< Return to Video

Completing the square

  • 0:01 - 0:04
    欢迎收看 这一节讲配方
  • 0:01 - 0:15
    本字幕由网易公开课提供，更多课程请到http//open.163.com
  • 0:04 - 0:04
    配方
  • 0:04 - 0:07
    是解二次方程的一种方法
  • 0:07 - 0:10
    我先写出二次方程
  • 0:10 - 0:12
    然后说明如何配方
  • 0:12 - 0:13
    然后再看其它例子
  • 0:13 - 0:17
    以及为什么这叫作配方
  • 0:17 - 0:33
    方程是x2+16x-57=0
  • 0:17 - 0:25
    网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open
  • 0:30 - 0:45
    oCourse字幕组翻译：只做公开课的字幕组 http://ocourse.org
  • 0:33 - 0:36
    根据已学的知识
  • 0:36 - 0:39
    我们可以使用因式分解
  • 0:39 - 0:42
    看哪两个数加起来等于16
  • 0:42 - 0:44
    且乘起来是-57
  • 0:44 - 0:45
    稍微想想
  • 0:45 - 0:47
    我们得到的并不一定是整数
  • 0:47 - 0:50
    我们得到的并不一定是整数
  • 0:50 - 0:52
    这一例虽然是整数
  • 0:52 - 0:54
    但情况并非总是如此
  • 0:54 - 0:58
    所以 因式分解只能用到
  • 0:58 - 1:01
    确定能得到整数表达式的情况
  • 1:01 - 1:04
    (x+整数)(x+整数)这种形式
  • 1:04 - 1:07
    (x+整数)(x+整数)这种形式
  • 1:07 - 1:09
    另一个方法是二次公式
  • 1:09 - 1:11
    我们最终会看到
  • 1:11 - 1:16
    二次公式其实是配方的快捷方式
  • 1:16 - 1:19
    它其实是通过配方得到的
  • 1:19 - 1:23
    那么配方是什么 怎么做呢
  • 1:23 - 1:27
    首先看看 如何展开平方式
  • 1:27 - 1:31
    首先看看 如何展开平方式
  • 1:31 - 1:33
    做在下面这里
  • 1:33 - 1:40
    (x+a)2是多少
  • 1:40 - 1:52
    它等于x2+2ax+a2
  • 1:52 - 1:54
    任何这种形式的
  • 1:54 - 1:58
    都可以写成(x+某数)2
  • 1:58 - 2:01
    如果能把这个方程
  • 2:01 - 2:06
    写成(x+a)2=某数的形式
  • 2:06 - 2:08
    就能直接开方求解
  • 2:08 - 2:12
    配方所要做的也正是这些 我举例说明下
  • 2:12 - 2:15
    配方所要做的也正是这些 我举例说明下
  • 2:15 - 2:17
    例子更容易理解
  • 2:17 - 2:19
    这个框起来 是需要记住的
  • 2:19 - 2:22
    配方其实也就是这个
  • 2:22 - 2:26
    让方程一侧得到这种形式
  • 2:26 - 2:28
    另一侧只剩一个数
  • 2:28 - 2:32
    然后两侧同时取平方根
  • 2:32 - 2:33
    首先
  • 2:33 - 2:35
    确认这不是一个完全平方式
  • 2:35 - 2:40
    若是 将x项系数看作是2a
  • 2:40 - 2:44
    a就是8 a2应该是64
  • 2:44 - 2:51
    常数项显然不是64 不是完全平方式
  • 2:51 - 2:52
    然后 我们可以
  • 2:52 - 2:57
    在两侧同时加上57 以去掉57
  • 2:57 - 3:08
    有x2+16x=57
  • 3:08 - 3:11
    这是在两侧同时加上57
  • 3:11 - 3:16
    然后 左侧需要加上什么
  • 3:16 - 3:25
    才能得到(x+a)2这样的式子呢
  • 3:25 - 3:29
    按照下面的规律 有x2
  • 3:29 - 3:38
    +2ax 这个看成2ax
  • 3:38 - 3:41
    这是2ax
  • 3:41 - 3:44
    然后需要加上a2
  • 3:44 - 3:48
