Calculating i raised to arbitrary exponents | Precalculus | Khan Academy
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0:01 - 0:05Wir haben gesehen, dass, wenn wir
i mit immer höheren Exponenten haben, -
0:05 - 0:12es die Werte 1, i, -1, -i annimmt,
und sich dann mit 1, i, -1 und -i wiederholt. -
0:12 - 0:16Jetzt möchte ich sehen, ob wir ein paar
schwierigere Aufgaben lösen können. -
0:16 - 0:17Du begegnest ihnen vielleicht,
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0:17 - 0:22und es macht Spaß, festzustellen, dass du
diese Eigenschaft der Exponenten von i, -
0:22 - 0:23diese verschiedenen Werte
zu wiederholen, nutzen kannst. -
0:23 - 0:29Du kannst dieses Wissen dazu benutzen,
beliebig hohe Exponenten von i auszurechnen. -
0:29 - 0:35Finden wir also einfach mal heraus, was i^100 ist.
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0:35 - 0:39Zuerst bemerken wir, dass 100 ein Vielfaches von 4 ist.
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0:39 - 0:47Also ist es dasselbe, wie wenn
wir i^4 ⋅ 25 schreiben würden. -
0:47 - 0:55Und das ist genau dasselbe wie (i⁴)^25.
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0:55 - 0:57Wenn du etwas potenzierst,
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0:57 - 0:59und das dann wieder potenziert wird,
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0:59 - 1:02ist es dasselbe, wie wenn du
beide Exponenten multiplizierst. -
1:02 - 1:07Und wir wissen, dass i⁴ einfach nur 1 ist.
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1:07 - 1:10i⁴ = 1, also ist das 1.
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1:10 - 1:16Das ist also gleich 1^25, was einfach nur 1 ergibt.
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1:16 - 1:20Wir nutzen diese wiederholende
Eigenschaft von i beim Potenzieren, -
1:20 - 1:23um einen sehr hohen Exponenten von i herauszufinden.
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1:23 - 1:28Kommen wir zu einem merkwürdigeren Beispiel.
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1:28 - 1:31Was ergibt i^501 ?
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1:31 - 1:35In diesem Fall mit 501 haben wir kein Vielfaches von 4.
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1:35 - 1:36So einfach ist es also nicht.
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1:36 - 1:39Was wir aber tun können, ist das als
Produkt zweier Zahlen zu schreiben, -
1:39 - 1:44eine Zahl, die i mit einem Exponenten hat,
der ein Vielfaches von 4 ist, -
1:44 - 1:46und eine, bei der das nicht der Fall ist.
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1:46 - 1:47Wir schreiben es also um.
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1:47 - 1:50500 ist ein Vielfaches von 4.
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1:50 - 1:57Also schreiben wir es als i^500 ⋅ i^1.
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1:57 - 1:58Wir haben dieselbe Basis.
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1:58 - 2:00Wenn du multiplizierst,
kannst du Exponenten addieren. -
2:00 - 2:03Das ergibt also i^501.
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2:03 - 2:12Und wir wissen, dass i^500 dasselbe ist wie (i⁴)^125.
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2:12 - 2:154 ⋅ 125 = 500.
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2:15 - 2:17Das ist also dieser Teil hier: i^500.
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2:17 - 2:22Das ist dasselbe wie (i⁴)^125.
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2:22 - 2:26Und das alles mal i^1.
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2:26 - 2:28i⁴ = 1.
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2:28 - 2:321^125 ergibt einfach nur 1.
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2:32 - 2:33Das alles ergibt 1.
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2:33 - 2:37Also bleibt nur noch i^1 übrig.
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2:37 - 2:39Das ergibt also i.
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2:39 - 2:41Es sieht also sehr kompliziert aus,
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2:41 - 2:43so als müsstest du den ganzen Tag daran arbeiten,
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2:43 - 2:45aber du kannst diese Wiederholung
ausnutzen, um zu verstehen, -
2:45 - 2:48dass i^500 einfach nur 1 ergibt.
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2:48 - 2:52Also ergibt i^501 einfach nur i damit multipliziert.
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2:52 - 3:01i mit jedem Exponenten, der ein Vielfaches von 4 ist,
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3:01 - 3:06wir beschränken k mal auf nicht-negative Werte: k ≥ 0.
