Introduction to Conic Sections

Vaatame, kas saame õppida midagi

koonuselõigetest.

Kõigepealt, mis need on ja miks

nimetatakse neid koonuselõigeteks?

Tegelikult tunned sa arvatavasti mõne neist ära,

panen need kirja.

Need on ring, ellips, parabool

ja hüperbool.

-- See on "p". --

Hüperbool.

Ja sa juba tead, mis need on.

Kui mina esimest korda koonuselõikeid õppisin, mõtlesin:

"Oh, ma tean, mis on ring."

"Ma tean, mis on parabool."

"Ma tean isegi natuke ellipsitest ja hüperboolidest."

Kuid miks nimetatakse neid koonuselõigeteks?

Lihtsalt öeldes sellepärast, et nad on

tasandi ja koonilise pinna lõiked.

Ma kohe varsti joonistan.

Kuid esmalt on mõistlik joonistada

need kujundid ise.

--Ma vahetan värvi.--

Ring, teame, mis see on.

--Vaatan, kas saan mu ringidele

jämedama joone panna.--

Ring on umbes selline.

Kõik selle punktid asuvad keskkohast samal kaugusel

ja seda kaugust nimetatakse raadiuseks.

Kui see on r ja see on keskpunkt, siis ringi

kõik punktid asuvad keskpunktist täpselt kaugusel r.

Juba oma haridustee alguses õppisime, mis ring on,

--see hoiab maailma ringi käimas, sõna-sõnalt --

Ellips on nii-öelda "kokkupressitud" ring.

See võiks umbkaudu selline välja näha.

Las ma joonistan teist värvi ellipsi.

Ellips võib olla selline.

See võib olla ka selline.

Minul on seda siin raske joonistada, aga ellips võib olla ka

kallutatud või keeratud,

Aga üldiselt on nad sellised.

Tegelikult on ring ellipsi erijuht.

Ring on ellips, mis ei ole ühes suunas rohkem välja venitatud

kui teises.

See on igat pidi täiesti sümmeetriline.

Parabool.

Sa oled seda õppinud, kui oled võtnud algebra kahte ja

sa arvatavasti oled, kui koonuselõigetest hoolid.

Aga parabool -- las ma tõmban asju eraldava joone --

Parabool näeb umbes selline välja, U-kujuline,

selline klassikaline parabool.

Ma ei lasku praegu võrranditesse.

Olgu, siiski laskun, sest oled arvatavasti nendega tuttav.

y võrdub x ruudus.

Ja siis võid sa seda nihutada või ümber pöörata ja saada

sellise parabooli.

Kus x võrdub y ruudus.

Neid võib keerata, aga arvan, et sa tunned

parabooli üldist kuju.

Hiljem räägin, kuidas seda joonistada ning

kuidas parabooli huvitavaid punkte ära tunda.

Ja viimasena --ehk oled varem näinud --

hüperbool.

See näeb natuke välja nagu kaks parabooli, aga mitte päris,

selle kõverused on vähem U-kujulised ja

see on pisut avatum.

Aga ma seletan, mida ma silmas pean.

Hüperbool näeb tavaliselt välja umbes selline.

Kui need on teljed, siis kui ma joonistaks --

Las ma joonistan paar asümptoodi.

otse läbi --
Päris hea.

Need on asümptoodid.

Need pole veel hüperbool.

Aga hüperbool näeb välja umbes selline.

Need lähevad siit ja lähevad väga-väga

asümptoodi lähedale.

Need lähevad sinistele joontele järjest lähemale ja lähemale

ka siin pool.

Jooned ilmuvad siin ja kaovad

ja ilmuvad siin.

Lilla võib olla üks hüperbool,

--ma pole seda väga hästi näidanud --

Või siis võib olla teine hüperbool, seda võiks kutsuda

vertikaalseks hüperbooliks.

See pole korrektne nimetus, aga see näeb välja

allpool asümptooti selline.

Siin on see ülalpool asümptooti.

Nii et see sinine on üks hüperbool

ja lilla on teine hüperbool.

Nii et need on erinevad joonised.

Olen kindel, et nüüd tahad teada,

miks neid nimetatakse koonuselõigeteks?

Miks mitte "boolideks" või "ringide variatsioonideks"

või midagi sellist?

Ja mis seosed neil üldse on.

On selge, et ringid ja ellipsid

on kuidagi seotud.

Et ellips on kokkupressitud ring.

Ja võib-olla isegi tundub, et paraboolid ja hüperboolid

on kuidagi seotud.

--See on ikka "p" --

Mõlema nimes on "-bool" ja mõlemad

paistavad natuke avatud U kujulised.

Kuigi hüperboolil on neid kaks ja need avanevad

eri suundades, paistavad nad ikkagi seotud olevat.

Mis seosed neil kõigil on?

Ja sealt tulebki sisse sõna "koonus".

Proovin joonistada kolmemõõtmelise koonuse.

See on koonus.

See on koonuse põhi.

-- oleksin võinud ellipsit kasutada --

Näeb välja selline.

Tegelikult sellel polegi põhja.

See ulatub selles suunas lõpmata kaugele.

Ma lihtsalt lõikasin seda, et näidata, et see on koonus.

-- see võiks olla alumine osa --

Lõikame seda koonust erinevate tasanditega

ja vaatame, kas saame moodustada

kujundid, millest äsja rääkisime.

