-
...
-
Хајде да мало попричамо о рационалним... рационалним бројевима.
-
Рационалним бројевима.
-
А једноставан начин да мислимо о томе јесте да било који број који
-
се може представити као однос... као однос два цела броја
-
јесте рационалан број.
-
Дакле, на пример, сваки цео број је рационалан број.
-
1 може бити приказано као 1/1, или минус 2 кроз минус 2
-
или као 10.000 / 10.000.
-
У сваком од ових случајева, ово су све различити прикази
-
броја 1, као однос два цела броја.
-
И, очигледно је да може бити бесконачно много
-
представљања броја 1 на овај начин.
-
Исти број кроз исти број.
-
Број... негативно 7 би могао бити приказан као минус 7/1,
-
или 7 кроз минус 1, или негативно 14 кроз позитивно 2.
-
И могу да наставим тако и даље и даље и даље.
-
Дакле, минус 7 је дефинитивно рационалан број.
-
Може да буде представљен као однос два цела броја.
-
Али, шта са стварима које нису цео број?
-
На пример, хајде да замислимо... хм, не знам... замислимо 3,75.
-
Како могу да представим то као однос два цела броја?
-
Па, 3,75 можете... можете то преписати
-
као 375 кроз... кроз 100, што је иста ствар као и 750/200.
-
Или, можете рећи: "Хеј, 3,75 је иста ствар као и 3
-
и 3/4." Као 3 и 3/4. Дајте да то напишем овде... 3 и 3/4.
-
Што је исто као и... ово је 15/4.
-
4 пута 3 је 12, плус 3 је 15, па можете записати ово...
-
Ово је исто као 15/4.
-
Или, можемо записати ово као минус 30 кроз минус 8.
-
Само сам помножио бројилац и именилац,
-
овде, са минус 2.
-
Али, да будем јасан, ово је очигледно рационалан број.
-
Даћу вам више примера како
-
ово може бити представљено као однос... као однос два цела броја.
-
Сад, шта је са понављајућим децималним бројем?
-
Па, хајде да узмемо можда најпознатији број
-
са понављајућом децималом.
-
Рецимо да имате 0,333, што се стално понавља, без краја,
-
који можемо обележити стављањем оне цртице на
-
врх тројке.
-
Ово је 0,3 са понављањем.
-
Видели смо... а касније ћемо показати
-
како можете конвертовати било који понављајући децимални у рационални...
-
као однос два цела броја... Ово је очигледно 1/3.
-
Или, можда сте видели нешто као 0,6 са понављањем, што је 2/3.
-
Има много, много, много других примера овога.
-
И видећемо да било који понављајући децимални број, а не само
-
они којима се понавља једна цифра,
-
чак и да имате милион цифара које се понављају,
-
докле год се шаблон понавља
-
опет и опет и опет поново, ви
-
увек можете да га представите као однос... као однос два цела броја.
-
И знам шта вероватно мислите.
-
"Хеј Сал, управо си укључио много тога.
-
Укључио си све целе бројеве.
-
Укључио си све децималне без понављања... односно, укључио си све коначне децималне без понављања.
-
А такође си укључио и понављајуће децималне.
-
Шта је остало?
-
Да ли постоје бројеви који нису рационални?"
-
А ви вероватно погађате да постоје,
-
јер у супротном, људи се не би ни
-
трудили да их назову рационалним.
-
И испоставља се, као што сте могли да претпоставите, да у ствари
-
неки од најпознатијих бројева у целој математици
-
нису рационални.
-
А ми зовемо те бројеве ирационалним... ирационалним... ирационалним бројевима.
-
Ирационални бројеви, ирационални бројеви...
-
И ја сам набројао овде само неколико од
-
најпознатијих примера.
-
Пи... однос између обима... однос између обима
-
и пречника круга је ирационалан број.
-
Никада се не завршава.
-
Иде даље и даље без краја, и никад се не понавља.
-
е, иста ствар... никада се не завршава, и никад се не понавља.
-
Јавља се у рачуну камате на камату.
-
Настао је из комплексне анализе,
-
е се појављује на свим местима.
-
Квадратни корен од 2 је ирационалан број.
-
Фи, златни пресек, ирационални број.
-
Дакле, оно што заиста искаче из
-
природе, већина тога је ирационално.
-
Е сад, можете рећи: "ОК, да ли је ово ирационално?
-
Овде само имамо специјалну врсту бројева.
-
Али, можда је већина бројева рационална,
-
па је Сал само покупио неке специјалне случајеве овде."
-
Но, важна ствар је, они изгледају егзотично,
-
и јесу егзотични на неки начин.
-
Али нису неуобичајени.
-
Заправо, испоставља се да увек постоји
-
један ирационални број између било која два рационална броја.
-
Па, могли би да идемо даље, и даље.
-
Заправо, постоји бесконачан број.
-
Али увек постоји бар један, па вам то даје идеју
-
да се не може заиста рећи да има
-
мање ирационалних бројева него рационалних.
-
А у будућим снимцима, доказаћемо
-
да ако ми дате два рационална броја... рационални 1,
-
рационални 2, рационални 2... биће најмање један ирационални број
-
између њих, што је на неки начин уредно правило,
-
пошто се чини да ирационални бројеви изгледају егзотично.
-
Још један начин да размишљамо о овоме... Узео сам квадратни корен од 2,
-
али можете узети било који несавршен квадрат,
-
завршићете са једним ирационалним бројем.
-
Имате суму једног ирационалног
-
и једног рационалног броја... а видећемо то касније.
-
Доказаћемо то.
-
Сума једног ирационалног и једног рационалног броја
-
биће ирационална.
-
Производ једног ирационалног и рационалног броја
-
ће бити ирационалан.
-
Дакле, има много, много ирационалних бројева
-
око нас.
Khan Academy
