Introduction to Conic Sections

La oss se om vi kan lære en ting eller to

om kjeglesnitt.

Så først av alt, hva er de og hvorfor blir

de kalt kjeglesnitt?

Egentlig kjenner du sannsynligvis igjen noen

av dem allerede, og jeg skal skrive dem ned.

De er sirkelen, ellipsen, parabelen og

hyperbelen.

Det er en P.

Hyperbelen.

Og du vet hva disse er allerede.

Da jeg først lærte om kjeglesnitt, tenkte jeg, å,

Jeg vet hva en sirkel er.

Jeg vet hva en parabel er.

Og jeg vet til og med litt
om ellipser og hyperbler.

Hvorfor i all verden blir de
kalt kjeglesnitt?

Så for å si det enkelt og greit
fordi de er skjæringen mellom

et plan og en kjegle.

Og jeg skal tegne det for deg
om et sekund.

Men før det er det sannsynligvis fornuftig

å bare tegne dem alene.

Og jeg vil bytte farger.

Sirkel, vi vet alle hva det er.

La meg se om jeg kan bruke en tykkere

strek til sirklene.

så en sirkel ser ca sånn ut.

Det er alle de punktene som er
like langt fra et senter,

og den avstanden kalles radiusen.

Så hvis dette er r, og dette er sentrum,
er sirkelen alle

de punktene som er nøyaktig r
fra dette sentrumet.

Vi lærte at tidlig i utdanningen
vår hva en

sirkel er, den gjør at verden
går rundt, bokstavelig talt.

En ellipse er sagt på dagligtale
en slags skvisa sirkel.

Den kan se ut som noe slikt.

La meg tenge en ellipse i en annen farge.

Så en ellipse kan se sånn ut.

Kan se sånn ut

Det er vanskelig å tegne med det
verktøyet jeg bruker, men

den kan også tiltes og roteres rundt.

Men dette er en generell ellipse.

Og faktisk er sirkler et spesialtilfelle
av en ellipse.

Det er en ellipse som ikke er strukket
mer i en dimensjon enn den andre.

Den er perfekt symmetrisk på alle måter.

Parabel.

Du har lært om den hvis du har tatt
algebra to og det

har du sannsynligvis hvis du bryr
deg om kjeglesnitt.

Men en parabel - la meg trekke en
linje her for å skille ting.

En parabel ser ut omtrent som dette,
en slags U form og du vet,

den klassiske parabelen.

Jeg vil ikke gå inn på ligningene
akkurat nå.

Vel, jeg vil fordi du kjenner
sannsynligvis til den.

y er lik x i andre.

Og så kan du skifte den rundt
og så du kan til og med

ha en parabel som går sånn.

Det blir x er lik y i andre.

Du kan rotere disse tingene rundt,
men jeg tror du kjenner til

den generelle formen av en parabel.

Vi skal snakke mer om hvordan du
tegner grafen eller hvordan du vet

hva de interessante punktene på en
parabel faktisk er.

Og så den siste, du har kanskje sett

denne før, er en hyperbel.

Den ser nesten ut som to parabler,
men ikke helt,

fordi kurvene er litt mindre U-aktige og

litt mer åpne.

Men jeg skal forklare hva jeg
mener med det.

Så en hyperbel ser vanligvis
omtrent sånn ut.

Så hvis dette aksene, så hvis jeg
skal tegne - la meg tegne

noen asymptoter.

Jeg vil gå rett gjennom -
det er ganske bra.

Dette er asymptoter.

De er ikke den faktiske hyperbelen.

Men en hyperbel ser omtrent sånn ut.

De går her og de går virkelig

nær asymptoten.

De går nærmere og nærmere
de blå linjene sånn og

det skjedde på denne siden også.

Grafene dukker opp her og
så hopper de over

og de dukker opp der.

Dette magenta kan være en hyperbel, den er

ikke helt korrekt.

