Introduction to Conic Sections

Vamos ver se conseguimos aprender uma ou duas coisas sobre

secções cónicas.

Ora, primeiro que tudo, o que é que são e porque é que se

chamam secções cónicas?

Bem, provavelmente vocês já reconhecem

algumas, e eu vou anotá-las.

São a circunferência, a elipse, a parábola

e a hipérbole.

Isto é um p.

Hipérbole.

E vocês já sabem o que é isto.

Quando eu comecei a aprender secções cónicas, fiquei, «Olha,

eu sei o que é uma circunferência.

Sei o que é uma parábola.

E até sei umas coisinhas sobre elipses e hipérboles.

Porque diabo é que se chamam secções cónicas?»

Então para pôr as coisas de forma simples é porque são a intersecção

de um plano com uma superfície cónica.

E eu já vou desenhar-vos isto.

Mas ainda antes de fazer isto é provável que faça sentido

desenhá-las sozinhas.

E vou trocar de cores.

Circunferência, todos sabemos o que é.

Aliás, deixem ver se consigo escolher uma linha

mais grossa para as minhas circunferências.

Ora uma circunferência é qualquer coisa como isto.

São todos os pontos equidistantes de um centro,

e esta distância a que todos eles estão é o raio.

Portanto se isto for r, e isto for o centro, a circunferência são todos

os pontos que distam exactamente r deste centro.

Já aprendemos isto antes no nosso ensino, o que é uma circunferência;

faz o Mundo girar, literalmente.

Elipse em termos vulgares é uma espécie de circunferência esmagada.

Pode ser uma coisa assim.

Deixem-me fazer uma elipse com outra cor.

Pronto, uma elipse pode ser assim.

Pode ser assim.

É mais difícil desenhar usando a ferramenta com que eu estou a desenhar, mas também

se pode inclinar e rodar.

Mas isto é uma ideia geral.

E, na verdade, as circunferências são um caso especial de elipse.

É uma elipse que não está mais esticada numa dimensão

do que na outra.

Digamos que é perfeitamente simétrica de todas as maneiras.

Parábola.

Já aprenderam isto se tiveram Álgebra II e

provavelmente tiveram se se interessam por secções cónicas.

Mas uma parábola… deixem-me desenhar aqui uma linha para separar as coisas.

Uma parábola tem um aspecto mais ou menos assim, uma espécie de forma em u e enfim,

a parábola clássica.

Não vou entrar já nas equações.

Aliás, vou, porque provavelmente vocês estão familiarizados.

y é igual a x ao quadrado.

E, então, pode-se trocar e depois até se pode

ter uma parábola que fique assim.

Isto vem a ser x igual a y ao quadrado.

Pode-se rodar estas coisas, mas acho que vocês conhecem

a forma geral de uma parábola

Depois havemos de falar mais sobre como é que se fazem os gráficos ou como é que se sabe

quais é que são realmente os pontos interessantes numa parábola.

E agora a última, são capazes de já ter visto isto,

é uma hipérbole.

Quase parecem duas parábolas, mas não é bem,

porque as curvas são um bocadinho menos em U e

um bocadinho mais abertas.

Mas vou explicar-vos o que é que quero dizer com isto.

Ora uma hipérbole tem normalmente mais ou menos este aspecto.

Portanto, se isto forem os eixos, então se eu desenhasse… deixem-me

desenhar umas assíntotas.

Quero passar mesmo pelo… está bonzinho.

Isto são assíntotas.

Aquilo não é a verdadeira hipérbole.

Mas uma hipérbole vem a ser uma coisa assim.

Ficam mesmo aqui e aproximam-se muito

da assíntota.

Aproximam-se cada vez mais daquelas linhas azuis assim e

também acontece deste lado.

Os gráficos aparecem aqui e depois saltam e

aparecem ali.

Esta magenta pode ser uma hipérbole; eu não lhe fiz

verdadeira justiça.

E outra hipérbole pode estar, podemos chamar-lhe, digamos,

hipérbole vertical.

