Детерминанта на матрица 3х3

Детерминанти: Намиране на детерминантата на матрица 3x3

Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix_transformations/inverse_of_matrices/v/linear-algebra-nxn-determinant?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Пропусна предишния урок?
https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix_transformations/inverse_of_matrices/v/linear-algebra-formula-for-2x2-inverse?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Кан Академия е организация с нестопанска цел и с мисията да предоставя свободно образователни материали на световно ниво за всеки и навсякъде. Предлагаме тестове, въпроси, видео уроци и статии върху голям набор от академични дисциплини, включително математика, биология, химия, физика, история, икономика, финанси, граматика, предучилищно образование и други. Ние предоставяме на учителите инструменти и данни, така че да могат да помогнат на учениците си да развият уменията, навиците и нагласите за успех в училище и извън него. Кан Академия е преведена на дузина езици и 100 милиона души по целия свят използват платформата на Кан Академия всяка година. За повече информация, посети bg.khanacademy.org, присъедини се към нас във Фейсбук, или ни следвай в Twitter на @khanacademy. И запомни, можеш да научиш всичко.

Безплатно. За всички. Завинаги.
#YouCanLearnAnything

Абонирай се за канала Линейна алгебра на Кан Академия: https://www.youtube.com/channel/UCGYSKl6e3HM0PP7QR35Crug?sub_confirmation=1
Абонирай се за Кан Академия България: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademybulgarian
Абонирай се за Кан Академия: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

В последното видео
дефинирахме понятието

детерминанта на матрица 2 х 2.

Ако имаме някаква матрица В,

която изглежда по следния начин –
има елементи а, b, c, d,

ние дефинирахме
детерминантата на В.

Можем да я запишем
като в с тези черти отстрани,

като може да бъде записана
и като елементите на матрицата

с тези чертички отстрани –
|a;b;c;d|.

Не искам да те обърквам.

Това е матрицата,
когато имаме скоби.

Това е детерминантата
на матрицата, когато

имаме тези прави черти.

И тя по определение
е равна на ad минус bc.

В последното видео показах

каква е логиката, по която
това се извежда.

Когато намерихме обратната
матрица на В, определихме, че

тя е равна на 1/(ad – bc),
по някаква друга матрица,

която всъщност съдържа
тези два елемента разменени,

т.е. имаме d и а.

И после тези два елемента
стават отрицателни,

значи минус с и минус b.

Това беше обратната
матрица на матрицата В.

И казахме кога
това е определено.

Това е определено, когато
този знаменател не е 0.

И вероятно си помисли,
че това изглежда много важно.

Ще наречем това тук
детерминанта.

И можем да кажем, че
В е обратима тогава и само

тогава, когато детерминантата
на В не е равна на 0.

Защото ако е равна на 0,
тогава тази формула

за обратната матрица не е
дефинирана.

Получихме формулата с
нашата техника за

създаване на разширена
матрица.

Но най-важното беше, че
дефинирахме понятието

детерминанта за
матрица с размери 2 х 2.

Следващият въпрос е...
това е само за размер 2 х 2.

Но както с всичко, което правим
в линейната алгебра, бихме искали

да обобщим тази формула
за повече редове и стълбове.

Така че следващата стъпка...
но да правим малки стъпки –

да започнем с матрица
с размери 3 х 3.

Да дефинираме каква
е нейната детерминанта.

Ще направя една матрица
с размери 3 х 3 ето тук.

Нека матрицата А да е равна на...
просто ще запиша елементите ѝ –

първи ред, първи стълб,
първи ред, втори стълб,

първи ред, трети стълб.

После имаме а21,
а22 и а23.

След това имаме а31,
трети ред, първи стълб, а32 и а33.

Това е матрицата 3 х 3.

Три реда, три стълба.

Матрица с размер 3 х 3.

Сега ще дефинирам
детерминантата на А.

Това е определението.

Ще дефинирам детерминантата на
тази матрица А с размер 3 х 3,

която е равна на...
това е малко овъртяно,

но вероятно ще
ти стане ясно.

В следващите няколко
урока ще намираме

много детерминанти.

Така че да ти стане
един вид втора природа.

Понякога включва
много пресмятания.

Детерминантата е равна
на този първи елемент,

на а11 по детерминантата
на матрицата, която

получаваме, когато махнем
този стълб и ред.

Ако премахнем този
стълб и ред на матрицата,

получаваме
тази матрица.

Значи по детерминантата
на матрицата [а22; а23; а32; а33].

Ето така.

Това е първият елемент
и това е плюс това.

Казвам, че е плюс това,
защото следващият елемент

ще бъде минус.

Имаме минус това тук.

Значи имаме минус
а12 по матрицата,

която получаваме, когато
елиминираме неговия стълб и ред.