Eller annen hyperbel kan være på,
du kan på en måte kalle

den en vertikal hyperbel. Det er ikke

det eksakte ordet,

men den vil se omtrent slik ut,
den går under asymptoten her.

og over asymptoten der.

Så denne blå er en hyperbel og
denne magenta

er en annen hyperbel.

Så det er de forskjellige grafene.

Så en ting som jeg er sikker
på at du spør er hvorfor blir

de kalt kjeglesnitt?

Hvorfor blir de ikke kalt beler
eller varianter av sirkler

eller et eller annet?

Og hva er egentlig forholdet mellom dem?

Det er ganske klart at sirkler og
ellipser på en eller annen

måte er relatert.

At en ellipse bare er en skvisa sirkel.

Og kanskje det også ser ut som
at til og med parabler og hyperbler

er relatert på en eller annen måte.

Dette er altså en P.

Begge har bel i navnet, og de begge ser

på en måte ut som åpne U-er.

Selv om en hyperbel har to av disse
som på en måte åpner seg

i ulike retninger, men de ser relatert ut.

Men hva er sammenhengen mellom alle disse?

Og det er faktisk der ordet kjeglesnitt
kommer fra.

La meg se om jeg kan tegne en
tredimensjonal kjegle.

Så dette er en kjegle.

Dette er toppen.

Jeg kunne ha brukt en ellipse for toppen.

Ser sånn ut.

Egentlig har den ingen topp.

Den skal faktisk fortsette for
alltid i den retningen.

Jeg bare kutter den av på en måte
slik at du ser at det er en kjegle.

Dette kan være den nederste delen av den.

Så la oss vise ulike skjæringer
av et plan med denne

kjeglen og se om vi kan i det
minste generere de forskjellige

formene som vi snakket om akkurat nå.

Så hvis vi har et plan som går direkte -
jeg antar at hvis du kaller

dette aksen i denne tredimensjonale
kjeglen,

så dette er aksen.

Så hvis vi har et plan som er nøyaktig
vinkelrett på den aksen

La oss se om jeg kan tegne
det i tre dimensjoner.

Planet vil se omtrent slik ut.

Så det har en linje.

Dette er fronten som er nærmere deg og så

har det en annen linje bak her.

Det er bra nok.

Og selvfølgelig vet du at disse er
uendelige plan,

så det fortsetter i alle retninger.

Hvis dette planet er direkte vinkelrett
på aksen

av disse og dette er der planet
går bak den.

Skjæringen mellom dette planet og
denne kjeglen

kommer til å se slik ut.

Vi ser på det fra en vinkel, men hvis du så

rett ned, hvis du satt her og du så på dette

planet - hvis du så på det rett ovenfra.

Hvis jeg bare snur dette over slik, så vi

ser rett ned på dette planet, da blir

skjæringen en sirkel.

Nå, hvis vi tar planet og vipper det ned litt,

så hvis vi stedet har en situasjon som dette.

La meg se om jeg kan gjøre det bedre.

Vi har en situasjon der det - ops.

La meg angre det.

Rediger

Angre

Der det er slik og har en annen side
som dette,

og jeg kobler dem.

Så det er planet.

Skjæringen med dette planet, som nå ikke er

ortogonal eller det er ikke
vinkelrett på aksen

til denne tre-dimensjonale kjeglen.

Hvis du tar skjæringen mellom
det planet og den kjeglen -

og i fremtidige videoer, og du ikke gjør dette i din

algebra to klasse.

Men til slutt vil vi på en måte gjøre
den tredimensjonale

skjæringen og bevise at dette er
definitivt tilfelle.

Du får definitivt ligningene,
som jeg skal vise deg

i ikke altfor fjern fremtid.

Denne skjæringen vil se omtrent sånn ut.

Jeg tror du kan visualisere det nå.

Det vil se omtrent slik ut.

Og hvis du så rett ned på dette planet,

hvis du så fra rett over planet,
ville dette se ut omtrent -

denne figuren som jeg akkurat tegna i lilla

ville se omtrent slik ut.

Vel, jeg tegna ikke det så bra.