Não é esta a expressão exacta, mas vem a ser uma coisa

assim estando por baixo da assíntota aqui.

Estando por cima da assíntota ali.

Então esta azul vem a ser uma hipérbole e depois a

magenta vem a ser uma hipérbole diferente.

Pronto, estes são os diferentes gráficos.

Ora aquilo que de certeza que vocês estão a perguntar é «Porque é que elas

se chamam secções cónicas?»

«Porque é que não se chamam bolas ou variações de

circunferências ou coisa assim?»

«E,aliás, qual é que é mesmo a relação?»

É bastante claro que as circunferências e as elipses

estão de certo modo relacionadas.

Que uma elipse é só uma circunferência esmagada.

E se calhar até parece que as parábolas e as hipérboles

estão de certo modo relacionadas.

Isto mais uma vez é um p.

Ambas têm «-bol-» no nome e ambas como

que parecem uu abertos.

Embora uma hipérbole tenha dois destes, como que a abrirem

em direccções diferentes, mas parecem relacionadas.

Mas qual é a ligação por detrás de tudo isto?

E na realidade é daqui que vem a palavra «cónico».

Então deixem ver se eu consigo desenhar um cone tridimensional.

Pronto, isto é um cone.

Isto é o topo.

Podia ter usado uma elipse para o topo.

Fica assim.

Aliás, não tem topo.

Na verdade continuaria para sempre naquela direcção.

Estou só como que a fatiar para vocês verem que é um cone.

Esta pode ser a parte de baixo.

Então vamos fazer diferentes intersecções de um plano com

este cone e ver se conseguimos pelo menos gerar as diferentes

formas de que acabámos agora de falar.

Ora se tivermos um plano que fique directamente… acho que, se chamarmos

a isto o eixo deste cone tridimensional,

pronto, isto é o eixo.

Ora se tivermos um plano que seja exactamente perpendicular àquele

eixo… vamos ver se eu consigo desenhá-lo em três dimensões.

O plano vem a ser uma coisa assim.

Ora, tem uma linha.

Esta é a linha frontal, que está mais próxima de nós, e depois

há outra linha aqui atrás.

Está mais ou menos.

E é claro, vocês sabem que os planos são infinitos, portanto

prolonga-se em todas as direcções.

Se este plano for directamente perpendicular ao eixo

disto e é aqui que o plano passa por trás.

A intersecção deste plano com a superfície deste cone vai

ficar assim.

Estamos a ver de um ângulo, mas se vocês estivessem a olhar

mesmo para baixo, se estivessem aqui a ouvir olhassem para

este plano… se estivessem a olhar exactamente por cima.

Se eu virasse isto assim, portanto estamos

a olhar mesmo para baixo para este plano, veríamos aquela intersecção

como uma circunferência.

Agora, se pegarmos no plano e o inclinarmos para baixo um bocadinho,

então em vez daquilo temos uma situação assim.

Deixem ver se eu consigo fazer-lhe justiça.

Temos uma situação em que… ups.

Deixem-me anular isto.

Editar.

Anular.

Em que está assim e tem outro lado assim,

e eu ligo-os.

Pronto, isto é o plano.

Agora a intersecção deste plano, que já não é

ortogonal ou já não é perpendicular ao eixo deste

cone tridimensional.

Se fizermos a intersecção deste plano com a superfície deste cone… e

em vídeos futuros, e vocês não fazem isto na vossa

aula de Álgebra Dois;

mas vamos acabar por fazer como que a intersecção

tridimensional e provar que é definitivamente este o caso.

Chegamos mesmo definitivamente às equações, o que eu hei-de vos mostrar

no futuro não muito distante.

Esta intersecção vem a ser uma coisa assim.

Acho que já conseguem visualizá-la.

Vem a ser uma coisa assim.

E se vocês olhassem exactamente para baixo para este plano, se

olhassem mesmo por cima do plano, isto ficaria

mais ou menos — esta figura que eu desenhei agora em roxo —, ficaria

mais ou menos assim.

