Introduction to Conic Sections

لنرى اذا كان بامكاننا تعلم شيئ او اثنان عن

القطاعات المخروطية

اولاً، ما هي القطاعات المخروطية ولماذا

سميت هكذا؟

يمكن انك بالفعل تعرف بعضاً منهم

وسأقوم بكتابتهم

هم الدائرة، القطع الناقص، القطع المكافئ

والقطع الزائد

انها p

من Hyperbola

وبالفعل تعرف ما هؤلاء

في اول مرة درست فيها عن القطاعات المخروطية، كنت

اعرف ما هي الدائرة

واعرف القطع المكافئ

واعرف القليل عن القطاعات الناقصة والزائدة

فلماذا تسمى كل هذه بالقطاعات المخروطية؟

لنجعل الامور سهلة نقول، لأنها تقاطع

القمة والسطح

وسأرسم هذا بسرعة

لكن قبل القيام بهذا فربما من المنطقي

ان نرسمهم بأنفسنا

سأغير الالوان

الدائرة، كلنا نعلم ما هي

دعوني ارى اذا كان بإمكاني ان اختار خط ارفع

لرسم الدائرة

اذاً الدائرة تبدو هكذا

هي عبارة عن نقاط متساوية البعد عن المركز

وهذه المسافة التي تبتعدها تسمى نصف القطر

اذا كان r، وهذا المركز، فستكون الدائرة عبارة عن جميع

النقاط التي تبتعد عن هذا المركز

وقد تعلمنا في منهاجنا ما هي الدائرة

بشكل حرفي، ان تجعل الشيئ مدور

القطع الناقص بحسب تعريف لايمان هو دائرة مضغوطة

يشبه هذا الشكل

دعوني ارسم القطع الناقص بلون مختلف

فيمكن ان يكون القطع الناقص هكذا

او هكذا

انه لمن الصعب استخدام الاداة التي استخدمها، لكن يمكن ان يكون

مائل او مقلوب

لكن هذا بشكل عام

وفي الواقع، تعتبر الدوائر حالة خاصة من القطاعات الناقصة

حيث انها تعتبر قطع ناقص لكن ليس ممتداً من جهة

اكثر من الاخرى

انها متماقلة من جميع الاتجاهات

القطع المكافئ

لقد تعلمتم انه اذا كنتم قد اخذتم الجبر 2

وربما كذلك اذا كنتم تهتمون للقطاعات المخروطية

لكن القطع المكافئ-- دعوني ارسم خط هنا لأفصل الاشياء عن بعضها

القطع المكافئ يبدو هكذا، يشبه حرف
U

هذا هو الشكل المألوف للقطع المكافئ

لا اريد الذهاب الى المعادلات الآن

حسناً، سأقوم بها لأنها تعتبر مألوفة بالنسبة لكم

y= x^2

ثم، يمكن ان نحركه فنحصل

على قطع مكافئ بهذا الشكل

هذا الشكل هو x= y^2

ويمكن ان نقلب هذه الاشياء، لكن اعتقد انك تعرف

الشكل العام للقطع المكافئ

سنتحدث عن كيفية تمثيله او كيف نعرف

ما هي النقاط المثيرة للاهتمام في القطع المكافئ

ومن ثم القطع الاخير، واعتقد انك رأيت هذا الشكل

سابقاً، انه القطع الزائد

انه يشبه قطعين مكافئين، لكن ليس تماماً

لان المنحنيات ستبدو اقل من U و

ومفتوحة اكثر

لكن ساوضح ما اعني به

القطع الزائد غالباً ما يبدو هكذا

فاذا كان هذا المحاور، واذا اردت ان ارسم-- دعوني

ارسم بعض الخطوط المتقاربة

اريد الذهاب الى اليمين خلال-- هذا جيد جداً

ها هي الخطوط

هذه ليس قطاعات زائدة فعلية

لكن القطع الزائد يبدو هكذا

تأتي من هنا و

تقترب من الخط

تقترب اكثر فأكثر من الخطوط الزرقاء مثل هذا و

هذا الجانب

التمثيلا تظهر هنا ومن ثم

هنا

هذا المرسوم باللون الارجواني عبارة عن قطع زائد؛ لم ارسم هذا

بشكل جيد

او قطع مكافئ آخر، يمكنك تسميته

