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Vector representation of a surface integral | Multivariable Calculus | Khan Academy

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    저번 동영상에서
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    저번 동영상에서
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    곡면에 단위 법선 벡터를 만드는 법에 대해 배웠습니다
  • 0:06 - 0:09
    좀 더 간단하게 하기 위해
  • 0:09 - 0:11
    다시 원래 면적분으로 돌아와서 사용해 보거나
  • 0:11 - 0:13
    아니면 어떻게 계산할 수 있는지 생각해 봅시다
  • 0:13 - 0:15
    또 이런 유형의 면적분을 나타낼 다른 방법을 생각해 봅시다
  • 0:15 - 0:18
    또 이런 유형의 면적분을 나타낼 다른 방법을 생각해 봅시다
  • 0:18 - 0:21
    만약 법선 벡터들을
  • 0:21 - 0:22
    우리의 단위 법선 벡터로 대체한다면
  • 0:22 - 0:26
    다음과 같은 면적분으로 나타낼 수 있습니다
  • 0:26 - 0:32
    다음과 같은 면적분으로 나타낼 수 있습니다
  • 0:32 - 0:33
    이 식들을 모두 흰색으로 적겠습니다
  • 0:33 - 0:35
    이 식들을 모두 흰색으로 적겠습니다
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    이 식들을 모두 흰색으로 적겠습니다
  • 0:37 - 0:39
    r의 u에 대한 편미분을
  • 0:39 - 0:42
    r의 u에 대한 편미분을
  • 0:42 - 0:46
    같은 크기를 가진 r의 u에 대한 편미분 성분과 외적합니다
  • 0:46 - 0:50
    같은 크기를 가진 r의 u에 대한 편미분 성분과 외적합니다
  • 0:50 - 0:52
    같은 크기를 가진 r의 u에 대한 편미분 성분과 외적합니다
  • 0:52 - 0:54
    이제 ds를 적어봅시다
  • 0:54 - 0:55
    ds를 다른 방식으로 나타내 봅시다
  • 0:55 - 0:57
    ds를 다른 방식으로 나타내 봅시다
  • 0:57 - 0:59
    전에 보았던 면적분 동영상에서
  • 0:59 - 1:01
    다 배웠었죠
  • 1:01 - 1:06
    ds를 r의 u에 대한 편미분과
    r의 v에 대한 편미분의 외적으로 표현하면
  • 1:06 - 1:08
    ds를 r의 u에 대한 편미분과
    r의 v에 대한 편미분의 외적으로 표현하면
  • 1:08 - 1:14
    du dv로 나타낼 수 있습니다
  • 1:14 - 1:17
    du dv로 나타낼 수 있습니다
  • 1:17 - 1:20
    이는 작은 영역을 의미하는 da로 표기할 수 있는데
  • 1:20 - 1:23
    uv 평면 또는 uv 영역에 있습니다
  • 1:23 - 1:26
    그리고 실제로 uv에 대해 적분한 것이므로
  • 1:26 - 1:28
    더 이상 면적분을 쓰지 않습니다
  • 1:28 - 1:31
    이제 uv영역에서 이중적분을 해봅시다
  • 1:31 - 1:33
    uv에 놓인 어떤 영역에 대해 해볼게요
  • 1:33 - 1:38
    R을 uv 평면상의 영역이라 부릅시다
  • 1:38 - 1:40
    R을 uv 평면상의 영역이라 부릅시다
  • 1:40 - 1:42
    지금까지의 과정에서 생략한 부분이 있습니다
  • 1:42 - 1:44
    지금까지의 과정에서 생략한 부분이 있습니다
  • 1:44 - 1:45
    지금까지의 과정에서 생략한 부분이 있습니다
  • 1:45 - 1:47
    두 벡터의 외적의 크기로 식을 나누고
  • 1:47 - 1:49
    두 벡터의 외적의 크기로 식을 나누고
  • 1:49 - 1:52