    加a2 这个形式就有了
  • 3:48 - 3:51
    但方程一侧进行运算 另一侧
  • 3:51 - 3:52
    需要进行相同运算
  • 3:52 - 3:57
    左侧加a2 右侧也要加a2
  • 3:57 - 4:02
    这就是完全平方式的形式了
  • 4:02 - 4:04
    但还需要知道a
  • 4:04 - 4:07
    a是多少呢
  • 4:07 - 4:11
    如果这个是2ax
  • 4:11 - 4:15
    2a显然是16 所以a为8
  • 4:15 - 4:19
    这只用观察法就能得出
  • 4:19 - 4:21
    写出来的话
  • 4:21 - 4:26
    也就是2ax=16x
  • 4:26 - 4:31
    然后两侧同时除以2x a=16x/2x
  • 4:31 - 4:38
    假设x不为0 则a=8
  • 4:38 - 4:42
    a=8 表达式可以写成
  • 4:42 - 4:50
    随便换种颜色 x2+16x+64
  • 4:50 - 4:54
    a是8 a2也就是64
  • 4:54 - 5:01
    等于57+64
  • 5:01 - 5:05
    我的说明有些冗长
  • 5:05 - 5:09
    其实这里到这里 也就是两侧同时加57
  • 5:09 - 5:11
    57移到右侧
  • 5:11 - 5:14
    然后同时加64
  • 5:14 - 5:17
    加64是为了
  • 5:17 - 5:21
    让左侧得到这个完全平方形式
  • 5:21 - 5:23
    得到完全平方形式后
  • 5:23 - 5:26
    重写出来是
  • 5:26 - 5:29
    (x+a)2 这个形式
  • 5:29 - 5:36
    而a是8 所以是(x+8)2
  • 5:36 - 5:43
    等于57+64 也就是121
  • 5:43 - 5:47
    这就非常好做了
  • 5:47 - 5:49
    仍然是二次方程
  • 5:49 - 5:50
    仍然是二次方程
  • 5:50 - 5:53
    却不需要公式法或因式分解了
  • 5:53 - 5:55
    却不需要公式法或因式分解了
  • 5:55 - 5:57
    可以直接两侧同时开方
  • 5:57 - 6:01
    同时开方得到什么
  • 6:01 - 6:04
    再随便换个颜色
  • 6:04 - 6:09
    开方得到x+8=±根号121 正负号别忘了
  • 6:09 - 6:13
    开方得到x+8=±根号121 正负号别忘了
  • 6:13 - 6:16
    根号121等于多少 11
  • 6:16 - 6:21
    到这里来 不管这个 这个只是草稿
  • 6:21 - 6:27
    于是有x+8=±11
  • 6:27 - 6:34
    两侧同时-8 有x=-8±11
  • 6:34 - 6:42
    x可以是-8+11 也就是3
  • 6:42 - 6:48
    确保我没做错
  • 6:48 - 6:53
    x=-8±11
  • 6:53 - 6:59
    对的 x可以是3
  • 6:59 - 7:10
    或者-8-11 x也可以是-19
  • 7:10 - 7:13
    看看说不说得通
  • 7:13 - 7:19
    理论上 这个可以分解为
  • 7:19 - 7:24
    (x-3)(x+19)=0
  • 7:24 - 7:26
    因为这两个是方程的解
  • 7:26 - 7:28
    这很正确
  • 7:28 - 7:31
    -3?19=-57
  • 7:31 - 7:37
    而x项系数-3+19=16
  • 7:37 - 7:39
    这个题其实可以直接用分解的
  • 7:39 - 7:41
    不过这并不明显
  • 7:41 - 7:47
    因为19是个很奇怪的数 还不如用配方
  • 7:47 - 7:48
    为什么叫配方呢
  • 7:48 - 7:50
    因为需要得到这种形式 加64
  • 7:50 - 7:53
    来配完整这个式子
  • 7:53 - 7:56
    让左侧得到完全平方式
  • 7:56 - 7:57
    再看个例子
  • 7:57 - 8:00
    我将减少说明 快速完成
  • 8:00 - 8:02
    这样可能看起来会更简单
  • 8:05 - 8:07
    不过这个问题更麻烦一些
  • 8:07 - 8:20
    6x2-7x-3=0
  • 8:20 - 8:23
