Introduction to rational and irrational numbers

Давайте поговорим немного о рациональных числах.

... рациональных числах

Есть простой способ их выразить: любое число, которое

может быть представлено в виде отношения двух целых чисел,

является рациональным.

Например, любое целое число является также рациональным.

1 может быть представлено в виде 1 / 1, или как отношение -2 к -2,

или как 10000 / 10000.

Во всех этих случаях мы имеем дело с разными способами записи

числа 1 в виде отношения двух целых чисел.

Разумеется, я могу получить бесконечно много

способов записи числа 1 в виде

отношения некоего числа к самому себе.

Число -7 можно записать как -7 / 1,

или 7 / -1 или -14 / 2

И я могу продолжать дальше и дальше.

Таким образом, -7 определенно рациональное число.

Оно может быть записано как отношение двух целых чисел.

Но как на счет не целых чисел?

Например, возьмем... хм, даже и не знаю... 3.75.

Как мы можем записать это в виде отношения двух целых чисел?

Что ж, 3.75 вы могли бы переписать как

375 / 100, что то же самое, что и 750 / 200.

Или вы могли бы сказать: "Эй, 3.75 это то же самое, что

3 и 3 / 4". Дайте мне записать это...

Что то же самое, что и 15 / 4.

4 умножить на 3 равно 12, плюс 3 равно 15, так что можно записать так:

это то же, что 15 / 4.

Или мы могли бы записать это как отношение -30 к -8

Я только помножил числитель и знаменатель

здесь на -2.

Внесу ясность: это число явно рациональное.

Я даю вам несколько примеров

того, как оно может быть записано в виде отношения двух целых чисел.

Теперь займемся периодическими дробями.

Ну, возьмем наиболее известные

периодические дроби.

Возьмем 0.333..., которая является бесконечной,

что мы можем обозначить надчеркиванием повторяющейся части дроби

(то есть числа 3)

Это дробь 0.(3), где 3 -- период.

И мы видели... и позже мы покажем,

как можно преобразовать любую периодическую дробь в обыкновенную,

представив ее в виде отношения двух целых чисел... В данном случае это 1 / 3.

Или, быть может, вы видели периодическую дробь 0.(6), которая 2 / 3.

Существует еще много-много примеров.

И мы увидим какой угодно период у дроби,

не только с одной цифрой.

Даже если у нее миллион цифр в периодической части,

пока период повторяется

снова и снова, вы

всегда сможете записать это в виде отношения двух целых чисел.

Я догадываюсь, о чем вы думаете.

"Эй, Сал, ты здесь многое записал:

все целые числа,

все конечные непериодические десятичные дроби,

да еще и сами периодические дроби.

Что же осталось?

Существуют ли не рациональные числа?"

И вы, возможно, догадываетесь, что они есть,

иначе зачем люди

переусложнили дело, назвав вышезаписанные числа рациональными.

И оказывается, как вы можете представить, что

некоторые из наиболее известных в математике чисел

не являются рациональными.

И мы называем эти числа иррациональными.

... иррациональные числа.

И я составил список некоторых

заслуживающих внимания примеров.

Пи -- отношение длины окружности

к ее диаметру -- это иррациональное число.

Оно никогда не кончается.

Оно бесконечно и не имеет периода.

e, с ним то же самое -- бесконечное непериодическое.

Оно применяется в капитализации процентов.

Оно же применяется в комплексном анализе.

e повсюду.

Квадратный корень из 2 иррационален.

Фи, золотое сечение, тоже иррационально.

И эти числа, которые появляются

в природе, многие из них иррациональны.

Теперь вы можете сказать "Ладно, так они иррациональные?

Может, эти числа какие-то особенные,

но большинство чисел рациональны

и Сал просто выбрал особые случаи."

Но важно понимать, что хотя они и выглядят необычно --

а они необычны в определенном смысле --

они все же не выходят из ряда вон.

Оказывается, что всегда есть

иррациональное число между двумя любыми рациональными числами.

И так далее.

Их бесконечно много.

Но есть по меньшей мере одно, что дает представление

о том, что нельзя утверждать, что

существует меньше иррациональных чисел, чем рациональных.

И в будущих видео мы докажем,

что вы можете дать мне два рациональных числа: первое рациональное

и второе рациональное. И будет по меньшей мере одно иррациональное число

между данными числами, что любопытно,

потому что иррациональные числа выглядят необычными.

Иначе на это можно посмотреть так: я взял квадратный корень из 2,

но вы можете взять корень из любого числа, не являющегося квадратом целого,

и получите иррациональное число.

Сложите иррациональное

и рациональное число... и мы увидим это позже,

мы докажем себе,

что эта сумма

будет иррациональным числом.

Произведение рационального и иррационального

будет иррациональным.

Так что существует много-много иррациональных чисел.