Linear Equations in Slope Intercept Form

이번 강의에서는
연습문제를 통해

기울기와 y절편을 이용하여
나타낸 식을 공부해 봅시다

다시 말하지만
직선의 방정식은

y = mx + b 형태로
되어 있습니다

m은 기울기이고
b는 y절편을 의미합니다

그럼 이제 문제를
풀어 볼까요?

문제를 보면
직선의 기울기가 -5네요

따라서
m = -5입니다

그리고 y절편은 6이므로

b = 6입니다

이 문제는 쉽네요

이 직선의 방정식은
y = -5x + 6입니다

어렵지 않은 문제입니다
다음 문제도 풀어 봅시다

이 선은 기울기가 -1이고

(4/5, 0)을 지납니다

기울기가 -1이므로

m = -1이라는 것을
알 수 있습니다

하지만 y절편은
아직 알 수 없습니다

이 직선은
기울기가 -1인

y = -1x + b 형태이며
b는 y절편을 의미합니다

이제 이 좌표가 직선 위에
있다는 사실을 이용해서

b를 구해 봅시다

직선이 이 좌표를 지나므로

x = 4/5와 y = 0을
대입했을 때

이 방정식을
만족시켜야 합니다

각 값을 대입해 봅시다

x = 4/5일 때
y = 0입니다

따라서
0 = -1 · (4/5) + b입니다

조금 내릴게요

이를 정리하면
0 = -4/5 + b입니다

양변에 4/5를
더합니다

좌변에 4/5를 더하고

우변에도 마찬가지로
4/5를 더합니다

-4/5를 없애기 위해
4/5를 더해주는 거예요

그럼 b = 4/5가 됩니다

두 번째 직선의 방정식도
구했습니다

-1 · x = -x이므로
y = -x + b이고

b = 4/5이므로
y = -x + 4/5가 됩니다

다음 문제를 봅시다

이 직선은 (2, 6)과
(5, 0)을 지납니다

기울기와 y절편이
주어지지 않았지만

좌표를 이용해서
이를 구할 수 있습니다

먼저 기울기를
구해 봅시다

기울기 m은
(y값의 변화량) / (x값의 변화량)입니다

여기서 y값의 변화량은
무엇일까요?

(2, 6)에서 시작하면

y값의 변화량은
6 - 0이 되겠죠

구분하기 쉽도록
색을 다르게 해 볼게요

이것이
y값의 변화량입니다

x값의 변화량은
2 - 5입니다

이렇게 이 좌표의
y값을 먼저 썼을 때

이 좌표의 x값도
먼저 써 줘야 합니다

그러면 이 좌표는 (2, 6)이고
이 좌표는 (5, 0)이라는 것을

한눈에 볼 수 있기 때문이죠

분모에서 2와 5의 순서를 바꾸면
답이 다르게 나올 거예요

계산해 볼까요?

6 - 0 = 6이고
2 - 5 = -3입니다

-6/3이므로
간단히 하면 -2와 같습니다

기울기를 구했으므로
직선의 방정식을 써 봅시다

y = -2x + b

이제 아까와
같은 방법으로

좌표들 중 하나를 이용해서
b를 구해 봅시다

두 점이 모두
직선 위에 있기 때문에

두 점 모두
이 방정식을 만족합니다

0이 있으면
계산하기 쉬우니까

(5, 0)을 이용해 봅시다

(5, 0)을 대입해 봅시다
x = 5일 때, y = 0이죠

대입해 보면
0 = (-2) · 5 + b가 됩니다

간단히 하면
0 = -10 + b이 되고

이 방정식 양변에
10을 더해주면

우변의 10은 소거되어
b = 10이 됩니다

따라서 b는 10입니다

직선의 방정식을
구했습니다

y = -2x +10

끝났습니다
한 문제 더 풀어 봅시다

이 직선은 (3, 5)와
(-3, 0)을 지납니다

먼저 기울기를
구해 봅시다

기울기(Slope)는
m이라고 합시다

기울기는 x값의 변화에 대한
y값의 변화를 나타냅니다

즉 y값의 변화량을
x값의 변화량으로

나눈 것과 같죠

이것은 모두
같은 의미예요

(y값의 변화량) / (x값의 변화량)을
구해 봅시다

이번에는
(-3, 0)부터 시작합시다

어느 점에서 시작하든
상관 없어요

x값의 변화량은
0 - 5입니다

(-3, 0)을 시작점으로 두고
(3, 5)를 끝점으로 두었어요

이를 쓸 때 분자에는

x값이 아닌
y값을 써줘야 합니다

좌표의 두 번째에 있는 수의
차를 써야 하죠

분모는 -3 - 3입니다

이것은 좌표 (-3, 0)이고
이것은 좌표 (3, 5)입니다

계산해 봅시다

0 - 5 = -5이고
-3 - 3 = -6이 됩니다

음수끼리 소거되어서
답은 5/6가 됩니다

그러면 방정식은
y = 5/6x + b가 됩니다

이제 좌표들 중 하나를 이용해
b를 구해 봅시다

(-3, 0)을 대입해 볼까요?