Nii et kui meil on tasand, mis läheb otse -- kui seda nimetada

kolmemõõtmelise koonuse teljeks,

siis see on telg --

Kui meil on selle teljega ristuv tasand

--proovin kõik kolm mõõdet välja joonistada --

Siis see tasand näeks välja selline.

Sellel oleks sirge --

See on eesmine sirge, mis on sulle lähemal,

ja seal taga oleks samuti sirge.

Enam-vähem.

Muidugi tead, et need on lõpmatud tasandid,

nii et need jätkuvad igas suunas.

Kui see tasand on teljega risti

-- seal läheb tasand koonuse tagant --

Siis tasandi ja koonuse lõige

näeb välja selline.

Me näeme seda küljelt, aga kui vaadata

seda ülevalt, kui sa oleksid seal üleval

ja vaataks otse alla--

Kui ma keeraks seda nii, et me

vaataks tasandile alla, siis see lõige

oleks ringjoon.

Kui nüüd seda tasandit veidi kallutada,

saaksime sellise olukorra.

--Proovin sellega hakkama saada.--

Meil on olukord, kus --oih.--

--las ma parandan selle ära.--

-- redigeeri --

-- ennista --

Kus on jooned siin ja teisel pool siin,

ja siis ma ühendan need.

See on tasand.

Nüüd selle tasandi lõige, mis ei ole enam

täisnurga all ehk ei ristu

selle koonuse teljega--

Kui võtta selle tasandi ja koonuse lõige--

-- ja tulevastes videodes

ja seda ei tule algebra kahes--

Aga lõpuks teeme me läbi kolmemõõtmelise lõikumise

ja näitame, et see on tõesti nii.

Kindlasti näitan võrrandeid,

lähitulevikus.

See lõige näeks välja selline.

Arvatavasti oskad ette kujutada.

See näeks välja umbes selline.

Ja kui sa vaataks tasandile otse peale--

kui vaadata tasandile otse peale, siis see paistaks

midagi -- see lilla kujund -- paistaks

selline.

-- oeh, ei joonistanud seda eriti hästi--

See oleks ellips.

Tead, milline ellips välja näeb.

Ja kui kallutada teisele poole, siis ellips

oleks teistpidi kokku surutud.

Aga see annab vaid üldise arusaama, miks

neid koonuselõigeteks nimetatakse.

Nüüd midagi huvitavat.

Kui me seda tasandit edasi keerame, kui me keerame seda nii, et --

ütleme, et me keerame seda ümber selle punkti.

Nii et nüüd mu tasand -- proovin hakkama saada --

-- hea kolmemõõtmelise joonistamise harjutus --

Ütleme, et see näeb välja selline.

Tahan seda punkti läbida.

See on mu kolmemõõtmeline tasand.

Joonistan selle nii, et see lõikab ainult

alumist koonust ja tasandi pind on paralleelne

ülemise koonuse küljega.

Sel juhul tasandi ja koonuse lõige

läbib seda punkti.

Võid peaaegu mõelda, et keeran ümber selle punkti,

punkti, tasandi ja koonuse lõikepunktis.

Siis lõige näeks välja

selline.

Näeks välja selline.

Ja see jätkuks allpool.

Nii et kui ma selle joonistaks, näeks see välja selline.

Kui ma oleks otse tasandi kohal,

kui ma joonistaks tasandi --

Ja ongi parabool.

On ju huvitav.

Kui jätkata tasandi keeramist -- kui alustada

ringist, keerata veidi, saad ellipsi.

Saad järjest rohkem välja venitatud ellipsi.

Ja mingil hetkel ellips venib välja

selliseks.

See nagu katkeks siis, kui see muutub

koonuse küljega paralleelseks.

Ja ma teen seda väga ebatäpselt, aga

ma tahan seda sulle näidata.

See katkeb ja muutub parabooliks.

Nii et paraboolist võib mõelda kui --

On selline seos.

Parabool on see, mis juhtub,

kui ellipsi üks külg katkeb, siis saad parabooli.

Ja siis, kui seda tasandit edasi keerata,

-- teen seda teise värviga--
nii et see lõikaks mõlemat

koonuse külge.

Proovin selle joonistada.

Nii et see on minu uus tasand --oih.

Käib kah.

Kui mu tasand näeb välja selline
-- tean, et on raske aru saada --

ja kui tahta selle tasandi lõiget,

selle rohelise tasandi ja koonuse --

-- peaksin kõik uuesti joonistama, loodetavasti pole väga arusaamatu --

siis lõige näeks välja selline.

See lõikaks alumist koonust seal ja

ülemist koonust seal.

Ja siis oleks sul midagi sellist.

See on alumise koonuse ja tasandi lõige.

Ja siin üleval on tasandi

ja ülemise koonuse lõige.

Pea meeles, tasand jätkub kõigis suundades lõputult.

Nii et sellised on koonuselõiked üldjoontes

ja sellepärast nimetatakse neid koonuselõigeteks.

Anna teada, kui see on liialt segadust tekitav,

võib-olla teen ma uue video, kus joonistan selgemini.

Äkki leian mõne 3D programmi

millega seda paremini teha.

See ongi põhjus, miks need kõik on

koonuselõiked ja kuidas nad seotud on.

Ja ma näitan selle matemaatilist osa põhjalikumalt

mõne video pärast.

Aga järgmises videos, nüüd, kui tead, mis need on

ja miks neid koonuselõigeteks nimetatakse,

räägin nende kohta käivatest valemitest

ja nende ära tundmisest.

Ja kuidas valemi järgi

neid koonuselõikeid joonistada.

Järgmise videoni!