Vector representation of a surface integral | Multivariable Calculus | Khan Academy

No último vídeo, nós construímos
um vetor unitário normal à superfície

e agora podemos usar isto na nossa
integral de superfície original

para simplificar um pouco

-- ou pelo menos nos dar uma pista de
como podemos calcular estas coisas --

E também pensar a respeito
de maneiras alternativas

para representarmos este tipo
de integral de superfície.

Se nós substituírmos o resultado do
nosso vetor unitário normal,

nós teremos...

a integral de superfície de

F escalar toda esta equação aqui,

-- vou escrever tudo em branco, para não
nos tomar muito tempo... --

o produto vetorial da parcial
de ru com a parcial de rv

sobre a magnitude da mesma coisa:

o produto vetorial parcial de ru
com a parcial de rv.

Agora, nós já jogamos bastante com dS, e
sabemos que outra maneira de escrever dS

-- e eu espero que eu tenha dado
uma introdução a esta idéia

quando exploramos a idéia por
trás da integral de superfície --

Sabemos que dS por ser
representado pela magnitude

do produto vetorial de ru por rv dudv.

Obviamente du dv pode ser
escrito como dv du.

Você poderia escrever como dA,
uma pequena área no domínio uv.

E já que agora esta integral
é em termos de (u,v)

nós não estamos mais calculando
a integral de uma superfície;

agora estamos calculando a
integral dupla no domínio uv.

Poderíamos dizer uma espécie
de região em (u,v).

Vou escrever R para demonstrar que é uma
região no plano uv, a que nos referimos.

Bom, me parece que tem uma grande
simplificação a ser feita por aqui...

Nós estamos dividindo pela magnitude do
produto vetorial de ru por rv

e depois estamos multiplicando
pela mesma magnitude.

Estas são simples quantidades escalares.

Se você divide e multiplica
pela mesma coisa...

Isto é o mesmo que multiplicar
ou dividir por 1.

Sendo assim, estes dois
elementos se cancelam,

E o que nos resta é

a integral dupla sobre a região R no
plano uv do nosso campo vetorial F,

escalar por este produto
vetorial ru x rv.

Isto nos dará um vetor normal,

e quando dividimos por
sua magnitude,

ele nos dá um vetor normal unitário.

Então nós pegamos o produto
escalar de F com o

produto vetorial de ru com rv, du dv.

-- vamos arrastar a tela um
pouco para a direita --

E nós veremos a seguir que é assim que nós
calculamos este tipo de equação.

Se você tiver uma parametrização, você
pode traduzir isto em termos de (u,v).

Para finalizar, vamos explorar uma forma
alternativa na qual você também verá

a integral de superfície
escrita desta forma.

E isto é alcançado escrevendo esta
parte de uma outra maneira.

Talvez isto lhe de uma noção
do que isto aqui representa.

Eu vou reescrever esta parte da equação

Eu vou usar uma notação
um pouco diferente,

e eu espero que faça mais
sentido desta forma.

Então a parcial de r em relação a u
eu posso escrever como ∂r/∂u,

e nós vamos calcular o produto vetorial

-- vou reescrever o u melhor para
não ser confundido com um v --

e vamos tirar o produto parcial
disto de r em relação à v.

Aqui temos pequenas mudanças na
parametrização e na posição do vetor,

produzindo uma pequena modificação em v.

Uma mínima mudança no vetor,
produzindo uma mínima variação em u.

Agora multiplicamos isto por du dv.

du e dv são quantidades escalares.

du e dv são infinitamente pequenas,

e eles não são vetores, mas
quantidades escalares mínimas.

Desta forma podemos incluí-los,

da mesma forma que, se temos um produto
vetorial de a por b multiplicado por

um escalar você pode reescrevê-lo
como o produto vetorial de xa por b.

ou você poderia dizer que isto é o produto
vetorial de a por xb. (x vezes b)

porque x é um simples valor escalar.

Aqui podemos fazer o mesmo reescrevendo
toda esta parte como ...

-- e eu vou agrupar du,
onde temos a parcial

em relação a u no denominador

e vou fazer o mesmo com os 'v's --

Desta forma temos:

a parcial de r em relação a u
multiplicado por du

-- isto nos dá um vetor --

e calculamos o produto vetorial deste
termo pela parcial de v em relação a v dv.