    다시 두 벡터의 외적의 크기를 곱합니다
  • 1:52 - 1:53
    다시 두 벡터의 외적의 크기를 곱합니다
  • 1:53 - 1:54
    그저 스칼라양일 뿐입니다
  • 1:54 - 1:56
    식을 1로 나누고 다시 1을 곱해줍시다
  • 1:56 - 1:59
    식을 1로 나누고 다시 1을 곱해줍시다
  • 1:59 - 1:59
    식을 1로 나누고 다시 1을 곱해줍시다
  • 1:59 - 2:01
    이 두 항은 서로 상쇄되고
  • 2:01 - 2:06
    적분 식은 uv 영역에서 F 벡터와 이 식의 외적 값을
  • 2:06 - 2:09
    적분 식은 uv 영역에서 F 벡터와 이 식의 외적 값을
  • 2:09 - 2:14
    이중적분하는 것으로 정리할 수 있습니다
  • 2:14 - 2:17
    이중적분하는 것으로 정리할 수 있습니다
  • 2:17 - 2:19
    이 벡터 성분과 외적해야 되네요
  • 2:19 - 2:21
    이 벡터 성분과 외적해야 되네요
  • 2:21 - 2:22
    사실 이 성분은 법선 벡터로
  • 2:22 - 2:24
    벡터의 크기로 항을 나누었으므로
  • 2:24 - 2:26
    단위 법선 벡터를 말합니다
  • 2:26 - 2:29
    즉 F 벡터를 r 벡터와 내적해보면
  • 2:29 - 2:33
    r 벡터는 r 벡터의 u에 대한 편미분과
  • 2:33 - 2:41
    du dv로 표현할 수 있습니다
  • 2:41 - 2:46
    du dv로 표현할 수 있습니다
  • 2:46 - 2:48
    몇 동영상에서는 이 식을 계산하는 방법을 다루고 있습니다
  • 2:48 - 2:50
    몇 동영상에서는 이 식을 계산하는 방법을 다루고 있습니다
  • 2:50 - 2:51
    몇 동영상에서는 이 식을 계산하는 방법을 다루고 있습니다
  • 2:51 - 2:52
    매개변수화를 사용한다면
  • 2:52 - 2:55
    uv에 대한 이중적분으로 모든 것을 얻을 수 있습니다
  • 2:55 - 2:57
    uv에 대한 이중적분으로 모든 것을 얻을 수 있습니다
  • 2:57 - 2:59
    다른 방법으로 풀어봅시다
  • 2:59 - 3:01
    여기에 면적분이 있고
  • 3:01 - 3:03
    다른 방법으로 이 식을 사용하고 있습니다
  • 3:03 - 3:04
    다른 방법으로 이 식을 사용하고 있습니다
  • 3:04 - 3:06
    이 식이 말하는 것이
  • 3:06 - 3:08
    직관적으로 다가오길 바랍니다
  • 3:08 - 3:09
    식을 다시 써봅시다
  • 3:09 - 3:13
    식을 다시 써봅시다
  • 3:13 - 3:14
    식을 다시 써봅시다
  • 3:14 - 3:17
    약간 다른 표기법을 사용할 텐데
  • 3:17 - 3:19
    아마 더 도움이 될 겁니다
  • 3:19 - 3:21
    r 벡터의 u에 대한 편미분을
  • 3:21 - 3:26
    r 벡터의 u에 대한 편미분을
  • 3:26 - 3:28
    벡터 곱을 가지고 있기 때문에
  • 3:28 - 3:30
    u를 v와 헷갈리지 않게 표기할게요
  • 3:30 - 3:31
    u를 v와 헷갈리지 않게 표기할게요
  • 3:31 - 3:33
    외적 계산을 해볼 텐데요
  • 3:33 - 3:36
    r 벡터를 v에 대해 편미분한 값과 외적합니다
  • 3:36 - 3:40
    매개변수화에서 벡터의 아주 작은 변화를 나타냅니다
  • 3:40 - 3:42
    매개변수화에서 벡터의 아주 작은 변화를 나타냅니다
  • 3:42 - 3:44
    아주 작은 v의 변화와
  • 3:44 - 3:48
    아주 작은 u의 변화에 대한 r 벡터의 변화입니다
  • 3:48 - 3:51
    그리고 du dv를 곱해줍니다
  • 3:51 - 3:56
    du dv를 곱해줍니다
  • 3:56 - 4:00
    du dv는 단지 무한히 작은
  • 4:00 - 4:01
    스칼라양일 뿐입니다
  • 4:01 - 4:03
    헷갈린다면
