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Allora, parliamo un po' dei numeri razionali.
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Il modo più semplice per definirlo è
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qualsiasi numero che possa essere rappresentato come rapporto fra due numeri interi
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è un numero razionale.
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Quindi, per esempio, ogni numero intero è razionale.
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1 può essere rappresentato come 1/1 o come (-2)/(-2)
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o come 10.000/10.000.
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In tutti questi casi, questi sono
modi differenti di rappresentare
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il numero 1, come rapporto fra due numeri interi.
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E ovviamente io posso avere un numero infinito
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di rappresentazioni di 1 in questo modo,
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lo stesso numero sopra lo stesso numero.
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Il numero -7 potrebbe essere rappresentato come -7/1,
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o 7/(-1), o -14/2.
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E potrei andare avanti all'infinito.
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Quindi, -7 è un numero razionale.
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Può essere rappresentato come rapporto fra due numeri interi.
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Ma i numeri che non sono interi?
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Per esempio, immagina - non so - 3,75.
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Come possiamo rappresentarlo
nella forma di rapporto fra due numeri interi?
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Bene, 3,75 può essere scritto
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come 375/100, che è equivalente a 720/200.
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O possiamo dire, hey, 3,75 è uguale a 3
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e 3/4 - quindi, lo scrivo qui -
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è equivalente a 15/4.
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4 per 3 fa 12, più 3 fa 15, quindi possiamo scrivere questo.
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È la stessa cosa di 15/4.
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O possiamo scriverlo come -30/(-8).
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Ho solo moltiplicato il numeratore e il denominatore
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per meno 2.
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Ma, giusto per essere chiari, questo numero è razionale.
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Sto facendo diversi esempi di come
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questo possa essere rappresentato come un rapporto di due numeri interi.
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Ora, i numeri periodici?
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Bene, consideriamo quello che
è forse il più famoso
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dei numeri periodici.
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Diciamo che abbiamo 0.333 e continua con il 3 per sempre,
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cosa che possiamo indicare con questa piccola lineetta sopra
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al 3.
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Questo è 0 virgola 3 periodico.
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E più avanti ti mostrerò
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come trasformare qualsiasi decimale periodico
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in rapporto di due interi... ma questo è chiaramente 1/3.
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Magari hai visto anche 0.6 periodico, che è 2/3.
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E ci sono moltissimi esempi simili.
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Vedremo ogni tipo di decimale periodico,
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anche con più cifre periodiche.
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Anche se ha un milione di cifre periodiche,
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basta che si ripetano all'infinito,
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puoi sempre rappresentarlo
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come rapporto di due interi.
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So cosa stai pensando.
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Sal, hai messo dentro tutto.
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Hai incluso tutti gli interi.
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Hai incluso tutti i decimali finiti non periodici
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e anche i decimali periodici.
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Cosa resta fuori?
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Ci sono numeri che non sono razionali?
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Probabilmente immagini che ce ne sono,
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altrimenti le persone non si sarebbero
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posti il problema di dare un nome a questi razionali.
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In effetti, come puoi immaginare,
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alcuni dei più famosi numeri della matematica
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non sono razionali.
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E li chiamiamo numeri irrazionali.
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Te ne ho elencati qui giusto alcuni
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dei più famosi.
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Pigreco, il rapporto tra la circonferenza
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e il diametro del cerchio, è un numero irrazionale.
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Non finisce mai.
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Continua per sempre e non è periodico.
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e: anche questo non termina mai e non si ripete mai.
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Viene fuori negli interessi composti
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e nell'analisi complessa
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e in molti altri posti.
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La radice quadrata di 2 è irrazionale.
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Phi, il rapporto aureo, è irrazionale.
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Questi numeri vengono fuori
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dalla natura e sono irrazionali.
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Ora potresti dire: ok, sono irrazionali?
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Sono solo dei numeri speciali
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ma magari la maggior parte dei numeri sono razionali
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e Sal ha solo tirato fuori alcuni casi speciali qui.
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Ma la cosa importante è capire che sembrano strani,
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in effetti in qualche modo sono particolari,
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ma non sono rari.
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C'è sempre un numero irrazionale
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tra due qualsiasi numeri razionali.
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Beh, potremmo andare avanti ancora.
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Ce n'è un numero infinito.
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Ma ce n'è sempre almeno uno, e questo
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ti fa capire che non sono pochi
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i numeri irrazionali rispetto ai razionali.
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In un prossimo video dimostreremo
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che, dati due numeri razionali, razionale 1
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e razionale 2, ci sarà almeno un numero irrazionale
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compreso tra di essi, che non è ovvio,
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perché i numeri irrazionali sembrano molto strani.
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Oppure, se prendo la radice quadrata di 2
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o la radice quadrata di qualsiasi numero che non è quadrato perfetto,
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avremo un numero irrazionale.
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Fai la somma di un numero irrazionale
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e di un razionale... beh, lo vedremo più avanti.
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Lo dimostreremo.
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La somma di un irrazionale e di un razionale
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sarà un irrazionale.
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Il prodotto di un irrazionale e di un razionale
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sarà un irrazionale.
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Esistono tantissimi numeri irrazionali.
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