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Bhaskara's proof of Pythagorean Theorem.avi

  • 0:01 - 0:05
    12세기 인도 수학자
    바스카라가 했던
  • 0:05 - 0:08
    증명을 해 보겠습니다
  • 0:08 - 0:11
    정사각형 하나로
    시작해 볼까요?
  • 0:11 - 0:19
    살짝 기울어진 정사각형을
    하나 그려 볼게요
  • 0:19 - 0:26
    최대한 정사각형이
    되도록 그리겠습니다
  • 0:26 - 0:33
    그림이 정확하지 않더라도
    이해해 주세요
  • 0:33 - 0:35
    정사각형이므로
  • 0:35 - 0:38
    이 각은 직각이고
    이 각도 직각이며
  • 0:38 - 0:40
    이 각과 이 각도
    역시 직각입니다
  • 0:40 - 0:42
    그리고 모든 변의
    길이가 같습니다
  • 0:42 - 0:46
    변의 길이를
    c라고 할게요
  • 0:46 - 0:50
    정사각형 각 변의
    길이는 c입니다
  • 0:50 - 0:55
    이 정사각형 안에
    삼각형 네 개를 그려 볼까요?
  • 0:55 - 1:04
    이렇게 아래로
    직선을 그려서
  • 1:04 - 1:08
    이렇게 생긴
    삼각형을 그릴 거예요
  • 1:08 - 1:10
    그리고 여기서 옆으로
    선을 곧게 그립니다
  • 1:10 - 1:14
    이 선과 이 선이 직교하므로
    여기는 직각이겠죠
  • 1:14 - 1:18
    이번에는 정사각형의
    이 꼭지점에서 위로 그립니다
  • 1:18 - 1:20
    이 선과 이 선이
    직교하기 때문에
  • 1:20 - 1:23
    이 각도도
    90도입니다
  • 1:23 - 1:30
    이제 이 꼭지점에서
    왼쪽으로 곧게 그립니다
  • 1:30 - 1:33
    그러면 이 각은
    직각이 되고
  • 1:33 - 1:36
    이 각도 직각이 됩니다
  • 1:36 - 1:41
    큰 정사각형 안에
    직각삼각형 네 개를 그렸습니다
  • 1:41 - 1:44
    그리고 가운데에
  • 1:44 - 1:48
    직사각형
    또는 정사각형이 있습니다
  • 1:48 - 1:52
    아직 이 도형이
    정사각형인지는 확실하지 않습니다
  • 1:52 - 1:55
    다음으로 이 삼각형들이
    합동인지 알아봅시다
  • 1:55 - 2:02
    이 삼각형들의
    빗변의 길이는
  • 2:02 - 2:04
    c로 모두 같습니다
  • 2:04 - 2:09
    직각의 대변은
    모두 c입니다
  • 2:09 - 2:11
    이때 대응하는 각이
    모두 같으면
  • 2:11 - 2:13
    이 삼각형들은
    모두 합동입니다
  • 2:13 - 2:16
    동위각들의
    크기가 모두 같고
  • 2:16 - 2:19
    대응하는 변끼리
    길이가 같다면
  • 2:19 - 2:21
    모든 삼각형은
    합동입니다
  • 2:21 - 2:26
    이 각의 크기를
    θ(세타)라고 한다면
  • 2:26 - 2:33
    여기 이 각은
    보각이므로 90 - θ가 됩니다
  • 2:33 - 2:38
    이 두 각을 합치면
    직각이 될 거예요
  • 2:38 - 2:40
    이 각은 90 - θ이고
  • 2:40 - 2:43
    이 각과 이 각의 합은
    90도입니다
  • 2:43 - 2:46
    180도에서 직각을 빼면
    90도가 남기 때문이죠
  • 2:46 - 2:49
    그러므로 이 각은
    θ가 되어야 합니다
  • 2:49 - 2:52
    이 각이 θ면
    이 각은 90 - θ가 되고
  • 2:52 - 2:55
    이 각이 90 - θ라면
