-
.
-
Lad os tale lidt om rationale tal.
-
.
-
Ethvert tal, der kan udtrykkes som et forhold
-
mellem 2 heltal
-
er et rationalt tal.
-
Ethvert heltal er altså et rationalt tal.
-
1 kan for eksempel skrives som 1 over 1 eller som minus 2 over minus 2
-
eller som 10.000 over 10.000.
-
Ligemeget hvad beskrives tallet 1
-
som et forhold mellem 2 heltal.
-
På den måde kan vi skrive
-
1 på uendeligt mange måder.
-
Vi sætter et tal over det samme tal.
-
Minus 7 kan skrives som minus 7 over 1
-
eller 7 over minus 1 eller minus 14 over 2.
-
Sådan kan vi fortsætte.
-
Minus 7 er altså også et rationalt tal.
-
Det kan beskrives som forholdet mellem 2 heltal.
-
Hvad med tal, der ikke er heltal?
-
Lad os se på 3,75.
-
Kan vi skrive det som forholdet mellem 2 heltal?
-
Vi kan skrive 3,75
-
som 375 over 100, som også er 750 over 200.
-
3,75 er også det samme som 3 og 3/4,
-
så det kan vi skrive
-
som 15/4.
-
4 gange 3 er 12. 12 plus 3 er 15. Derfor kan vi skrive det sådan her.
-
Det her er det samme som 15/4.
-
Vi kan også skrive det som minus 30 over minus 8.
-
Her ganger vi tæller og nævner
-
med minus 2.
-
Det her er altså et rationalt tal.
-
Vi kan skrive det som forholdet
-
mellem 2 heltal på flere måder.
-
Hvad med periodiske uendelige decimaltal?
-
Lad os se på et af de
-
mest kendte eksempler.
-
Det er 0,333, og tretallene fortsætter i det uendelige.
-
Det kan vi vise ved at tegne en lille streg
-
over tretallet.
-
Det er 0,3 i det uendelige.
-
Vi skal senere se på,
-
hvordan vi kan skrive periodiske uendelige decimaltal
-
som forholdet mellem 2 heltal, men det her er 1/3.
-
0,666 og så videre er 2/3.
-
Der er mange andre eksempler.
-
Det kan godt være,
-
at der er flere end 1 decimal, der går igen.
-
Det kan være en periode på 1 million decimaler.
-
Så længe perioden eller mønsteret begynder forfra
-
på et tidspunkt,
-
kan vi skrive det som forholdet mellem 2 heltal.
-
Indtil videre
-
har vi inkluderet rigtig mange slags tal
-
i de rationale tal. Vi har set på heltal,
-
almindelige decimaltal
-
og periodiske uendelige decimaltal.
-
Hvad er der overhovedet tilbage?
-
Er der nogen tal, der ikke er rationelle?
-
Det er der faktisk.
-
Ellers var der jo ingen grund til at lave en
-
gruppe kaldet rationale tal.
-
Faktisk er der nogle
-
ret kendte tal indenfor matematikken,
-
der ikke er rationelle.
-
Dem kalder vi irrationale.
-
.
-
Her står nogle af
-
de mest kendte eksempler.
-
Pi, altså forholdet
-
mellem omkredsen og diameteren i en cirkel, er et irrationelt tal.
-
Det slutter aldrig.
-
Der er uendeligt mange decimaler, og de gentager aldrig sig selv.
-
Der er intet mønster. Sådan er det også med Euhlers tal, e.
-
e bruges i mere
-
avanceret matematik.
-
Det er dog ret kendt.
-
Kvadratroden af 2 er også et irrationalt tal.
-
Phi, det gyldne forhold, er også et irrationalt tal.
-
De her tal fra naturen
-
er faktisk alle irrationale.
-
De her er godt nok irrationale,
-
men måske er det bare nogle helt specielle tal.
-
Måske er langt de fleste tal rationale,
-
og her er bare nogle helt mærkelige tal.
-
De er ret mærkelige,
-
men irrationale tal
-
er faktisk ikke sjældne.
-
Der er faktisk altid et irrationalt tal
-
mellem 2 rationelle tal.
-
.
-
Der er nemlig et uendeligt antal irrationale tal.
-
Derfor kan vi ikke
-
rigtigt sige,
-
at der er færre irrationale end rationale tal.
-
I andre videoer skal vi se nærmere på,
-
at der altid er mindst 1 irrationalt tal
-
mellem 2 rationale tal.
-
.
-
Det er mærkeligt at tænke på.
-
Vi tog for eksempel kvadratroden af 2.
-
Faktisk er enhver kvadratrod af et tal,
-
der ikke er et kvadrattal et irrationalt tal.
-
Vi kan også tage summen af et rationalt og et irrationalt tal,
-
men det ser vi på en anden gang.
-
.
-
Den sum vil
-
nemlig altid være irrational.
-
Produktet af et irrationalt og et rationalt
-
tal er altid irrationalt.
-
Der findes altså mange irrationale tal.
-
.
Khan Academy
