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Writing Riemann sum limit as definite integral

  • 0:01 - 0:02
    리만합이 있고
  • 0:02 - 0:05
    n이 무한대에 가까워질 때의
    극한을 구하고자 합니다
  • 0:05 - 0:06
    이번 동영상의 목표는
  • 0:06 - 0:08
    이것을 정적분으로 다시
    쓸 수 있는지 알아보는 것입니다
  • 0:08 - 0:10
    이것을 정적분으로 다시
    쓸 수 있는지 알아보는 것입니다
  • 0:10 - 0:11
    동영상을 멈추고
  • 0:11 - 0:15
    스스로 풀어보는 걸
    추천합니다
  • 0:15 - 0:16
    정적분이 어떻게 리만합과
    연관되어 있는지 기억해 봅시다
  • 0:16 - 0:20
    정적분이 어떻게 리만합과
    연관되어 있는지 기억해 봅시다
  • 0:20 - 0:27
    a에서 b까지
    f(x) dx의 정적분이 있다면
  • 0:27 - 0:34
    a에서 b까지
    f(x) dx의 정적분이 있다면
  • 0:34 - 0:36
    다른 동영상에서
  • 0:36 - 0:39
    n이 무한대에
    가까워질 때
  • 0:39 - 0:42
    n이 무한대에
    가까워질 때
  • 0:42 - 0:48
    i가 1에서 n까지의
    합의 극한이란 것을 보았습니다
  • 0:48 - 0:50
    결국 직사각형의 넓이를
  • 0:50 - 0:52
    여러 개 더하는 것입니다
  • 0:52 - 0:55
    각 직사각형의 너비는
    Δx이고
  • 0:55 - 0:58
    각 직사각형의 너비는
    Δx이고
  • 0:58 - 1:01
    각 직사각형의 너비는
    Δx이고
  • 1:01 - 1:03
    각 직사각형의 너비는
    Δx이고
  • 1:03 - 1:04
    높이는
  • 1:04 - 1:06
    Δx 사이에 있는
    어떤 함숫값으로 계산합니다
  • 1:06 - 1:08
    Δx 사이에 있는
    어떤 함숫값으로 계산합니다
  • 1:08 - 1:10
    오른쪽 리만합을 계산한다면
  • 1:10 - 1:13
    그 직사각형
    혹은 부분 구간의
  • 1:13 - 1:14
    오른쪽 끝을 사용합니다
  • 1:14 - 1:18
    하한 a에서 시작해서
  • 1:18 - 1:24
    인덱스에 나와있는 것만큼
    Δx를 더합니다
  • 1:24 - 1:25
    i가 1이라면
  • 1:25 - 1:27
    Δx를 하나 더합니다
  • 1:27 - 1:29
    그러면 첫 직사각형의
    오른쪽에 해당합니다
  • 1:29 - 1:31
    i가 2라면
    Δx를 두 개 더합니다
  • 1:31 - 1:35
    Δx에 인덱스를 곱합니다
  • 1:35 - 1:37
    Δx에 인덱스를 곱합니다
  • 1:37 - 1:39
    이전부터 보았던
    일반적인 형태는 이렇습니다
  • 1:39 - 1:41
    이전부터 보았던
    일반적인 형태는 이렇습니다
  • 1:41 - 1:42
    한 가지 가능성으로
  • 1:42 - 1:44
    규칙을 찾아볼 수 있습니다
  • 1:44 - 1:47
    함수가 자연로그 함수 같은데
  • 1:47 - 1:49
    이게 f(x)에 해당합니다
  • 1:49 - 1:52
    자연로그 함수이죠
  • 1:52 - 1:53
    써 봅시다
  • 1:53 - 1:59
    f(x) = ln(x)입니다
  • 1:59 - 2:00
    무엇이 더 보이나요?
  • 2:00 - 2:04
    a는 2에 해당해 보입니다
  • 2:04 - 2:06
    a = 2입니다
  • 2:06 - 2:08
    Δx는 무엇일까요?
  • 2:08 - 2:11
    여기를 보면
  • 2:11 - 2:12
    여기에 곱해진 것이
  • 2:12 - 2:15
    n으로 나누기만 하고
  • 2:15 - 2:17
    i로 곱하지 않습니다
  • 2:17 - 2:20
    이게 Δx 같아 보입니다
  • 2:20 - 2:23
    이건 Δx · i 같아 보입니다
  • 2:23 - 2:28
    Δx = 5/n입니다
  • 2:28 - 2:31
    지금 알 수 있는 것은
    무엇인가요?
  • 2:31 - 2:33
    여기 위의 이것은
    무엇과 같냐면
  • 2:33 - 2:36
    여기 위의 이것은
    무엇과 같냐면
  • 2:36 - 2:38
    정적분으로
  • 2:38 - 2:41
    하한은 2임을 알고
  • 2:41 - 2:43
    상한은 아직
    구하지 않았습니다
  • 2:43 - 2:45
    아직 b를 구하지 않았죠
  • 2:45 - 2:50
    하지만 함수
    ln(x)이고
  • 2:50 - 2:54
    dx도 적어주겠습니다
  • 2:54 - 2:55
    이 정적분을
    끝마치려면
  • 2:55 - 2:56
    이 정적분을
    끝마치려면
  • 2:56 - 2:59
    상한을 쓸 수 있어야 합니다
  • 2:59 - 3:01
    상한을 구하는 방법은
  • 3:01 - 3:03
    Δx를 보는 것입니다
  • 3:03 - 3:06
    여기 리만합에서
    Δx를 구하는 방법을 보면
  • 3:06 - 3:08
    여기 리만합에서
    Δx를 구하는 방법을 보면