Bem, eu não desenhei assim tão bem.

Era uma elipse.

Vocês sabem como é que é uma elipse.

E, se eu o inclinasse na outra direcção, a elipse apertava

na outra direcção.

Mas isto já vos dá uma ideia geral de porque é que estas

duas são secções cónicas.

Agora uma coisa muito interessante.

Se continuarmos a inclinar este plano, portanto se inclinarmos o plano então

está… pronto, digamos que estamos a girar à volta daquele ponto.

Então agora o meu plano… deixem ver se eu consigo fazer isto.

É um bom exercício de desenho em três dimensões.

Digamos que fica mais ou menos assim.

Quero passar por aquele ponto.

Pronto, isto é o meu plano tridimensional.

Estou a desenhá-lo de modo que apenas intersecte este

cone de baixo e a superfície deste plano seja paralela ao

lado deste cone de cima.

Neste caso a intersecção do plano com a supefície do cone

vai passar ali por aquele ponto.

Quase se consegue visualizar que eu estou a girar à volta deste ponto, do

ponto que é a intersecção do plano com a superfície cónica.

Ora então isto, a intersecção, vem a ser

uma coisa assim.

Vem a ser assim.

E continua para baixo.

Se eu desenhasse, ficaria assim.

Se eu estivesse mesmo por cima do plano, se eu fosse

desenhar o plano.

E então ficamos com a nossa parábola.

Ora isto é interessante.

Se continuarmos como que a inclinar… se começarmos com uma

circunferência, inclinarmos um bocadinho, ficamos com uma elipse.

Ficamos como que com uma elipse cada vez mais enviesada.

E, a certa altura, a elipse continua a ficar cada vez

assim mais enviesada.

Digamos que rebenta mesmo quando ficamos exactamente paralelos ao

lado deste cone de cima.

E eu agora estou a fazer tudo muito inexacto, mas

acho que quero dar-vos a intuição.

Ela rebenta e torna-se uma parábola.

Então conseguimos como que visualizar uma parábola — há

esta relação.

A parábola é o que acontece quando um lado da elipse rebenta

e abre e nós ficamos com esta parábola.

E depois, se continuarmos a inclinar este plano, e eu vou fazê-lo

noutra cor — então intersecta ambos

os lados do cone.

Deixem ver se eu consigo desenhar isto.

Ora se este for o meu novo plano… ups.

Vá, está bom.

Então se o meu plano tivesse este aspecto — eu sei que agora é muito difícil

ler — e vocês quisessem a intersecção deste plano,

deste plano verde com a superfície do cone — provavelmente devia redesenhar

tudo, mas espero eu que vocês não estejam a ficar esmagadoramente

confusos — a intersecção teria este aspecto.

Intersectaria o cone de baixo ali e

intersectaria o cone de cima acolá.

E então ter-se-ia uma coisa assim.

Esta seria a intersecção do plano com a superfície do cone de baixo.

E depois aqui em cima seria a intersecção do

plano com o de cima.

Não se esqueçam, este plano prolonga-se em todas as direcções infinitamente.

Pronto, isto é só uma ideia geral do que são as secções cónicas

e de porque é que realmente se chamam secções cónicas.

E digam-me se isto ficou confuso, porque eu sou capaz de fazer

outro vídeo em que o redesenhe com um bocado mais clareza.

Talvez consiga encontrar uma aplicação de 3D porreira de algum tipo que possa fazê-lo

melhor do que eu consigo.

É mais ou menos esta a verdadeira razão por que elas são todas secções

cónicas, e por que estão realmente relacionadas entre si.

E eu depois hei-de fazer isto um bocado mais em profundidade matematicamente

nalguns vídeos.

Mas no próximo vídeo, agora que vocês sabem o que é que são e porque é que

todas se chamam secções cónicas, vou falar mesmo

das fórmulas disto e de como é que se reconhecem

as fórmulas.

E, dada uma fórmula, como é que se traçam realmente os gráficos

destas secções cónicas?

Até ao próximo vídeo.