  • 4:03 - 4:05
    이들은 벡터가 아닌
  • 4:05 - 4:06
    스칼라양이라고 생각합시다
  • 4:06 - 4:10
    그리고 당연히
  • 4:10 - 4:12
    벡터 a 외적 벡터 b 연산에 대해
  • 4:12 - 4:18
    스칼라양인 x를 곱해준다면
  • 4:18 - 4:24
    이는 xa × b로 다시 쓸 수 있고
  • 4:24 - 4:29
    a × xb로 쓸 수 있습니다
  • 4:29 - 4:31
    왜냐하면 x는 스칼라양으로
  • 4:31 - 4:32
    숫자이기 때문입니다
  • 4:32 - 4:33
    여기서 똑같은 작업을 해볼게요
  • 4:33 - 4:36
    이 식들을 다시 적어봅시다
  • 4:36 - 4:40
    du 항을 u에 대한 편미분으로 표현하고
  • 4:40 - 4:41
    du 항을 u에 대한 편미분으로 표현하고
  • 4:41 - 4:43
    v에 대해서도 똑같이 해봅시다
  • 4:43 - 4:48
    즉 r 벡터의 u에 대한 편미분에
  • 4:48 - 4:52
    스칼라양인 du를 곱하면
  • 4:52 - 4:54
    하나의 벡터로 생각할 수 있고요
  • 4:54 - 4:56
    이 벡터를
  • 4:56 - 4:59
    r의 v에 대한 편미분 곱하기 dv연산을 한 벡터와
  • 4:59 - 5:07
    외적시킵니다
  • 5:07 - 5:09
    마치 서로 다른 두 개의 표현으로 보이겠지만
  • 5:09 - 5:10
    마치 서로 다른 두 개의 표현으로 보이겠지만
  • 5:10 - 5:12
    부분적으로 나누어 미분하기 위한 것입니다
  • 5:12 - 5:17
    이 벡터 함수는
  • 5:17 - 5:19
    여러 값을 포함한 벡터를
  • 5:19 - 5:21
    하나의 성분에 대해서만 미분하여 얻은
  • 5:21 - 5:22
    함수입니다
  • 5:22 - 5:24
    즉 아주 작은 u의 변화에 대해서
  • 5:24 - 5:26
    주어진 벡터가 얼마나 변했는지 보여줍니다
  • 5:26 - 5:29
    아마 u에 대해서 아주 작은 변화일 것입니다
  • 5:29 - 5:32
    그저 약간 다른 표현방법을 사용하고 있을 뿐이죠
  • 5:32 - 5:33
    약간의 설명하기 모호한 수학이지만
  • 5:33 - 5:35
    왜 이식을 다른 방식으로 표현해야 하는지
  • 5:35 - 5:38
    직관적으로 이해해주길 바랍니다
  • 5:38 - 5:40
    직관적으로 이해해주길 바랍니다
  • 5:40 - 5:42
    이들은 본질적으로 서로 같은 양입니다
  • 5:42 - 5:45
    즉 어떤 것에 의해 이를 나누고 곱한다면
  • 5:45 - 5:46
    이를 서로 상쇄시킬 수 있습니다
  • 5:46 - 5:48
    무언가를 나누고 곱했다면
  • 5:48 - 5:50
    서로 상쇄시킬 수 있습니다
  • 5:50 - 5:52
    이제 r의 미분만 남았네요
  • 5:52 - 5:56
    이제 r의 미분만 남았네요
  • 5:56 - 5:57
    u 성분에 대한 정보를 지웠기 때문에
  • 5:57 - 5:58
    u 성분에 대한 정보를 지웠기 때문에
  • 5:58 - 6:01
    u 성분 방향으로의 r의 미분임을 이렇게 표기합니다
  • 6:01 - 6:03
    이 표현법을 혼동하지 마시길 바랍니다
  • 6:03 - 6:04
    그저 미분입니다
  • 6:04 - 6:06
    r이 얼마만큼 변한 지입니다
  • 6:06 - 6:09
    r 벡터의 u에 대한 편미분이 아닙니다
  • 6:09 - 6:09
    r 벡터의 u에 대한 편미분이 아닙니다
  • 6:09 - 6:11
    r 벡터가 단위 변화당, u의 작은 변화에 따라
  • 6:11 - 6:15
    얼마만큼 변했는지를 나타냅니다
  • 6:15 - 6:19
    이는 그저 방향의 차이를 말합니다
  • 6:19 - 6:23
    u가 변한 것처럼 아주 조금 r이 변한 것입니다
  • 6:23 - 6:24