  • 3:08 - 3:12
    Δx가
  • 3:12 - 3:15
    한계의 차이를 구간의 개수
    n으로 나눈 것이라 할 수 있습니다
  • 3:15 - 3:18
    한계의 차이를 구간의 개수
    n으로 나눈 것이라 할 수 있습니다
  • 3:18 - 3:22
    따라서 b - a / n입니다
  • 3:22 - 3:29
    따라서 b - a / n입니다
  • 3:29 - 3:31
    여기서 규칙을 찾을 수 있습니다
  • 3:31 - 3:34
    이 Δx가 b - a / n이면
  • 3:34 - 3:36
    적어 볼게요
  • 3:36 - 3:39
    이건 b에서 a인
    2를 뺀 것이며
  • 3:39 - 3:43
    이건 b에서 a인
    2를 뺀 것이며
  • 3:43 - 3:46
    이것을 n으로 나눕니다
  • 3:46 - 3:51
    따라서 b - 2는 5입니다
  • 3:51 - 3:53
    따라서 b - 2는 5입니다
  • 3:53 - 3:56
    그러면 b는 7입니다
  • 3:56 - 3:58
    그러면 b는 7입니다
  • 3:58 - 3:59
    되었네요
  • 3:59 - 4:04
    리만합의 극한을
  • 4:04 - 4:06
    리만합의 극한을
  • 4:06 - 4:09
    정적분으로 다시 썼습니다
  • 4:09 - 4:10
    이것이 왜 말이 되는지
    강조하고 싶습니다
  • 4:10 - 4:11
    이것이 왜 말이 되는지
    강조하고 싶습니다
  • 4:11 - 4:13
    이걸 그리면
  • 4:13 - 4:15
    이럴 것입니다
  • 4:15 - 4:19
    자연로그를 손으로
    그려볼게요
  • 4:19 - 4:27
    이럴 것입니다
  • 4:27 - 4:30
    그리고 여기는 1이고요
  • 4:30 - 4:33
    여기가 2라고 하고
  • 4:33 - 4:36
    2부터 7까지입니다
  • 4:36 - 4:39
    이 그림은 정확하지 않습니다
  • 4:39 - 4:41
    그러면 이 정적분은
  • 4:41 - 4:47
    2에서 7까지
    이 곡선 아래의 넓이입니다
  • 4:47 - 4:49
    이 리만합은 n이 무한대에
    가까워지지 않을 때의
  • 4:49 - 4:52
    근삿값이라고 볼 수 있고
  • 4:52 - 4:53
    지금 말하는 것은
  • 4:53 - 4:55
    i = 1일 때
  • 4:55 - 4:59
    첫 번째는
    너비 5/n에
  • 4:59 - 5:01
    이게 말하는 것은
  • 5:01 - 5:03
    2와 7의 차이의
    거리 5를
  • 5:03 - 5:04
    2와 7의 차이의
    거리 5를
  • 5:04 - 5:06
    n개의 직사각형을
    나눈다고 하는 것입니다
  • 5:06 - 5:12
    그래서 처음 이것은
    5/n의 너비를 가지고
  • 5:12 - 5:14
    높이는 무엇일까요?
  • 5:14 - 5:16
    오른쪽 리만합이니까
  • 5:16 - 5:20
    여기의 함숫값을 사용합니다
  • 5:20 - 5:22
    2 + 5/n이라 씁니다
  • 5:22 - 5:25
    여기 이 값은
  • 5:25 - 5:27
    ln(2 + 5/n)입니다
  • 5:27 - 5:32
    ln(2 + 5/n)입니다
  • 5:32 - 5:34
    이건 첫 직사각형이므로
  • 5:34 - 5:37
    1을 곱합니다
  • 5:37 - 5:39
    계속 하면 됩니다
  • 5:39 - 5:40
    여기 이건
  • 5:40 - 5:43
    너비는 5/n으로
    똑같습니다
  • 5:43 - 5:45
    높이는 어떤가요?
  • 5:45 - 5:48
    높이는 바로 여기로
  • 5:48 - 5:50
    ln(2 + 5/n · 2)입니다
  • 5:50 - 5:55
    ln(2 + 5/n · 2)입니다
  • 5:55 - 5:58
    이게 i = 2인 경우이고
  • 5:58 - 6:01
    이건 i = 1인 경우입니다
  • 6:01 - 6:03
    이게 이해가
    되었으면 좋겠습니다
  • 6:03 - 6:05
    첫 직사각형의 넓이는
  • 6:05 - 6:07
    ln(2 + 5/n · 1)에
  • 6:07 - 6:09
    ln(2 + 5/n · 1)에
  • 6:09 - 6:12
    5/n를 곱한 것이고
  • 6:12 - 6:14
    두 번째는
  • 6:14 - 6:19
    ln(2 + 5/n · 2)에
  • 6:19 - 6:22
    5/n를 곱한 것입니다
  • 6:22 - 6:23
    따라서 이것은
    직사각형의 넓이들의 합이고
  • 6:23 - 6:25
    따라서 이것은
    직사각형의 넓이들의 합이고
  • 6:25 - 6:28
    n이 무한대에 가까워질 때의
    극한을 구하면
  • 6:28 - 6:30
    더 나은 근사값을
    정확히 참값까지 구할 수 있습니다
  • 6:30 - 6:33
    더 나은 근사값을
    정확히 참값까지 구할 수 있습니다
Title:
Writing Riemann sum limit as definite integral
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:35

Korean subtitles

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