Introduction to Conic Sections

Låt oss se om vi kan lära oss lite om

koniska sektioner

Men först av allt, vad är de och varför kallas

de för koniska sektioner?

Du kommer säkert känna igen några av dem

och jag skriver ner dem

De är cirkeln, ellipsen, parabolen,

och hyperbolen.

Det där är ett p.

Hyperbolen

Och du vet redan vad dessa är.

När jag först lärde mig koniska sektioner kände jag "jaha,

jag vet vet vad en cirkel är,

jag vet vad en parabol är,

och jag vet till och med lite om vad ellipser och hyperboler är.

Varför i hela friden kallas de koniska sektioner då?"

Och för att göra saker och ting enkelt så är det för att de är skärningarna

mellan ett plan och en kon.

Jag skall rita och visa om en sekund.

Men innan jag gör det är det antagligen vettigt att

rita dem var och en för sig

Och jag byter färg.

Cirkel, vet vi alla vad det är.

Låt se om jag kan välja en tjockare

linje till mina cirklar.

så en cirkel ser ut ungefär så.

alla punkter har samma avstånd från mitten

och det avståndet kallas radie.

Så om detta är r och detta är mitten så är cirkeln alla

punkter som är exakt r från mitten.

Vi lärde oss tidigt i vår utbildning vad en cirkel är

den får världen att gå runt, bokstavligen.

Ellips är enkelt uttryckt en sorts tilltryckt cirkel

Den skulle kunna se ut ungefär så här.

Låt mig göra en ellips i en annan färg.

En ellips skulle kunna se ut sådär

eller sådär

det är svårt att rita med verktyget jag använder men den

skulle också kunna vara roterad.

Men detta ger en generell bild.

Och faktiskt är en circel ett specialfall av en ellips.

Det är en ellips som inte är utsträckt i någon riktning

mer än i någon annan riktning.

Den är perfekt symmetrisk på alla sätt.

Parabol

Du har lärt dig den om du har läst algebra två och det

har du sannolikt om du är intresserad av koniska sektioner

Men en parabol-- låt mig rita en linje här för att förtydliga

En parabol ser ut ungefär så här, lite U formad och du

vet, den klassiska parabolen

Jag kommer inte gå igenom ekvationen nu,

eller jo, men du är säkert redan bekant med den.

y är lika med x i kvadrat

och sen kan du flytta runt den och du kan till och med

ha en parabol som ser ut så här

Det skulle vara x är lika med y i kvadrat

Du skulle kunna rotera dem, men jag tror du vet

hur en generell parabol ser ut.

Vi kommer prata mer om hur du ritar den och hur du vet

vilka de intressanta punkterna på en parabol faktiskt är.

Och sen den sista, som du kanske sett

förut, är en hyperbol.

Den ser nästan ut som två paraboler, men inte riktigt,

eftersom kurvorna är lite mindre U formade och

lite mer öppna.

Men jag ska förklara vad jag menar med det.

En hyperbol ser oftast ut ungefär så här.

Det här är axlarna. Sen om jag skulle rita-- låt mig

rita några asymptoter.

Jag vill gå rakt genom-- det där är ganska bra.

De här är asymptoter.

De är inte den faktiska hyperbolen.

Men en hyperbol skulle se ut ungefär så här.

De skulle vara här, och de går riktigt

nära asymptoten.

De går närmare och närmare de här blå linjerna så här och

samma sak på den här sidan.

Kurvorna kommer fram här sen går de över och

går upp där.

Den här magentafärgade skulle kunna vara en hyperbol; jag har inte

gjort den rättvisa.

En annan hyperbol skulle kunna vara på-- man kan kalla den

en vertikal hyperbol.

Det är inte så den egentligen heter, men den skulle se ut ungefär

så här, där den är under asymptoten här.

Och den är över asymptoten här.

Så den här blåa skulle vara en hyperbol och den

magentafärgade skulle vara en annan hyperbol.

Det är de olika kurvorna.

En sak ni säkert undrar är varför

de kallas för koniska sektioner?

Varför kallas de inte "boler" eller "varianter av cirklar"

eller något sånt?

Och förresten, vad har de ens för samband?

Det är ganska tydligt att cirklar och ellipser

på nåt sätt hör ihop.

Att en ellips bara är en hoptryckt cirkel.

Och kanske verkar det också som om paraboler och hyperboler

på nåt sätt hör ihop.

Det här är ett P som sagt...

De har båda "bola" i namnet och de ser båda

ungefär ut som öppna U:n.

Fast en hyperbol har två såna grejer och en slags öppning

åt olika håll, men de ser liknande ut.

Men vad är kopplingen mellan alla de här?

Det är faktiskt var ordet konisk kommer ifrån.

Låt se om jag kan rita en tredimensionell kon.

Det här är en kon.

Där är toppen.

Jag kunde ha använt en ellips som topp.

Den ser ut så där.

Den har faktiskt ingen topp,

utan skulle egentligen kunna fortsätta oändligt i den där riktningen.

Jag bara kapar av den så att du ser att det är en kon.

Och det här kan vara botten.

Låt oss ta olika sektioner av ett plan med

den här konen och se om vi kan få fram de olika

formerna som vi nyss talade om.

Om vi har ett plan som går precis-- jag antar att om du

kallar det här för konens axel.

Så det här är konens centrumaxel.

Om vi har ett plan som är exakt vinkelrätt mot axeln

Få se om jag kan rita det i tre dimensioner.