    r만 변한 것입니다
  • 6:24 - 6:27
    u에 대해 r이 얼마큼 변했는지가 아닙니다
  • 6:27 - 6:29
    그리고 이제 외적해봅시다
  • 6:29 - 6:32
    r 벡터의 v에 대한 편미분과
  • 6:32 - 6:35
    외적해봅시다
  • 6:35 - 6:37
    이를 개념화시켜 봅시다
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    맨 처음으로 돌아가서
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    면적분에 대해 다시 생각해봅시다
  • 6:42 - 6:44
    한 곡면이 있습니다
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    또 다른 곡면이 있고요
  • 6:45 - 6:48
    또 다른 곡면이 있고요
  • 6:48 - 6:51
    곡면에서 u에 아주 작은 변화가 있다면
  • 6:51 - 6:53
    비율은 생각하지 말고
  • 6:53 - 6:56
    r의 변화에 대해서만 생각해 봤을 때
  • 6:56 - 6:58
    방향은 이렇게 되겠지요
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    즉 이렇게 생긴 것은
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    곡면에서 움직인 거리를 나타냅니다
  • 7:05 - 7:08
    도함수가 아님을 기억하세요
  • 7:08 - 7:09
    그저 미분일 뿐입니다
  • 7:09 - 7:12
    곡면에서의 작은 변화입니다
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    곡면에서의 작은 변화입니다
  • 7:14 - 7:17
    그리고 이것은 v를 바꿀 때 생긴 아주 작은 변화입니다
  • 7:17 - 7:19
    즉 곡면에서의 작은 변화입니다
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    이 두 벡터를 서로 외적해본다면
  • 7:21 - 7:23
    직각인 벡터를 얻을 수 있습니다
  • 7:23 - 7:27
    이 곡면의 법선 벡터요
  • 7:27 - 7:34
    곡면의 법선 벡터이고 그 크기는
  • 7:34 - 7:36
    처음 외적 연산을 배울 때 배운 것처럼
  • 7:36 - 7:40
    벡터의 크기는 두 벡터로 의해 생긴 면의 크기와 같습니다
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    벡터의 크기는 두 벡터로 의해 생긴 면의 크기와 같습니다
  • 7:43 - 7:49
    크기는 면적과 같습니다
  • 7:49 - 7:51
    전으로 돌아가
  • 7:51 - 7:52
    단위 법선 벡터 곱하기
  • 7:52 - 7:57
    ds를 한 것을 떠올려 봅시다
  • 7:57 - 8:00
    똑같이 이를 표기해 봅시다
  • 8:00 - 8:02
    이를 마치 ds처럼
  • 8:02 - 8:04
    ds의 벡터 버전으로 생각해 봅시다
  • 8:04 - 8:07
    여기 있는 이 영역에 대한 정보는
  • 8:07 - 8:09
    스칼라양입니다
  • 8:09 - 8:12
    하지만 여기서는 곡면에 대한 법선 방향의 벡터입니다
  • 8:12 - 8:15
    하지만 여기서는 곡면에 대한 법선 방향의 벡터입니다
  • 8:15 - 8:17
    그저 ds와 크기만 같습니다
  • 8:17 - 8:18
    그저 ds와 크기만 같습니다
  • 8:18 - 8:22
    즉 이 식들을 ds라 표기하고
  • 8:22 - 8:25
    가장 중요한 점은 여기선 벡터라는 점이므로
  • 8:25 - 8:28
    s에 벡터 표시를 해줍니다
  • 8:28 - 8:30
    s에 벡터 표시를 해줍니다
  • 8:30 - 8:33
    이제 면적과 관련된 스칼라양의 ds가 아닙니다
  • 8:33 - 8:35
