< Return to Video

Calculating i raised to arbitrary exponents | Precalculus | Khan Academy

  • 0:01 - 0:04
    我們看到 隨著i的次數越來越高
  • 0:01 - 0:15
    本字幕由網易公開課提供，更多課程請到http//open.163.com
  • 0:04 - 0:10
    結果會在1 i -1 -i間循環 回到1
  • 0:10 - 0:12
    i -1 然後-i
  • 0:12 - 0:17
    我希望通過這些 做更複雜的問題
  • 0:17 - 0:20
    這其實非常有趣
  • 0:17 - 0:25
    網易公開課官方微博 http://t.163.com/163open
  • 0:20 - 0:24
    了解到i的冪次循環規律
  • 0:24 - 0:29
    就能處理i的任意次方
  • 0:29 - 0:31
    我們試試
  • 0:30 - 0:45
    oCourse字幕組翻譯：只做公開課的字幕組 http://ocourse.org
  • 0:31 - 0:35
    看看i的100次方是多少
  • 0:35 - 0:39
    注意到 100是4的倍數
  • 0:39 - 0:48
    它等於i的4?25次方
  • 0:48 - 0:53
    根據冪運算性質 這就是i的4次方
  • 0:53 - 0:56
    的25次方
  • 0:56 - 0:59
    一個數的次方的次方
  • 0:59 - 1:02
    也就是兩個次方數的乘積次方
  • 1:02 - 1:10
    i的4次方很簡單 它等於1 這是1
  • 1:10 - 1:12
    所以這是1的25次方
  • 1:12 - 1:16
    也就是1
  • 1:16 - 1:19
    這裡相當於使用了i冪次的循環
  • 1:19 - 1:23
    求解i的任意高次冪
  • 1:23 - 1:31
    下面來點更奇怪的 i的501次方
  • 1:31 - 1:35
    注意 501不是4的倍數
  • 1:35 - 1:37
    無法輕松解決
  • 1:37 - 1:39
    不過這可以寫成兩個數的乘積
  • 1:39 - 1:46
    一個是i的4的倍數次方 另一個不是
  • 1:46 - 1:50
    所以可以這樣 500是4的倍數
  • 1:50 - 1:57
    所以可以寫成i的500次方乘i的1次方
  • 1:57 - 2:00
    底相同 所以指數可以相加
  • 2:00 - 2:04
    這也就是i的501次方
  • 2:04 - 2:15
    i的500次方是i的4次方的某次方 4×125=500
  • 2:15 - 2:21
    所以i的500次方也就是i的4次方的125次方
  • 2:21 - 2:27
    這再乘以i的1次方
  • 2:27 - 2:33
    i的4次方是1 1的125次方是1 這整個是1
  • 2:33 - 2:39
    剩下i的1次方 也就是i
  • 2:39 - 2:43
    初看起來有些令人生畏 貌似一天都做不出來
  • 2:43 - 2:47
    其實通過循環規律 i的500次方也就是1
  • 2:47 - 2:52
    所以i的501次方是1乘以i
  • 2:52 - 2:59
    總結一下 i的任意4的倍數次方
  • 2:59 - 3:06
    現在限制k爲非負數 大於等於0
  • 3:06 - 3:10
    i的任意4的倍數次方 像這種形式
  • 3:10 - 3:14
    它等於1
  • 3:14 - 3:19
    因爲這等價於i的4次方的k次方
  • 3:19 - 3:22
    而這等於1的k次方
  • 3:22 - 3:24
    顯然等於1
  • 3:24 - 3:29
    如果碰到i的4k+1或4k+2次方
  • 3:29 - 3:32
    我們可以使用這個技巧
  • 3:32 - 3:35
    再看幾個問題
  • 3:35 - 3:38
    以此可以進行非常瘋狂的運算
  • 3:38 - 3:46
    i的7321次方
  • 3:46 - 3:53
    需要將7321變成4的倍數加多少的形式
  • 3:53 - 4:00
    7320是4的倍數 這可以驗證
  • 4:00 - 4:02
    剩下1
  • 4:02 - 4:07
    所以這是i的7320次方
  • 4:07 - 4:14
    乘以i的1次方 7320是4的倍數
  • 4:14 - 4:17
    因爲整千都是4的倍數
  • 4:17 - 4:21
    任意整百也是4的倍數 而20也是4的倍數
  • 4:21 - 4:25
    所以這個化簡爲1
  • 4:25 - 4:29
    抱歉 這是i的1次方 不是i次方
  • 4:29 - 4:33
    7321=7320+1
  • 4:33 - 4:37
    這部分化簡爲1
  • 4:37 - 4:41
    剩下i的1次方 也就是i
  • 4:41 - 4:43
    再來一題
  • 4:43 - 4:56
    來點有趣的 i的99次方
  • 4:56 - 5:02
    4的倍數中 比99小的最大數是多少
  • 5:02 - 5:05
    是96
  • 5:05 - 5:11
    這就是i的96次方乘以i的3次方
  • 5:11 - 5:17
    同底相乘 冪次相加 有i的99次方
  • 5:17 - 5:20
    96是4的倍數
  • 5:20 - 5:25
    這是i的4次方的24次方 即1的24次方
  • 5:25 - 5:27
    也就是1
  • 5:27 - 5:29
    剩下i的3次方
  • 5:29 - 5:37
    記得吧 i的3次方是-i
  • 5:37 - 5:38
    忘記的話
  • 5:38 - 5:45
    可以將其看成i平方乘以i
  • 5:45 - 5:49
    i平方根據定義是-1
  • 5:49 - 5:55
    -1?i=-i
  • 5:55 - 5:59
    再做一個吧 很好玩的
  • 5:59 - 6:02
    i的38次方
  • 6:02 - 6:07
    這等於i的36次方乘以i的平方
  • 6:07 - 6:12
    36是38以下最大的4的倍數
  • 6:12 - 6:14
    剩下2
  • 6:14 - 6:19
    這個化簡爲1 剩下i平方 也就是-1
Title:
Calculating i raised to arbitrary exponents | Precalculus | Khan Academy
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:21

Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles

Incomplete

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.