بالقطع المكافئ العامودي

هذه ليست الكلمة الدقيقة، لكنه يشبه

هذا الموجود اسفل الخط المتقارب هنا

انه فوق الخط المتقارب

اذاً هذا الازرق سيكون قطع مكافئ و

الارجواني ايضاً لكنه مختلف

اذاً هذه تمثيلات مختلفة

والشيئ الذي متأكداً منه هو انكم تسألون لماذا

تسمى القطاعات المخروطية بهذا الاسم؟

لماذا لم تسمى بالكرات او المتغيرات؟

دوائر او اي شيئ؟

وفي الواقع، مهما كانت العلاقة

فمن الواضح ان الدوائر والقطاعات الناقصة

متقاربة بعض الشيئ

هذا هو القطع الناقص وهو عبارة عن دائرة مضغوطة

ومن الواضح ان القطاعات المكافئة والقطاعات الزائدة

متقاربة

هذه P مرة اخرى

كلاهما يحتوي bola في نهاية الاسم وكلاهما

يشبهان حرف U

رغم ان القطع الزائد لديه اثنان من هذا مفتوحة

باتجاهات مختلفة، لكنهما يبدوان متقاربان

لكن ما هو الرابط بين هذه الاشياء؟

بصراحة انه سبب تسمية القطاعات المخروطية

لذا دعوني ارى اذا كان يمكنني ان ارسم قطاع مخروطي بثلاثة ابعاد

هذا المخروط

اي النقطة الاعلى

وقد استخدمت قطعاً ناقصاً في العلى

يشبه هذا

فعلياً، ليس لديه قمة

سيبقى مستمراً الى ما لا نهاية في هذا الاتجاه

انني اقوم بتقطيعه لترى انه مخروط

وسيكون هذا الجزء السفلي منه

لنأخذ تقاطعات مختلفة للسطح مع

المخروط وكما ترى انه اذا كان باستطاعتنا على الاقل ان نعمم اختلاف

الاشكال الذي تحدثنا عنه الآن

فاذا كان لدينا سطح مستوي-- اعتقد انك تسمي

هذا بمحور المخروط ذي الثلاثة ابعاد

اذاً هذا هو المحور

فاذا كان لدينا سطح عامودي تماماً على

المحور-- دعوني ارى اذا يمكنني رسمه بثلاثة ابعاد

السطح سيكون هكذا

اذاً سيمتك خط

هذا هو الخط الامامي الاقرب اليك ثم

لدينا خط آخر في الخلف

هذا كافي

وبالطبع، انت تعرف ان هذه اسطح غير نهائية، اي انها

تذهب في اي اتجاه

فاذا كان هذا السطح متعامد مباشرة مع محور

هؤلاء وهذا المكان الذي يذهب فيه السطح خلفهم

تقاطع السطح والمخروط

سيبدو هكذا

ننظر اليه من زاوية، لكن اذا اردت ان تنظر

للاسفل، اذا كنت تستمع هذا وتنظر الى

هذا السطح-- اذا كنت تنظر للاعلى

واذا اردت ان اقلب هذا بهذا الشكل، اذاً نحن

ننظر الى هذا السطح، هذا التقاطع

سيكون دائرة

الآن، اذا اخذنا السطح واملناه للأسفل قليلاً

فبدلاً من هذا لدينا حالة اخرى مشابهة

دعوني ارى اذا كان يمكنني فعل ذلك بشكل جيد

لدينا وضع حيث

دعوني اتراجع

اضافة

تراجع

حيث انه يشبه هذا ولديه جانب آخر هكذا

لقد ربطتهم

اذاً هذا هو السطح

الآن التقاطع لهذا السطح، والذي هو الآن غير

متعامد او غير عامودياً مع محور

المخروط ثلاثي الابعاد

اذا اخذنا التقاطع لهذا السطح وهذا المخروط-- و

في العروض المستقبلية، لن تقوم بهذا في

الجبر 2

لكن اخيراً سنقوم برسم تقاطع ثلاثي الابعاد

ونثبت انها الحالة بلا شك

لقد حصلتم على المعادلات، التي سأوضحها لكم

في المستقبل القريب

هذا التقاطع سيبدو هكذا

اعتقد انك يمكن ان تراه الآن

سيبدو هكذا

واذا اردت ان تنظر الى اسفل السطح، واذا

اردت ان تنظر لأعلى السطح، فسيبدو