    하지만 이 방법대로 다시 생각해 본다면
  • 8:35 - 8:39
    위의 ds들이 단순한 ds임을 확인할 수 있습니다
  • 8:39 - 8:43
    즉 모든 면적분을
  • 8:43 - 8:45
    이런 식으로 쓰는 것이 아닌
  • 8:45 - 8:50
    적분 또는 면적분으로 다시 적어야 합니다
  • 8:50 - 8:54
    적분 또는 면적분으로 다시 적어야 합니다
  • 8:54 - 8:58
    F 벡터와
  • 8:58 - 9:01
    법선 벡터에 스칼라양의 곱이 아닌
  • 9:01 - 9:03
    곡면의 작은 부분인
  • 9:03 - 9:08
    즉 벡터의 미분 성분인 ds 벡터를 내적한 것을 면적분합니다
  • 9:08 - 9:10
    이 두 식은 서로 다릅니다
  • 9:10 - 9:12
    이는 분명히 말하기를 벡터입니다
  • 9:12 - 9:14
    이는 분명히 말하기를 벡터입니다
  • 9:14 - 9:17
    이 식은 법선 벡터에 스칼라양을 곱한 것이고요
  • 9:17 - 9:18
    이들은 같은 것을 다르게 표현한
  • 9:18 - 9:20
    세 가지 방법들입니다
  • 9:20 - 9:22
    다른 맥락과 다른 관점에서
  • 9:22 - 9:25
    저자에 따라 다를 수 있는 표현 방법들입니다
  • 9:25 - 9:27
    저자에 따라 다를 수 있는 표현 방법들입니다
  • 9:27 - 9:30
    이 식이 가장 많이 쓰이는 표현 방법이고
  • 9:30 - 9:34
    실제로 면적분을 계산하기 위해 이 식을 사용합니다
  • 9:34 - 9:35
    커넥트 번역 봉사단 | 윤진희
Title:
Vector representation of a surface integral | Multivariable Calculus | Khan Academy
Description:

Different ways of representing a flux integral

Watch the next lesson: https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/surface-integrals/stokes_theorem/v/stokes-theorem-intuition?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=MultivariableCalculus

Missed the previous lesson?
https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/surface-integrals/3d_flux/v/constructing-a-unit-normal-vector-to-a-surface?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=MultivariableCalculus

Multivariable Calculus on Khan Academy: Think calculus. Then think algebra II and working with two variables in a single equation. Now generalize and combine these two mathematical concepts, and you begin to see some of what Multivariable calculus entails, only now include multi dimensional thinking. Typical concepts or operations may include: limits and continuity, partial differentiation, multiple integration, scalar functions, and fundamental theorem of calculus in multiple dimensions.

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:35

Korean subtitles

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