Introduction to Conic Sections

с детства.

и гипербола.

Но гипербола выглядела бы вот так.

сейчас, надо нарисовать асимптоты...

Посмотрим, что мы можем изучить

из темы конических сечений.

Прежде всего, что же это и почему

они называются коническими сечениями?

Вообще-то, вы скорее всего сразу узнаете некоторые

из них, и я напишу их здесь.

Это окружность, эллипс (овал), парабола

и гипербола.

Это буква 'п'.

Гипербола.

И вы с ними уже знакомы.

Когда же я впервые стал изучать конические сечения, я сразу сказал

"О, так я знаю, что такое окружность.

И что такое парабола.

И я даже чуть-чуть знал об эллипсах и гиперболах."

Но почему же они так называются - "конические сечения" ?

Проще говоря, это пересечение

конуса и плоскости.

И я сейчас вам это нарисую.

Но вот перед тем, как я начну рисовать, это скорее всего будет лучше,

если я вам их нарисую эскизами.

И для этого я поменяю цвета.

Итак, круг. Мы все знакомы с окружностью

Лучше бы мне посмотреть, если можно

взять более толстую линию для моих кругов.

И вот как выглядит окружность.

Это совокупность точек, равноудалённых от центра;

и это расстояние от центра называется радиусом.

Если это - радиус r, а это - центр окружности, то окружность

это совокупность всех точек, которые равноудалены от центра.

В нашем детстве мы изучали окружность;

она вращала наш мир.

Эллипс это своеобразный 'растянутый' круг.

Он выглядит примерно так.

Нужно сделать другой овал...

Вот. Примерно так.

Эллипс.

Этим инструментом сложнее рисовать, а вообще

он может быть наклонён и повёрнут.

Это в общности.

И вообще, окружность - частный случай, или разновидность, эллипса.

Это эллипс, который не растянут в одном измерении больше,

чем в другом.

Он как бы симметричен в любом направлении.

Теперь парабола.

Вы скорее всего знакомы с ней, если изучали алгебру

7-го класса, или просто были знакомы с коническими сечениями.

Но парабола -- пожалуй, лучше нарисовать разделительную линию...

-- парабола выглядит примерно так. Как форма буквы U.

И это классическая парабола.

Я не буду вдаваться в уравнения.

Хотя нет, пожалуй вдамся, потому что вы скорее всего знакомы с ней.

y=x².

И можно ее повернуть,

тогда парабола будет идти вот так.

Это было бы x=y².

Вы можете продолжать по-разному вращать ее, но

теперь, я думаю, вы знакомы с ее очертаниями.

Мы в будущем будем о ней говорить - как ее строить

и какие особые точки есть у нее.

И последнее сечение - и вы скорее всего видели это и прежде -

это гипербола.

Это почти как две параболы, но не совсем,

потому что ветви выглядят меньше U-образными

и более открывающимися.

Но я объясню, что же я имею ввиду.

Итак, гипербола обычно выглядит примерно так.

Если вот это - оси, затем мне нужно было начертить --

сейчас, надо нарисовать асимптоты...

надо пройти через.. -- вот, примерно так.

Это - асимптоты.

Это не гиперболы.

Но гипербола выглядела бы вот так.

Они располагаются так, и они приближаются

неограниченно близко

к асимптотам. Они идут всё ближе и ближе к этим линиям,

что, собственно, творится и с этой стороны.

График идет отсюда, потом останавливается, и

идет в другую сторону.

Эта пурпурная кривая - одна из видов гиперболы;

я не применял к ней особого соблюдения правил.

И также другая гипербола (вы даже можете её назвать

"вертикальной" гиперболой)

Это неточно. Но это примерно выглядело бы так.

Вот где она ниже асимптот.

А вот где она выше них.

Синяя - один вид гиперболы, а

розовая - другой.

Они - разные графики.

И всё же вы спрашиваете, почему же

они называются "коническими сечениями" ?

Почему, например, они не зовутся "болы", или

вариации окружности?

На самом деле, это никак не связано.

Как-то связаны круги и эллипсы.

Как-то связаны круги и эллипсы.

Например так: эллипс - растянутый круг.

И даже возможно, что параболы и гиперболы

как-то тоже связаны.

Это снова буква "П".

Итак, они содержат 'бола' в их названиях, и они обе выглядят