Isto pode parecer diferente pelo
ponto de vista notacional,

mas isto vem da necessidade de, quando
calculando derivadas parciais, dizer:

-- oh, esta função vetorial está definida
e é uma função de variáveis múltiplas.

E este termo está tirando a derivada com
respeito a apenas uma delas. --

Este termo representa o quanto o vetor
varia dada uma pequena variação em u.

Mas esta também é uma variação
infinitamente pequena em um aqui;

Só estamos usando uma notação
ligeiramente diferente.

Na verdade isto é um pouco de sopa
de notações matemáticas,

eu espero que você consiga captar a
idéia do porque a forma pode variar.

Estas são essencialmente
a mesma quantidade.

Dividindo e multiplicando algo pela mesma
quantidade, isto se cancela.

Aqui está sendo dividido e multiplicado
pelo mesmo, podemos cancelar

E tudo que nos sobra então é
a diferencial de r,

e já que nós perdemos a informação que
está na direção u aqui,

vou escrever a diferencial
de r na direção u.

Não se confunda com a notação.

Isto é apenas a diferencial,
representando quando r mudou.

Esta não é a derivada parcial
de r em relação a u.

Este termo representa quanto r mudou
por mundança unitária em u.

Esta é uma diferencial que representa,

quando u varia, isto é a pequena
variação em que ocorre em r.

Isto não representa uma mudança em r em
relação a uma mudança em u.

E nós vamos calcular o produto vetorial
disto com a parcial de r na direção v.

Agora, vamos conceptualizar isto:

estamos voltando à visão original do que
se trata uma integral de superfície.

Se nós estivessemos em uma superfície
-- eu vou desenhar uma superfície aqui --

Se desenhamos uma superfície, para uma
pequena variação em u

-- não estou falando da taxa de variação;
estou apenas me referindo

a alguma variação em r. --

Se você está indo naquela direção,

se este termo se parece com este vetor,

isto é na verdade uma espécie de distância
percorrida na superfície,

lembre-se que isto não é a derivada,
isto é a diferencial.

Isto é uma pequena variação ao longo da
superfície.

E isto é uma pequena variação
quando você varia v,

então também este termo varia
ao longo da superfície.

Quando você calcula o produto vetorial
destas duas coisas, você obtém

um vetor que é ortogonal, normal à esta
superfície e sua magnitude

-- e nós vimos isto quando aprendemos a
a respeito de produto vetorial --

sua magnitude é igual a área definida
por estes dois vetores.

Sua magnitude é igual à sua área.

Você pode pensar a respeito disto como um
vetor unitário normal vezes dS.

Isto é então uma espécie de dS, já que
isto é uma versão vetorial de dS.

Aqui em cima o que está representado é
simplesmente uma área.

dS aqui é um valor escalar.

Mas agora temos um vetor que aponta
ortogonal à superfície através da normal.

Porém sua magnitude é a mesma
que aquele dS lá em cima.

Então podemos chamar isto de dS.

A principal diferença agora é que
isto é um vetor agora.

Por isto chamaremos isto de dS com um
pequeno vetor sobre ele,

para ficar claro que estamos nos referindo
a isto aqui,

este não é o dS escalar que se preocupa
simplesmente com a área.

Quando você olha por esta perspectiva

-- nós acabamos de ver que esta equação
é simplificada para dS --

então toda nossa integral de superfície
pode ser reescrita.

No lugar de escrevermos desta forma,
podemos escrever:

a integral de superfície

-- estes símbolos de integral
são muito chiques --

a integral de superfície
de F multiplicando,

no lugar de dizermos o vetor normal
vezes a quantidade escalar,

ou seja, aquela pequena
área de superfície,

podemos chamá-lo de vetor diferencial dS.

E o que eu quero deixar claro é
que isto são duas coisas diferentes:

Isto é um vetor,

isto é essencialmente o
que ele representa

e este aqui é o escalar multiplicado
pelo vetor normal.

Então estas são 3 diferente formas
de representar a mesma coisa.

E em diferentes contextos,
você verá coisas diferentes,

dependendo do que o autor
esteja tentando comunicar.

Este aqui é o que usaremos
mais frequentemente,

quando tentamos calcular
estas integrais de superfície.

[ Legendado por: José Irigon ]
[Revisado por: Luiz Marangoni]