Det ville være en ellipse.

Du vet hvordan en ellipse ser ut.

Og hvis jeg vippet den den andre veien,
ville ellipsen

være skvist den andre veien.

Men det gir deg bare en generell følelse

av hvorfor begge disse er kjeglesnitt.

Nå, noe veldig interessant:

Hvis vi fortsetter å vippe dette planet,
så hvis vi vipper planet

så det - så la oss si at vi svinger
rundt det punktet.

Så nå er planet mitt - la meg se
om jeg kan gjøre dette.

Det er en god øvelse i
tredimensjonal tegning.

La oss si at det ser omtrent sånn ut.

Jeg vil gå gjennom det punktet.

Så dette er det tredimensjonale planet mitt.

Jeg tegner det på en slik måte at det
bare skjærer denne

bunnkjeglen og overflaten til planet
er parallell med

siden til denne toppkjeglen.

I dette tilfellet vil skjæringen mellom planet

og kjeglen krysse akkurat i det punktet.

Du kan nesten se for deg at jeg svinger
planet rundt dette punktet,

ved skjæringen mellom dette punktet
og planet og kjeglen.

Nå vil skjæringen se

omtrent slik ut.

Den ser slik ut.

Og den vil fortsette å gå nedover.

Så hvis jeg skulle tegne det, ville det se slik ut.

Hvis jeg var rett over planet, hvis jeg

bare skulle tegne planet.

Og der får du parabelen.

Så det er interessant.

Hvis du fortsetter å liksom vippe -
hvis du starter med en

sirkel, vipper litt, får du en ellipse.

Du får en mer og mer skjev ellipse.

Og på et tidspunkt - du vet
ellipsen blir mer

og mer skjev sånn.

På et tidspunkt "sprekker" den,
akkurat når planet blir parallellt til

siden av denne toppkjeglen.

Og jeg gjør det svært unøyaktig nå,
men jeg tror jeg vil

gi deg intuisjonen.

Den "sprekker" og blir til en parabel.

Så du kan se for deg en parabel

Det er dette forholdet.

Parabel er det som skjer når en side
av en ellipse åpnes

og du får denne parabelen.

Og så, hvis du fortsetter å vippe dette
planet, og jeg skal gjøre det i

en annen farge - så det skjærer begge

delene av kjeglen.

La meg se om jeg kan tegne det.

Så hvis dette er det nye planet mitt - ops.

Det er bra nok.

Så hvis planet mitt ser slik ut -
jeg vet det er veldig vanskelig å

lese nå - og du ville ha
skjæringen mellom dette planet,

dette grønne planet og
kjeglen - jeg bør nok

tegne alt på nytt, men forhåpentligvis
blir du ikke overveldende

forvirret - skjæringen vil se slik ut.

Den vil krysse den nederste kjeglen der

og den vil krysse den øverste kjeglen der.

Og så får du noe som dette.

Dette er skjæringen mellom
planet og bunnkjeglen.

Og dette her oppe er skjæringen
mellom planet

og den øverste kjeglen.

Husk, dette planet går uendelig
i alle retninger

Så det er bare en generell følelse
av hva kjeglesnitt er

og hvorfor de kalles kjeglesnitt.

Og fortell meg om dette ble forrvirrende
fordi kanskje jeg skal lage

en annen video der jeg tegner det
litt renere.

Kanskje jeg kan finne et slags pent
3D-program som kan gjøre

det bedre enn jeg kan gjøre det.

Dette er på en måte bare grunnen
til at de alle er kjeglesnitt,

og hvordan de egentlig er relatert til hverandre.

Og jeg vil gjøre det litt
mer i dybden matematisk

om noen få videoer.

Men i neste video, nå som du
vet hva de er og hvorfor de

alle blir kalt kjeglesnitt, vil jeg snakke

om formler til disse og hvordan gjenkjenne

formlene.

Og gitt en formel, hvordan du
faktisk plotter grafene

til disse kjeglesnittene.

Ser deg i neste video.