    이 각은 θ가 되며
  • 2:55 - 2:58
    이 각이 θ면
    이 각은 90 - θ
  • 2:58 - 3:00
    이 각이 90 - θ면
    이 각은 θ
  • 3:00 - 3:04
    그리고 이 각은
    90 - θ가 되겠죠
  • 3:04 - 3:08
    이제 삼각형 네 개는 모두
  • 3:08 - 3:13
    θ, 90 - θ, 90도인 각을
    하나씩 가지고 있습니다
  • 3:13 - 3:15
    대응하는 각이
    모두 같기 때문에
  • 3:15 - 3:17
    최소한 서로
    닮은꼴이며
  • 3:17 - 3:19
    빗변도 모두
    길이가 같으므로
  • 3:19 - 3:25
    삼각형 네 개는 모두
    합동입니다
  • 3:25 - 3:30
    이 가정을 바탕으로
    삼각형의 변에서
  • 3:30 - 3:33
    빗변을 제외한
    긴 변의 길이가
  • 3:33 - 3:36
    모두 b라고 해 봅시다
  • 3:36 - 3:40
    삼각형의 긴 변을
    여기 그려 볼게요
  • 3:40 - 3:45
    이 길이를
    b라고 합시다
  • 3:45 - 3:47
    삼각형 네 개에 있는
    짧은 변의 길이를
  • 3:47 - 3:49
    구해 볼까요?
  • 3:49 - 3:52
    이 변과 이 변
  • 3:52 - 3:58
    그리고 이 변과
    이 변까지 길이를 모두
  • 3:58 - 4:00
    a라고 해 봅시다
  • 4:00 - 4:06
    여기 이 정도 높이가
    a입니다
  • 4:06 - 4:09
    이제 재미있는 것을
    해 봅시다
  • 4:09 - 4:15
    커다란 정사각형의 넓이를
    c로 표현해 볼까요?
  • 4:15 - 4:18
    정사각형 한 변의
    길이가 c이므로
  • 4:18 - 4:22
    c × c = c²이 되겠죠
  • 4:22 - 4:28
    그러므로
    이 넓이는 c²입니다
  • 4:28 - 4:32
    이제 삼각형 중
    두 개를 다시 배치해서
  • 4:32 - 4:36
    금방 알아낸 넓이를
    a와 b로 나타내 봅시다
  • 4:36 - 4:39
    이 과정은 피타고라스
    정리로 이어질 거예요
  • 4:39 - 4:44
    이 그림을 이용해
    풀어 봅시다
  • 4:44 - 4:54
    이 그림을 복사해서
    붙여넣기 해 볼게요
  • 4:54 - 4:58
    이게 원래 도형이죠
  • 4:58 - 5:03
    이제 불필요한 내용을
    지워줄 거예요
  • 5:03 - 5:06
    이제 도형을
    옮겨 봅시다
  • 5:06 - 5:09
    왼쪽 위에 있는
    삼각형을
  • 5:09 - 5:12
    오른쪽 아래에 있는
    삼각형 밑으로 옮길 거예요
  • 5:12 - 5:20
    이 삼각형을
    잘라내서 이동해 볼게요
  • 5:20 - 5:24
    도형이 망가지지 않도록
    잘라내서
  • 5:24 - 5:28
    오른쪽 삼각형 밑에
    붙이겠습니다
  • 5:28 - 5:34
    그러면 이렇게 되겠죠
  • 5:34 - 5:37
    삼각형을 잘라내면서
    지워진 선을 그려 볼게요
  • 5:37 - 5:45
    여기에 선이 있었고
    이 위에도 선이 있었죠
  • 5:45 - 5:50
    이 선은 위아래로 뻗었고
    이 선은 양옆으로 뻗었네요
  • 5:50 - 5:56
    왼쪽에 있던 삼각형을
    오른쪽 아래로 옮겼습니다
  • 5:56 - 6:00
    이제 위쪽에 있는
    삼각형을
  • 6:00 - 6:04
    왼쪽 아래에 있는
    삼각형 밑으로 옮길 거예요
  • 6:04 - 6:08
    금방 했던 것과
    같은 과정입니다
  • 6:08 - 6:18
    먼저 위에 있는
    삼각형을 잘라내서
  • 6:18 - 6:22