0 = 5/6(-3) + b

x에는 -3을 대입하고
y에는 0을 대입했습니다

이 점은 직선 위에 있으며
직선의 방정식을 만족시킵니다

b의 값을 구해 봅시다

6과 -3은 약분되니

-3은 -1이 되고
6은 2가 됩니다

따라서 방정식은
0 = -5/2 + b가 됩니다

양변에 5/2를 더합니다

보기 쉽게 써 볼게요

따라서 식은
5/2 = b가 됩니다

b는 5/2입니다

따라서 직선의 방정식은
y = 5/6x + 5/2입니다

끝났습니다
다른 문제를 풀어 봅시다

그래프를 보고
직선의 방정식을 구해 봅시다

기울기는
(y값의 변화량)/(x값의 변화량)입니다

x축 방향으로
1만큼 움직이면

x값의 변화량은 1입니다

이때 y값의 변화량은
무엇일까요?

y는 정확히
4만큼 올라갑니다

x값의 변화량이 1일 때
y값의 변화량은 4입니다

그래서
(y값의 변화량) / (x값의 변화량)은

4/1이므로
기울기는 4입니다

y절편은 무엇일까요?
그래프를 봅시다

y축과 만나는 점은
-6이죠

정확히는
(0,-6)에서 만납니다

따라서 b는 -6입니다

이제 직선의 방정식을
구해 볼까요?

기울기는 4이고
y절편은 -6이므로

y = 4x + (-6)
즉, y = 4x - 6입니다

이것이 이 직선의
방정식입니다

한 문제 더 풀어 봅시다

f(1.5) = -3과 f(-1) = 2는
무슨 의미일까요?

이 표현은 어떤 함수에서
x가 1.5일 때

그 함수의 값 f(x)가
-3이라는 것을 의미합니다

그러므로 좌표 (1.5, -3)은
이 직선 위에 있습니다

이것은 x가 -1일 때
f(x)는 2라는 것을 의미하므로

좌표 (-1, 2) 역시
직선 상에 있습니다

이렇게 표기한 이유는

함수 표현에 익숙해지도록
하기 위해서입니다

함수식에 1.5를 대입하면
-3이 나옵니다

좌표의 y값은
f(x)와 같으므로

x가 1.5일 때
y값은 -3이 됩니다

이제 직선의 기울기를
구해 봅시다

기울기는
(y값의 변화량) / (x값의 변화량)입니다

(-1, 2)를 시작점으로
잡겠습니다

y값의 변화량은
2 - (-3)이고

x값의 변화량은
-1 - 1.5입니다

같은 좌표에서
가져온 수는

같은 색으로
표시했습니다

만약 노란색 좌표를
먼저 썼다면

x와 y 둘 다 노란색 좌표를
먼저 써야 합니다

다시 돌아와서
2 - (-3)은

2 + 3과 같으므로
5가 됩니다

-1 - 1.5 = -2.5입니다

5를 2.5로 나누면 2가 되므로
기울기는 -2가 됩니다

어떤 좌표에서 시작하든지
기울기는 같습니다

이번에는 (1.5, -3)을
시작점으로 잡고 계산해 봅시다

(-3 - 2) / (1.5 - (-1))을
계산하면

같은 답이 나와야 합니다
계산해 볼까요?

-3 - 2 = -5
1.5 - (-1) = 1.5 + 1 = 2.5

-5/2.5이므로
결국 -2가 나옵니다

어떤 좌표를 먼저 하든

순서를 잘 맞춰서 계산하면
기울기는 똑같이 나옵니다

시작점의 x좌표, y좌표와
끝점의 x좌표, y좌표의 순서를

잘 지켜줘야 합니다

어쨌든 기울기가 -2라는
사실을 구했습니다

이 직선의 방정식은
y = -2x + b

y절편을 구해 봅시다

두 좌표 중 소수가 없는
좌표를 이용해 봅시다

좌표 (-1, 2)를 보면
x = -1일 때, y = 2이므로

2 = -2(-1) + b입니다

정리하면 2 = 2 + b입니다

양변에서 2를 빼 봅시다

양변에서 2를 빼면

좌변은 0이 되고
우변은 b가 남습니다

따라서 b는 0입니다

이 직선의 방정식은
y = -2x입니다

이 방정식을 함수식으로 쓰면
f(x) = -2x가 되겠죠

y = f(x)이기 때문입니다

이것이 진짜
직선의 방정식입니다

바로 f(x) = -2x라고
쓸 수 있죠

이 좌표들은 각각
x와 f(x)의 값을 나타냅니다

그러므로 기울기를
Δf(x)/Δx로 쓸 수도 있습니다

표기 방법은 다르지만
나타내는 것은 같습니다