Planet skulle se ut ungefär så här.

Det skulle ha en linje...

Det här är den främre linjen, som är närmare dig, och sen

skulle vi ha en till linje här bak.

Nära nog...

Och, så klart, det här är oändliga plan, så det

fortsätter i alla riktningar.

Om det här planet är exakt vinkelrätt mot axeln -

- och det här är där planet går bakom -

- skärningen mellan det här planet och konen

kommer se ut så här.

Vi ser det från en vinkel, men om du skulle se

rakt ovanifrån, om du satt här uppe och tittade på

det här planet-- om du tittade på det rakt ovanifrån--

Om jag bara vrider upp planet så här, så vi

ser på det rakt ovanifrån, så är "skivan" av konen

en cirkel.

Om vi tar planet och lutar ner det lite,

så att vi istället har en sån här situation.

Vi får se om jag kan göra det rättvisa...

Vi har en situation där-- hoppsan.

Låt mig ångra det där...

Redigera...

Ångra...

Där det är så här och har en annan sida så här.

och jag kopplar samman dem,

så det där är planet.

Nu är snittet i konen längs det här planet, som inte

är ortogonalt, inte vinkelrätt mot konens

centrumaxel.

Om du tar skärningen mellan konen och det nya planet-- och

i framtida videos, och du gör inte det här i din

algebra 2-klass,

men till slut kommer vi göra den tredimensionella

skärningen och visa att det här definitivt är fallet.

Du får definitivt ekvationerna, som jag kommer visa dig

i en ganska snar framtid.

Den här skärningen skulle se ut ungefär så här.

Jag tror du kan föreställa dig redan.

Den skulle se ut ungefär så här.

Och om du skulle titta rakt ner på det här planet, om

du var rakt ovanför planet så skulle det se ut

ungefär-- den här figuren jag just ritade i lila-- skulle

se ut ungefär så här.

Okej, jag ritade inte det där speciellt bra..

Det skulle vara en ellips.

Du vet hur en ellips ser ut.

Och om jag lutade åt andra hållet så skulle ellipsen

tryckas ihop åt det andra hållet.

Men det ger dig en uppfattning om varför båda

dessa är koniska sektioner.

Något väldigt intressant:

om vi fortsätter att luta planet... Om vi lutar planet så

att det-- Låt säga att vi roterar det runt den här punkten.

Så nu-- låt mig se om jag kan göra det här...

Det är en bra övning i tredimensionellt ritande.

Låt säga att det ser ut ungefär så här.

Jag vill gå igenom den där punkten.

Så det här är mitt tredimensionella plan.

Jag ritar det på ett sånt sätt att det bara skär den här

nedre konen och ytan är parallell med

sidan på den här övre konen.

I det här fallet kommer planet och konen

att skära varandra precis i den där punkten.

Du kan nästan se att jag roterar planet runt den här punkten,

i skärningen mellan den här punkten och planet och konen.

Det här snittet skulle se ut

ungefär så här.

Så där.

Och den skulle fortsätta neråt.

Så om jag skulle rita den så skulle den se ut så här.

Om jag var rakt ovanför planet, om jag bara skulle

rita planet.

Och där får du din parabol!

Det här är intressant,

om du fortsätter att luta-- om du börjar med en

cirkel, lutar lite, så får du en ellips.

Du får en mer och mer hoptryckt ellips,

och till slut blir ellipsen mer och mer

hoptryckt, så där.

Den liksom "spricker" precis när du blir exakt parallell med

sidan på den här övre konen.

Och jag gör det väldigt oexakt just nu, men jag

tror jag vill ge dig intuitionen--

Den spricker och förvandlas till en parabol.

Du kan se en parabol-- det är

en koppling.

Parabolen är vad som händer när en sida av ellipsen spricker

upp och du får den här parabolen.

Och sen, om du fortsätter luta planet, och jag gör det

i en annan färg-- så att det skär båda

sidorna av konen.

Låt mig se om jag kan rita det här.

Så om det här är mitt nya plan-- hoppsan.

Det där är tillräckligt bra.

Så om mitt plan ser ut så här-- jag vet att det är svårt att

läsa nu-- och du ville ha snittet av det här planet,

det här gröna planet och konen-- jag borde nog rita om

allt, men förhoppningsvis blir du inte överväldigande

förvirrad-- snittet skulle se ut så här.

Det skulle först skära bottenkonen där och det skulle

skära toppkonen där.

Sen skulle du ha nånting sånt här.

Det här skulle vara snittet av planet och bottenkonen.

Och här uppe är snittet av

planet och toppkonen.

Kom ihåg, det här planet sträcker sig oändligt i varje riktning.

Så det här ger en fingervisning av vad koniska sektioner är

och varför de faktiskt kallas koniska sektioner.

Säg till om det här blev förvirrande, för kanske jag gör

en ny video där jag ritar upp det här lite snyggare.

Kanske kan jag hitta nåt bra 3D-program som kan göra

det bättre än vad jag kan.

Det här är anledningen till att alla dessa är

koniska sektioner, och varför de är relaterade till varandra.

Vi ska gå igenom det lite mer på djupet matematiskt

om ytterligare några videos.

Men i nästa video, nu när ni vet vad de är och varför

de kallas koniska sektioner, ska jag prata

om deras formler och hur du känner igen

formlerna.

Och givet en formel, hur du ritar upp kurvorna

för dessa koniska sektioner.

Vi ses i nästa video!