    밑에 있는 삼각형에
    붙여 줄게요
  • 6:22 - 6:26
    잘라내는 과정에서
    지워진 선을 다시 그려 줍니다
  • 6:26 - 6:30
    삼각형을 밑으로
    이동시켰습니다
  • 6:30 - 6:33
    위에 있는 이 삼각형을
    색칠해 볼게요
  • 6:33 - 6:37
    이 삼각형은 이제
    이 밑에 있죠
  • 6:37 - 6:42
    왼쪽에 있던
    이 삼각형은
  • 6:42 - 6:46
    이제 오른쪽에 있습니다
  • 6:46 - 6:54
    가운데에 있던 정사각형은
    여기 있습니다
  • 6:54 - 6:58
    어떻게 다시 배치했는지
    이해되셨으면 좋겠네요
  • 6:58 - 7:03
    이제 재배치한 도형의
    넓이를 구해 봅시다
  • 7:03 - 7:05
    처음 도형에서 도형의
    위치만 바꿨으므로
  • 7:05 - 7:07
    넓이는 같을 거예요
  • 7:07 - 7:11
    이 넓이를 어떻게 a와 b로
    표현할 수 있을까요?
  • 7:11 - 7:13
    여기서 중요한 것은
  • 7:13 - 7:16
    이 아랫변의 길이를
    알아내는 것이에요
  • 7:16 - 7:22
    이 아랫변의 길이는
    무엇일까요?
  • 7:22 - 7:26
    이 변의 길이는 b이고
    이 변의 길이는 a입니다
  • 7:26 - 7:32
    따라서 아랫변 전체의
    길이는 a + b입니다
  • 7:32 - 7:35
    이 사실도 흥미롭지만
  • 7:35 - 7:38
    또 하나의 흥미로운
    사실이 있습니다
  • 7:38 - 7:44
    이쪽에 있는 이 변은
    저 변과 길이가 같아요
  • 7:44 - 7:46
    이 변의 길이도
    a입니다
  • 7:46 - 7:48
    그러므로 이렇게 가로와
    세로가 a인 정사각형을
  • 7:48 - 7:51
    그릴 수 있어요
  • 7:51 - 7:57
    이 정사각형의 넓이는
    a × a = a²입니다
  • 7:57 - 8:00
    잘 보이는 색으로
    표시해 볼게요
  • 8:00 - 8:04
    이 정사각형의 넓이는
    a²입니다
  • 8:04 - 8:07
    그렇다면 남은 부분의
    넓이는 무엇일까요?
  • 8:07 - 8:12
    이 길이가 a면
    저 길이도 a예요
  • 8:12 - 8:15
    이 아랫변 전체가
    a + b이므로
  • 8:15 - 8:20
    a를 뺀 나머지 부분의
    길이는 b가 됩니다
  • 8:20 - 8:23
    전체 길이가 a + b이고
    이 길이가 a라면
  • 8:23 - 8:25
    남은 부분의 길이는
    b가 되겠죠
  • 8:25 - 8:34
    그럼 지금 색칠하고 있는
    남은 도형은
  • 8:34 - 8:37
    가로와 세로가 b인
    정사각형입니다
  • 8:37 - 8:39
    그러므로 이 도형의
    넓이는 b²입니다
  • 8:39 - 8:44
    따라서 전체 도형의
    넓이는 a² + b²이고
  • 8:44 - 8:49
    이 넓이는 c로 나타냈던
    이 넓이와 일치합니다
  • 8:49 - 8:51
    위치만 바뀐
    같은 도형이기 때문이죠
  • 8:51 - 8:54
    따라서 전체 도형의
    넓이는 c²입니다
  • 8:54 - 8:56
    증명이 끝났습니다
  • 8:56 - 8:59
    바스카라는
    피타고라스의 정리를
  • 8:59 - 9:02
    아주 멋지게 증명했네요
Title:
Bhaskara's proof of Pythagorean Theorem.avi
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:03

Korean subtitles

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