Introduction to rational and irrational numbers

.

La oss snakke litt om rasjonelle tall.

.

Ethvert tall, som kan uttrykkes som et forhold

mellom to heltall

er et rasjonelt tall.

Ethvert heltall er altså et rasjonelt tall.

1 kan for eksempel skrives som 1 over 1 eller som minus 2 over minus 2

eller som 10.000 over 10.000..

Uansett hva beskrives tallet 1

som et forhold mellom 2 heltall.

På den måten kan vi kanskje skrive

1 på uendelig mange måter.

Vi setter et tall over det samme tallet.

Minus 7 kan skrives som minus 7 over 1

eller 7 over minus 1 eller minus 14 over 2.

Sånn kan vi fortsette.

Minus 7 er altså også et rasjonelt tall.

Det kan beskrives som forholdet mellom to heltall.

Hva med tall, som ikke er heltall?

La oss se på 3,75.

Kan vi skrive det som forholdet mellom 2 heltall?

Vi kan skrive 3,75

som 375 over 100, som også er 750 over 2000.

3,75 er også det samme som 3 og 3/4,

så det kan vi skrive

som 15/4.

4 ganger 3 er 12. 12 pluss 3 er 15. Derfor kan vi skrive det sånn her.

Det er det samme som 15/4.

Vi kan også skrive det som minus 30 over minus 8.

Her ganger vi teller og nevner

med minus 2.

Det her er altså et rasjonelt tall.

Vi kan skrive det som forholdet

mellom 2 heltall på flere måter.

Hva med periodiske uendelige desimaltall?

La oss se på et av de

mest kjente eksempler.

Det er 0,333, og tretalene fortsetter i det uendelige.

Det kan vi vise med å tegne en liten strek

over tretallet.

Det er 0,3 i det uendelige.

Vi skal senere se på,

hvordan vi kan skrive periodiske uendelige desimaltall

som forholdet mellom 2 heltall, men det her er 1/3.

0,666 og så videre er 2/3.

Det er mange andre eksempler.

Det kan godt være,

at det er fler enn 1 desimal, som går igjen.

Det kan være en periode på 1 million desimaler.

Så lenge perioden eller mønsteret begynner forfra

på et tidspunkt,

kan vi skrive det som forholdet mellom 2 heltall.

Inntil videre

har vi inkludert veldig mange slags tall

i de rasjonelle tallene. Vi har sett på heltall,

alminnelige desimaltall

og periodiske uendelige desimaltall.

Hva er det igjen?

Er det noen tall, som ikke er rasjonelle?

Det er det faktisk.

Ellers var det ingen grunn til å lage en

gruppe kalt rasjonelle tall.

Faktisk er det noen

ganske kjente tall innenfor matematikken,

som ikke er rasjonelle.

De kaller vi irrasjonelle.

.

Her står noen av

de mest kjente eksemplene.

Pi, altså forholdet

mellom omkretsen og diameteren i en sirkel, er et irrasjonelt tall.

Det slutter aldri.

Det er uendelig mange desimaler, og de gjentar aldri seg selv.

Det er ingen mønster. Sånn er også Euhlers tall, e.

e brukes i mer

avansert matematikk.

Det er dog veldig kjent.

Kvadratroten av 2 er også et irrasjonelt tall.

Phi, det gylne forholdet, er også et irrasjonelt tall.

De her tallene fra naturen

er faktisk irrasjonelle.

De her er nok irrasjonelle,

men kanskje er det bare noen helt spesielle tall.

Kanskje er er de fleste tall rasjonelle,

og her er bare noen helt merkelig tall.

De er veldig merkelige,

men irrasjonelle tall

er faktisk ikke sjeldne.

Det er faktisk alltid et irrasjonelt tall

mellom 2 rasjonelle tall.

.

Det er nemlig uendelig antall irrasjonelle tall.

Derfor kan vi ikke

helt si,

at det er færre irrasjonelle tall enn rasjonelle tall.

I andre videoer skal vi se nærmere på,

at det alltid er minst 1 irrasjonelt tall

mellom 2 rasjonelle tall.

.

Det er merkelig å tenke på.

Vi tok for eksempel kvadratroten av 2.

Faktisk er enhver kvadratrot av et tall,

som ikke er det kvadratttall et irrasjonelt tall.

Vi kan også ta summen av et rasjonelt og et irrasjonelt tall,

men det ser vi på en annen gang.

.

Den summen vil

nemlig alltid være irrasjonell.

Produktet av et irrasjonelt og et rasjonelt

tall er alltid irrasjonelt.

Det finne altså mange irrasjonelle tall.

.