 ist nicht eingeschlossen.
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Der Punkt hier ist nicht ausgefüllt.
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Also setze ich eine runde Klammer auf dieser Seite,
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aber wir schliessen -1 ein.
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aber wir schliessen -1 ein.
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Somit nehmen wir die eckige Klammer hier.
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Das hier wäre die Schreibweise.
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Nun, man kann auch andere Dinge mit der Intervallschreibweise anstellen.
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Nun, man kann auch andere Dinge mit der Intervallschreibweise anstellen.
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Man könnte sagen, hey, alles außer ein paar Zahlen.
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Lass mich noch ein weiteres Beispiel zeigen.
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Lass mich noch ein weiteres Beispiel zeigen.
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Angenommen, wir sprechen über alle reellen Zahlen,
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ausser 1.
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Wir wollen alle reellen Zahlen einschliessen.
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Alle, ausser 1.
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Um 1 herum machen wir einen nicht ausgefüllten Kreis.
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Um 1 herum machen wir einen nicht ausgefüllten Kreis.
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Wie würden wir das schreiben?
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Nun, wir könnten schreiben,
x ist ein Element der reellen Zahlen,
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das die Bedingung erfüllt, x ist nicht gleich 1.
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Ich sage, x kann ein Element der reellen Zahlen sein,
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aber x kann nicht gleich 1 sein.
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Es kann jede andere Zahl sein, aber nicht 1.
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Und es gibt andere Wege, das hier aufzuschreiben.
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Du könntest sagen, x ist ein Element der reellen Zahlen,
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das die Bedingung erfüllt, x ist kleiner als 1,
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oder x ist größer als 1.
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Genau so könnte man das schreiben.
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Oder du könntest was Interessantes tun.
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Ich würde diese hier benutzen, es ist die kürzeste
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und es ist sehr einfach zu verstehen.
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Du sagst, hey, alles aus 1.
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Aber du könntest auch etwas schickes tun wie,
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x ist ein Element der reellen Zahlen, das die Bedingung erfüllt, x ist ein Element
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der Menge die von minus unendlich bis 1 geht,
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ohne 1, oder x ist ein Element der Menge von
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ohne 1, oder x ist ein Element der Menge von 1
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ohne 1, bis plus unendlich,
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bis plus unendlich.
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Und wenn wir von minus unendlich
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oder plus unendlich sprechen,
verwenden wir immer runde Klammern.
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Die Ansicht ist, dass man niemals alles bis unendlich einschliessen könnte.
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Die Ansicht ist, dass man niemals alles bis unendlich einschliessen könnte.
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Es muss zumindest am Endpunkt offen sein,
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denn unendlich geht immer weiter.
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Wenn du also über plus oder minus unendlich sprichst, musst du immer runde Klammern verwenden.
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Wenn du also über plus oder minus unendlich sprichst, musst du immer runde Klammern verwenden.
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Es handelt sich nicht wirklich um einen Endpunkt,
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es geht immer weiter.
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Deshalb verwendest du die
Schreibweise für ein offenes Intervall,
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zumindest an diesem Ende und beachte, wir schliessen
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keiner der beiden ein, somit, wenn x ein Element
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dieses oder dieses Intervalls ist,
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könnte es alles ausser 1 sein.
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Aber das hier wäre die einfachste Schreibweise,
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um das darzustellen.
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