Introduction to interval notation

В цьому відео я планую

познайомити вас з тим, як
позначаються інтервали,

а також показати способи, якими

це можна робити.

Тут я маю числову вісь.

Наприклад, ми говоримо про проміжок

на числовий осі, який знаходиться
між -3 і 2.

Ось він у нас тут... я використаю
іншій колір...

Скажімо, я маю на увазі ось цей
інтервал.

Я маю на увазі всі числа від -3 до 2.

Щоб бути більш точним, я маю
уточнити,

чи -3 і 2 належать до цього інтервалу,

чи я не включаю до нього -3 і 2,

або я включаю до нього лише
одине з цих чисел.

Якщо я включу до інтервалу -3 і 2,

тоді я зафарбую їх.

Отже, ось тут я зафарбовую -3 і 2,

і це означає, що -3 і 2 належать

до інтервалу, про який йде мова.

Коли до інтервалу включаються
кінцеві точки,

він називається відрізком, або закритим
інтервалом.

Закритий інтервал або відрізок.

Я показав вам, як зобразити відрізок

на числовій осі, для цього потрібно
зафарбувати проміжок між кінцевими точками.

Існує декілька способів запису
інтервалів

математичною мовою.

Я б сказав, що це все...

Нехай ця числова вісь

показує різні значення Х.

Можна сказати, що тут є всі Х,
що існують між

-3 і 2.

Зверніть увагу, -3 у мене менше або
дорівнює Х,

тож це нам каже, що Х може дорівнювати...

Х може дорівнювати -3.

І до того ж, наш Х є меншим або дорівнює 2,

а це значить, що Х може дорівнювати 2,
тож маємо

закритий інтервал, або відрізок.

Ми можемо записати цей відрізок
іншим способом.

Можемо сказати - добре, ми маємо на увазі
інтервал,

і ми використовуємо квадратні дужки,

тому що це закритий інтервал,

-3 і 2, і знов

я використовую тут квадратні дужки,
які інформують нас про те,

що ми включаємо кінці. Ця дужка зліва стоїть тут
через те,

що ми включаємо -3, а ця дужка праворуч

говорить нам, що точка 2 теж включена
в інтервал.

Іноді ми можемо побачити речі,

які записані більш строго.

Ви можете побачити Х є дійсним числом,
таким, для якого...

І я пишу з обох сторін фігурні дужки.
Ось так.

Ці фігурні дужки

говорять нам про те, що мова йде про
множину значень

і ми говоримо про множину всіх іксів,

які належать множині дійсних чисел,

тож це такий цікавий математичний

запис, це дійсне число.

Тут я використовую грецьку літеру
епсілон.

Це дійсне число таке, при якому...

ця вертикальна лінія читається як
"таке, при якому..."

-3 менше, ніж Х...

-3 менше або дорівнює Х,

а Х менше або дорівнює 2.

Я можу записати це так.

Я можу написати, що Х належить
множині дійсних чисел, таких,

для яких Х належить...

до цієї закритої множини, я включаю
сюди кінцеві точки.

Всі ці записи - це різні способи зобразити

або записати один й той самий інтервал.

Давайте виконаємо ще декілька прикладів.

Давайте я знов накреслю числову вісь.

Отже, це числова вісь.

І тепер я відмічу... Я відмічу відкритий
інтервал.

Просто для того, щоб ми

змогли чітко побачити різницю.

Скажімо, я хочу поговорити про

значення між -1 і 4.

Я буду використовувати
інший колір.

Отже, значення між -1 і 4,

але я не включатиму -1 і 4.
Тому це буде

відкритий інтервал.

Я не включатиму 4,

і не включатиму -1.

Зверніть увагу, в мене тут порожні
точки.

Тут були замальовані точки, і вони казали
нам,

що ми включаємо -3 і 2.

Тепер у мене тут порожні точки,
вони кажуть, що ми не включаємо

кінцеві точки, а маємо лише всі
значення між -1 і 4.

- 0.9999999 входить до інтервалу,

але -1 не буде входити.

І 3.99999999 входитиме до інтервалу,

але 4 - не буде входити.

Тож, як ми будемо...

Яким буде запис цього інтервалу?

Добре, тут ми могли б сказати, що
Х буде належати до множини

дійсних чисел, таких, при яких -1...
Я не говоритиму

"менше або дорівнює...",

тому що Х не може дорівнювати -1,

тож -1 строго менше, ніж Х,

а Х строго менше, ніж 4.

Зауважте, не "менше, або дорівнює",

тому що Х не може дорівнювати 4,
4 не входить.

Це один спосіб запису інтервалу.

