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Implicit differentiation when x and y are functions of t

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    -可微函数x和y由以下方程关联
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    Sin(x)+Cos(y)
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    将等于2的平方根
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    它也告诉我们dx/dt=5
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    他也告诉我们要在当y=π/4且x大于0小于π/2时
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    求出基于t的y的导数
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    所以他告诉了我们基于t的x的导数
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    并且我们要找到
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    基于t的y的导数
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    认为x和y都是基于t的函数的假设是合理的
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    所以你甚至可以在这将函数重新列一遍
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    你可以将其重新写为sin(x)，其中
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    x是t的函数
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    加上
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    cos(y)，y也是t的函数
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    整个式子等于2的平方根
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    现在你可能有些困惑
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    你未曾将x设为具有3个未知量的函数
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    或你未曾将y当做一个除了x外另有变量的函数
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    但请记住，x和y仅是自变量
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    这可以是f(t),那可以是g(t)
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    而不是x(t)或y(t)
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    这也许会让你觉得自然些
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    不必说如果我们要求出dt
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    我们要做的是对这个方程两边的 t 求导
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    所以让我们处理它吧
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    所以我们将从等式左侧入手
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    所以我们将把它与 t 相关联，对 t 取它的导数。
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    我们将对t取它的导数
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    接着我们将取等式右侧这一常数项
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    对t的导数
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    所以我们逐一思考这些式子
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    所以这是什么呢
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    让我换种颜色
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    我正在用水笔解的式子
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    我该如何写它呢
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    所以我取对t的函数
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    我有某数的sin值，其自身为关于t的函数
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    所以我将在这里应用链式法则
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    首先，我将求sinx的导数
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    我将之写作sinx(t))
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    但为了简化，我将其恢复为原式
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    接着我将其与x的导数相乘
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    你可以说，对于t的导数
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    乘上dx/dt
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    这和你之前处理链式法则相比，
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    可能有些反常
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    之前我们只处理与x或y相关的
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    但这就是现在发生的，我将取sin外的
  • 2:41 - 2:44
    对于某值的某值的导数，
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    在这种情况下，即为x
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    接着我将求某值的导数
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    在这种情况下，即为x对于t的导数
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    我们可以对第二个多项式
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    用同样的方式处理
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    所以我将求d/dy乘上，
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    我猜你将说
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    cos(y)
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    接着我将之相乘：
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    乘上对于t的y的导数
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    接着它们整体将等于多少呢
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    对于t的常数的导数
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    根号2是个常数
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    将不会随t的变化而变化
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    所以它的导数，其变化率即为0
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    好的，现在我们求到了
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    所有的值
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    所以第一步，sin(x)的导数为
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    cos(x)乘x对于t的导数
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    我将在这写下
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    x对于t导数
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    接着我们将有，这里是加上
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    y对于t的导数
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    所以加上y对于t的导数
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    我在这把顺序调换了下
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    所以它将提前
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    现在，对于y的cos(y)的导数是多少呢？
  • 3:58 - 4:01
    其值为-sin(y)
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    接着，让我先把sin(y)写在这
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    再加个负号
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    将这（符号）擦除并换为减号
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    而这依旧将等于0
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    因此我们可以求出什么呢
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    它告诉我们x对于t的导数的值为5
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    他就在这告诉了我们
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    所以这将等于5
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    我们想求出对于t的y的导数的值
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    他告诉了我们y的值，π/4
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    这里，y是π/4，所以写下π/4
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    所以我们看一下，我们得求出它
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    我们仍有两个未知量
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    我们不知道x的值，我们也不知道
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    y对于t的导数值
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    那就是我们所需求的值
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    所以x的值是多少呢？
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    当y等于π/4时，x的值是多少呢
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    好的，为了求出它，
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    我们将回到原式
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    所以当y等于π/4时，你会得到
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    让我把它写下
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    sin(x)，加上
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    cos(π/4),
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    （cos(π/4)）的值为二分之根号二
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    cos(π/4)
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    我们可以转化为我们（熟悉的角度）或用单位圆解决
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    我们正处于第一象限中，
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    如果我们以角度制思考，它的值为45°
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    它将等于二分之根号二
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    我们可从等式两侧同时减去二分之根号二，
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    我们将的值
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    sin(x)的值为，好的，如果你从根号二中减去
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    二分之根号二，
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    你将减去它的一半
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    所以你仍留有它的一半
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    所以就是二分之根号二
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    所以，x的值是多少呢，我将取它的sin值
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    记住，这是在角度制中
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    如果我们用单位圆思考，它将在第一象限。
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    在这情况下x将是一个角，
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    就在这
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    所以那将是又一次的π/4
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    所以x的值为π/4
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    当y等于π/4时
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    我们知道了这也是π/4
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    所以让我把它重写一遍
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    因为这有点乱了
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    所以我们得到了五倍的
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    π/4的cos值，
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    减去，dy/dt，
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    y对于t的导数
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    我们刚求出它的值
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    乘上π/4的sin值
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    得0
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    让我们在这里打上括号，
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    以方便区分这些式子
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    好的，现在我们来看
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    现在只是一些简单的代数了
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    cos(π/4)
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    我们知道其值为二分之根号二
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    sin(π/4)的值也是二分之根号二
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    好现在我们看，如果同时从等式两侧除去二分之根号二会如何呢
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    好的，那将告诉我们什么呢
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    二分之根号二除以二分之根号二
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    将等于1
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    二分之根号二除以二分之根号二
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    将等于1
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    接着0除以二分之根号二
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    也将等于0
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    整个式子将简化为
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    5乘1，就是5
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    减去y对于t的导数，将等于0
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    现在你求出了它的值
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    你在等式两边同时加上y对于t的导数
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    接着我们就得到y对于t的导数的值为5
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    当其他条件都满足时
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    即当x对于t的导数为5，
  • 7:45 - 7:50
    且y的值为π/4时
Title:
Implicit differentiation when x and y are functions of t
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:52

Chinese, Simplified subtitles

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