Значи по... ще получим
тези елементи ето тук.

Значи [а21; а23; а31; а33].

Още не сме готови.

Вероятно се досещаш
кое е следващото.

Сега ще имаме плюс...
само да избера по-хубав цвят –

плюс ето това тук.

Плюс а31 по
детерминантата на –

предполагам, че можем
да кажем на подматрицата.

Ще я наречем така
засега.

Значи на тази матрица
ето тук.

По [а21; а22; а31; а32].

Това е определението за

детерминанта на матрица 3 х 3.

Логиката е, че когато
намираме детерминантата

на матрицата 3 х 3 –
аз още не съм го показал –

но свойствата са същите.

Ако тази детерминанта
е нула, тогава

не можем да намерим
обратна матрица.

А когато сме дефинирали
детерминантата по този начин,

ако детерминантата не е
равна на нула, тогава

можем да намерим
обратната матрица.

Ето откъде идва това.

Но аз още не съм
ти го показал.

Може и да не го показвам,
защото включва

много сметки.

Ще отнеме много време.

Това е много заплетено и може
да се допуснат грешки от невнимание.

Но логиката е съвсем същата
като при матрица 2 х 2.

Но мисля, че сега ще ти е
интересно да видиш

как това се прилага към
една реална матрица,

защото засега
изглежда твърде абстрактно.

Ако го направим с една
реална матрица, ще видиш

че изобщо не е трудно.

Да оставим определението
ето тук и да кажем, че

имаме матрицата
[1;2;4;2;–1;3;4;0;1].

По определението за детерминанта,

тя ще е равна на...
да наречем тази матрица С –

детерминантата на С
е равна на това.

Ако искам да намеря
детерминантата на С,

детерминантата на С
е равна на – взимам този елемент,

ще взема това 1 по
детерминантата на –

да я наречем субматрица,
ето тук.

Значи имаме –1...
трябва да внимаваме...

имаме 3, имаме 0
и имаме 1.

Ето така.

Обърни внимание, че
премахваме стълба

на този елемент
и неговия ред.

И ни остава само
[–1;3; 0;1].

Сега взимам този елемент.

Тук трябва да внимаваш –

трябва да се смени знакът.

Ако тук започнеш с плюс,
тогава следващият знак

трябва да е минус.

Значи ще бъде –2 по
подматрицата –

премахваме стълба
и реда на този елемент.

Значи [2;3;4;1].

Просто пропуснах тези.

Ако мога да заснема пръста си,
бих поставил пръста си

върху този стълб ето тук
и върху този ред,

и тогава ще видя само
2, 3, 4 и 1.

И това влиза в
тази подматрица.

И накрая – имаме
плюс, минус, плюс.

Накрая имаме плюс
4 по детерминантата

на тази подматрица, ако
пропуснем този стълб и ред.

Значи [2; –1; 4;0].

Сега всичко е много лесно.

Няма да е трудно
да ги изчислим.

Всъщност хайде да го направим.

Това ще е равно на 1
по колко?

Минус 1 по 1.

Ще го запиша.

Минус 1 по 1, минус 0 по 3.

Това следва от определението
за детерминанта на матрица 2 х 2.

.

Вече сме дефинирали това.

После ще имаме
минус 2, по 2 по 1,

минус 4 по 3.

Накрая ще имаме
плюс 4, по 2 по 0,

минус –1 по 4.

Написах всичко, за да
можеш да го виждаш.

Това ето тук е
просто това тук.

После имаме 4 отпред.

Това ето тук е това тук.

Значи това е детерминантата
на подматрицата 2 х 2

на всеки от тези елементи.

Ако изчислим това, това
е равно на... минус 1 по 1

е минус 1.

Минус 0, това е 0.

Значи това е минус 1
по 1, което е минус 1.

После имаме...
на колко е равно това?

Това тук е 12.

Значи получаваме
2 минус 12.

Нали?

Получаваме 2 по 1,
минус 4 по 3.

Значи това е –10.

Значи това е равно
на минус 10.

После имаме –10
по –2.

Това става плюс 20, нали?

Минус 2 по минус 10.

Накрая, в зеленото,
имаме 2 по 0,

което си е 0.

После имаме –1 по 4,
което е минус 4.

Но тук имаме знак минус,
значи става плюс 4.

Всичко това
е равно на +4.

Плюс 4 по 4 е 16,
значи плюс 16.

Какво ще получим
като ги съберем?

Получаваме 20 плюс
16 минус 1.

Това е равно на 35.

Готови сме.

Намерихме детерминантата
на нашата матрица 3 х 3.

Не е зле.

Ето тук, това е равно на
детерминантата на С.

Щом това не е нула, тогава
матрицата С е обратима.

В следващото видео ще опитаме
да разширим това

за квадратни матрици n x n.