Area between curves with multiple boundaries

在这个视频里，我要算出这个

我正在涂上黄色阴影的区域的面积。

具有挑战性的是，在整个区域，

我有同样的下边界的函数，

下面的边界是

y = x 平方/4 - 1，

但是我有不同的上边界，

我们的处理方法就是

是要把这个面积分成两部分，

或者说，把这个区域分成两个区域，左边的区域

和右边的区域，

对于这第一个区域--我涂成

更多黄色--对这第一个区域，

它的整个的 x 的区间，

看起来 x 是在 0 到 1 之间，

y 等于 -- 当 x 等于 1 ，这个函数也等于 1，

当 x 等于 1 ，这个函数也等于 1，

所以，这个点就是 （1，1）

这是他们的交点，

所以，对这一部分，这里的这个分区域，

y = 根下 x 就是整个上面的边界，

这样我们就可以--我们可以

建立不同的--我们能分别处理，计算出

这个区域的的面积。

从 x=1 到 x=2 ,

y = 2 - x 是上边界的函数，

我们来做一下。

我们首先来考虑第一个区域，

它就是从

x=0 到 x=1 的定积分

我们的上边界的函数是 根下 x ，x 的平方根，

我们要从它减去我们的下边界函数，

根下 x 减去 x平方/4 减去1，

当然我们有我们的 dx 。

这里，它表示黄色的区域面积。

你可以想象，这一部分，

这两个函数的不同，

就是这个高度，

我用不同的颜色来做，

然后，你把它乘上 dx，

你得到一个宽度为 dx 的小矩形，

你对所有的 x 进行计算，

对不同的 x ，你得到不同的矩形，

然后，你把它们加在一起，

你求当 x 的变化趋于 0 的极限，

你就得到非常非常薄的矩形，

你有无限多的这样的矩形，

这就是我们对定积分的定义，

或者说就是黎曼定义，

这是左边区域的面积，

用完全相同的逻辑，

我们可以算出右边区域的面积，

这个右边的区域，--然后我们

只需把两个面积相加，

右边的区域，我们要从 x = 0 ，

到 x --对不起，是 x=1 到 x=2，

上面的函数 是 2 - x，

我们要从它减去下面的函数，

减去 x平方/4 -1，

现在我们只需求它的值。

这里，我们先对它进行简化，

这是 根下x - x平方/4 +1 dx

从 0 到 1 的定积分，

我把它们用一个颜色来写，

加上 2 - x

减 x 平方/4，

然后 减去负值就是正 3，--不对，正 1，

我们把它加上这个 2，

这个 2 就变成 3，

我是说，2 减 -1 就是 3，

现在，我们只需要求反导数，

求它在 1 和 0 的值。

那么，它的反导数就是，

这是 x 的 1/2 次方，

把它 加 1，

把指数加 1，你就得到 x 的 3/2次方，

然后乘以

新的指数的倒数，

减去-- x平方/4 的反导数

是 x 的 3 次方，除以 3，再除以 4，就是除以 12 ，

加 x 。

它就是 1 的反导数，

我们要计算它在 1 和 0 的值。

这里，反导数就是

3 x - x平方/2

- x 3次方/12，

再做一次，求它的值，--不应说再做一次--

我们要求 它在 2 和 1 的值，

在这里，你要求所有这些在 1 的值，

你得到 2/3 -1/12 + 1，

然后，你从中减去它们在 0 的值，

但它们都是 0，你啥也没得到。

这就是黄色部分简化的结果。