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3:06 - 3:10Wenn wir i mit einem Exponenten haben,
der ein Vielfaches von 4 ist, -
3:10 - 3:19erhalten wir 1, da es dasselbe ist wie (i⁴)^k.
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3:19 - 3:24Und das ist dasselbe wie 1^k, was eindeutig 1 ergibt.
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3:24 - 3:26Und wenn wir irgendetwas anderes haben,
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3:26 - 3:29z.B. i^4k + 1 oder i^4k + 2,
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3:29 - 3:32dann können wir einfach diese Technik hier anwenden.
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3:32 - 3:34Machen wir ein paar weitere Aufgaben,
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3:34 - 3:35damit du wirklich verstehst,
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3:35 - 3:38dass du die verrücktesten Sachen lösen kannst.
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3:38 - 3:45Nehmen wir i^7321.
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3:45 - 3:48Wir müssen nur herausfinden,
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3:48 - 3:53dass es ein Vielfaches von 4 plus etwas anderes ist.
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3:53 - 3:56Du kannst dir die Zahl also einfach anschauen,
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3:56 - 3:59und sehen, dass 7320 durch 4 teilbar ist.
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3:59 - 4:00Du kannst es schriftlich bestätigen.
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4:00 - 4:02Und dann bleibt 1 übrig.
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4:02 - 4:10Das ist also i^7320 ⋅ i^1.
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4:10 - 4:13Das hier ist ein Vielfaches von 4,
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4:13 - 4:17und ich weiß das, weil jede
1000 ein Vielfaches von 4 ist, -
4:17 - 4:21jede 100 ein Vielfaches von 4 ist,
und 20 ein Vielfaches von 4 ist. -
4:21 - 4:24Das hier vereinfacht sich also zu 1.
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4:24 - 4:29Ups, das hier drüben ist natürlich i^1.
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4:29 - 4:337321 = 7320 + 1.
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4:33 - 4:37Dieser Teil hier wird zu 1 vereinfacht,
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4:37 - 4:41und es bleibt einfach nur i^1 übrig bzw. i.
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4:41 - 4:43Kommen wir zu einem weiteren Beispiel.
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4:43 - 4:56Ich versuche mal etwas Interessantes: i^99.
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4:56 - 5:02Wir überlegen wieder: Was ist das höchste
Vielfache von 4, das weniger als 99 ist? -
5:02 - 5:05Es ist 96.
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5:05 - 5:11Das ist also dasselbe wie i^96 ⋅ i^3 richtig?
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5:11 - 5:14Sie haben dieselbe Basis, wenn du sie multiplizierst,
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5:14 - 5:17würdest du auf i^99 kommen.
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5:17 - 5:20i^96 ist, da 96 ein Vielfaches von 4 ist,
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5:20 - 5:24dasselbe wie (i^4)^16.
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5:24 - 5:27Das ist also einfach 1^16, also 1.
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5:27 - 5:30Und dann bleibt nur noch i³ übrig.
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5:30 - 5:37Und dann erinnerst du dich daran, dass i³ = -i ist.
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5:37 - 5:39Falls du es vergessen hast, kannst du sagen,
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5:39 - 5:45dass es dasselbe wie i² ⋅ i ist.
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5:45 - 5:49i² ist als -1 definiert.
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5:49 - 5:55Es bleibt also -1 ⋅ i = -i übrig.
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5:55 - 5:59Machen wir noch ein Beispiel.
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5:59 - 6:02Nehmen wir i^38.
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6:02 - 6:07Das ergibt i^36 ⋅ i².
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6:07 - 6:12Ich nehme i^36, da es das größte
Vielfache von 4 ist, das in 38 reinpasst. -
6:12 - 6:142 bleiben übrig.
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6:14 - 6:16Das vereinfacht sich zu 1,
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6:16 - 6:21i² bleibt übrig, was -1 ergibt.
- Title:
- Calculating i raised to arbitrary exponents | Precalculus | Khan Academy
- Description:
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Calculating i raised to arbitrarily high exponents
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Fran Ontanaya edited German subtitles for Calculating i raised to arbitrary exponents | Precalculus | Khan Academy | |
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