كـ -- الشكل الذي رسمته باللون البنفسجي--

سيبدو هكذا

حسناً، لم ارسمه بشكل جيد

سيكون قطع ناقص

وانت تعرف ما هو شكل القطع الناقص

واذا جعلته مائلاً للاجاه الآخر، فالقطع الناقص

سيضغط بالاتجاه الآخر

لكن هذا سيعطيكم احساس عام عن سبب

اعتبار هذه قطاعات مخروطية

الآن شيئاً مثيراً للاهتمام

اذا استمرينا في امالة هذا السطح، اذا املنا السطح

اذاً-- لنفترض اننا نتمحور حول تلك النقطة

الآن هذا السطح الذي لدينا -- دعوني ارى اذا كان يمكن فعل ذلك

هذا مثال جيد للرسم ثلاثي الابعاد

لنقل انه يشبه هذا

اريد ان اذهب خلال هذه النقطة

اذاً هذا هو السطح ثلاثي الابعاد

سأرسمه بطريقة بحيث يتقاطع هذا فقط

مع قاع المخروط ومستوى السطح يكون موازياً

لجانب قمة المخروط

في هذه الحالة سيكون تقاطع السطح والمخروط

هنا على هذه النقطة

ويمكنك رؤية انني اتمحور حول هذه النقطة، على

التقاطع لهذه النقطة والسطح والمخروط

الآن هذا، التقاطع، سيبدو

هكذا

سيبدو هكذا

وسيبقى يهبط للأسفل

فاذا اردت رسمه، سيبدو هكذا

فاذا كنا فوق السطح، واذا اردت

رسم السطح

هكذا حصلنا على القطع المكافئ

هذا مثير للانتباه

فاذا استمرينا في امالة-- اذا بدأت مع

الدائرة، نميلها قليلاً، ونحصل على قطع ناقص

نحصل على قطع ناقص منحرف كثيراً

وعلى نقطة ما، سيبقى القطع الناقص يتخذ

شكلاً منحرفاً كهذا

وهذا يشبه المفرقعات هنا عندما نكون موازين

لجانب قمة المخروط

وانا اقوم بهذا بطريقة غير دقيقة الآن، لكني

اعتقد انني سأعطيكم الدليل

انها تفرقع وتتحول الى قطع مكافئ

اذاً يمكنك ان تشاهد القطع المكافئ-- هنا

هذه العلاقة

القطع المكافئ هو ما يحدث عندما جانب واحد من القطع الناقص

يفتح ونحصل على القطع المكافئ

ثم، اذا بقينا نحرف هذا السطح، وسأفعل هذا

بلون مختلف-- اذاً هذا يتقاطع مع

جانبي المخروط

دعوني ارى اذا كان بإمكاني رسم هذا

فاذا كان هذا السطح الجديد

هذا كافي

فاذا كان شكل السطح هكذا-- واعرف ان هذا صعب

القراءة الآن-- واردت تقاطع هذا السطح

هذا السطح الاخضر والمخروط-- علي اعادة رسم

كل هذا، واتمنى انك لم

تنزعج-- التقاطع سيتخذ هذا الشكل

سيتقاطع قاع المخروط و

قمة المخروط هنا

ومن ثم سنحصل على شكل كهذا

سيكون هذا تقاطع السطح وقاع المخروط

ومن ثم في الاعلى هنا سيكون تقاطه

السطح والقمة

تذكر، هذا السطح سيتجه الى الما لا نهاية

هذا معنى عام للقطاعات المخروطية

ولماذا سميت هكذا

ودعوني اعلم اذا كان هذا يزعجكم لأنني ربما سأحضر

لعرض آخر اثناء اعادة رسمه بطريقة اوضح

وربما استطيع ان اجد تطبيق ثلاثي الابعاد جيد والذي يمكنه

ان يقوم بهذا بطريقة افضل

هذا هو سبب اعتبارهم قطاعات مخروطية

وسبب ارتباطهم ببعضهم

وسنقوم بهذا بتعمق رياضي اكثر

في عروض عدة

لكن في العرض القادم، حيث انك الىن تعلم ما هم ولماذا

تمت تسميتهم بالقطاعات المخروطية، وفي الواقع سأتحدث

عن صيغهم وكيفية ادراك

هذه الصيغ

وبالصيغة المعطاة، كيف يمكن ان تحدد التمثيلات

لهذه القطاعات المخروطية؟

اراكم في العرض التالي