Інший спосіб, яким я можу його записати,

такий: Х належить до множини
дійсних чисел, причому

Х належить...

Тепер інтервал від -1 до 4,

але я не буду використовувати

такі дужки. Бо вони кажуть: "Агов, ми
включаємо

кінцеві точки", але

ми їх не включаємо, і тому ставимо
круглі дужки.

Круглі дужки.

Вони кажуть нам, що ми маємо справу
з відкритим інтервалом.

Наш інтервал ось тут, я наголошую,

є відкритим.

Тепер ви, мабуть, думаєте: "Добре,
в цьому випадку

обидві кінцеві точки входять в інтервал,
отже, він закритий.

В цьому випадку обидві кінцеві точки
не входять до інтервалу, значить

він відкритий."

Чи може статися так, що одна кінцева

точка входить до інтервалу, і інша - ні?
Відповідь - звісно може.

Давайте розглянемо такий випадок.

Я накреслю ще одну числову вісь.

Ще одну числову вісь.

Скажімо, ми хочемо...

Зробимо інакше.

Давайте я спочатку запишу його,
а потім намалюю.

Скажімо, ми маємо всі Х, які належать

до множини дійсних чисел, при яких,

-4 не входить, воно менше Х,

а Х менше або дорівнює -1.

Отже, -1 входить.

І ми не включаємо -4.

-4 строго менше за Х,

не "менше або дорівнює" йому,

тож Х не може дорівнювати -4,
маємо тут порожню точку.

Але Х може дорівнювати -1.

Він може бути меншим, або дорівнювати -1.

Він може бути дорівнювати -1,

то ж зафарбую цю точку.

І весь проміжок, що між ними.

Якщо я хочу записати інтервал
таким способом, я можу записати

Х як елемент множини дійних чисел,
при яких Х належить

до інтервалу,

тож все це буде між -4 і -1,

причому ми не включаємо -4.

Тут маємо порожню точку,

тож з цієї сторони я поставлю
круглу дужку,

але ми враховуємо -1.

Ми враховуємо -1.

Отже, з іншої сторони ми ставимо
квадратну дужку.

І це і буде правильним записом.

Тепер перейдемо до інших речей,

які можна робити із записом інтервалів.

Ви можете сказати: "Все, окрім деяких
значень".

Розберемо наступний приклад.

Інший приклад. Зараз.

Нехай ми хочемо поговорити про
всі дійсні числа

за винятком одиниці.

Ми бажаємо врахувати всі дійні числа.

Всі дійсні числа за винятком одиниці.

Окрім одиниці, ми не враховуємо одиницю.

Отже, ставимо тут порожню точку, але всі інші дійсні числа нам потрібні.

Отже, як ми можемо записати це?

Ми можемо записати Х як елемент множини
дійсних чисел,

при яких Х не дорівнює 1.

Записали, що Х може бути дійсним
числом,

але не може дорівнювати 1.

Він може бути чим завгодно, але не може
дорівнювати 1.

Існує ще один спосіб записати цей же самий
інтервал.

Ви можете сказати, що Х належить
до множини дійсних чисел,

при яких Х менше 1, або

Х більше 1.

Тож, ви можете записати це ось так.

Або зробити дещо більш цікавіше.

Це запис, який використовував би я,
він найкоротший

і найзрозуміліший.

Можна сказати: "Все, окрім 1"

А можна зробити ще більш цікавий запис.

Можна сказати, що Х - дійсне число,
при якому Х - елемент множини

від мінус нескінченності до 1,

не враховуючи 1. Або Х - елемент множини,

або інтервалу, що починається з 1,

не враховуючи 1, і продовжується до

плюс нескінченності.

Коли ми кажемо про плюс або мінус
нескінченнсть,

ми завжди використовуємо лише
круглі дужки.

Ви ніколи не зможете врахувати
всі числа

до нескінченності.

Він повинен бути відкритий , принаймні,
з цієї сторони,

тому що нескінченність
продовжується далі.

Тож вам завжди потрібно ставити
круглі дужки,

коли мова йде про нескінченність.

Це насправді не

кінцева точка, він продовжується.

Отже, ви використовуєте відкритий

інтервал, принаймні з цього кінця,
і відзначте, що ми не враховуємо...

Ми також не враховуємо 1, тож Х буде
елементом

цього інтервалу або цього.

Він по суті може бути яким завгодно
числом, крім 1.

Але все ж таки ось такий запис

- є найпростішим для запису інтервалів.

Переклад на українську мову: Віра Дрига, рев'ювер: Юлія Білаш, благодійний фонд "Magneticone.org"