    当然 还是可以用因式分解 但我不喜欢
  • 8:23 - 8:25
    x2项有系数时使用因式分解
  • 8:25 - 8:28
    两侧同时除以6我也不喜欢
  • 8:28 - 8:29
    两侧同时除以6我也不喜欢
  • 8:29 - 8:31
    这样到处都是分数
  • 8:31 - 8:34
    通过观察法分解不好使
  • 8:34 - 8:35
    可以用二次公式
  • 8:35 - 8:38
    之后的视频中我会讲到
  • 8:38 - 8:41
    其实我已经算是讲到了
  • 8:41 - 8:43
    二次公式本质就是配方
  • 8:43 - 8:46
    它只是一种快捷方式 将配方公式化
  • 8:46 - 8:48
    还是配方吧
  • 8:48 - 8:51
    这才是这一节的主题
  • 8:51 - 8:55
    首先 两侧同时加上3
  • 8:55 - 8:56
    首先 两侧同时加上3
  • 8:56 - 9:07
    得到6x2-7x=3
  • 9:07 - 9:09
    有些老师喜欢不管这个-3
  • 9:09 - 9:11
    直接配方
  • 9:11 - 9:13
    我觉得先把3挪开
  • 9:13 - 9:16
    算起来更清楚
  • 9:16 - 9:20
    这个6我也不喜欢 它会把事情搞复杂
  • 9:20 - 9:26
    我希望得到(x+a)2的形式 不希望x前
  • 9:26 - 9:27
    还有系数
  • 9:27 - 9:32
    所以 两侧同时除以6
  • 9:32 - 9:42
    得到x2-7/6x=3/6=1/2
  • 9:42 - 9:43
    这可以一步就位
  • 9:43 - 9:46
    直接把6一起除过去
  • 9:46 - 9:49
    下面开始配方
  • 9:49 - 9:52
    x2-7/6x+某数等于1/2 留点空间
  • 9:52 - 10:00
    x2-7/6x+某数等于1/2 留点空间
  • 10:00 - 10:02
    左侧需要加上某数
  • 10:02 - 10:05
    得到完全平方式
  • 10:05 - 10:07
    怎么做呢
  • 10:07 - 10:11
    观察系数
  • 10:11 - 10:15
    这里不是7/6 而是-7/6
  • 10:15 - 10:19
    取它的1/2 然后平方
  • 10:19 - 10:20
    算算
  • 10:20 - 10:29
    (x+a)2=x2+2ax+a2
  • 10:29 - 10:31
    这是需要记住的
  • 10:31 - 10:34
    也是所有配方的基础
  • 10:34 - 10:35
    我刚说
  • 10:35 - 10:39
    这一项是x项系数1/2的平方
  • 10:39 - 10:40
    为什么
  • 10:40 - 10:44
    因为将两个式子的样式进行匹配
  • 10:44 - 10:49
    我们知道 a就是1/2的x项系数
  • 10:49 - 10:54
    -7/6的1/2是-7/12
  • 10:54 - 10:59
    写出来的话 这里a=-7/12
  • 10:59 - 11:02
    也就是x项系数乘以1/2
  • 11:02 - 11:06
    两侧需要加多少 才能完成配方
  • 11:06 - 11:13
    需要加(-7/12)2 也就是49/144
  • 11:13 - 11:17
    两侧同时加上49/144
  • 11:17 - 11:22
    两侧同时加上49/144
  • 11:22 - 11:26
    左侧如何化简呢
  • 11:26 - 11:28
    我们知道这是完全平方式
  • 11:28 - 11:32
    我们知道a是-7/12
  • 11:32 - 11:35
    所以方程左侧是
  • 11:35 - 11:43
    (x+a)2 而a是负数
  • 11:43 - 11:48
    (x+a)2 而a是负数
  • 11:48 - 11:50
    将其乘开必然得到这个
  • 11:50 - 11:53
    将其乘开必然得到这个
  • 11:53 - 11:58
    右边需要通分 公分母是144
  • 11:58 - 12:06
    72+49=121 所以是121/144
  • 12:06 - 12:13
    所以(x-7/12)2=121/144
  • 12:13 - 12:14
    然后
  • 12:14 - 12:18
    两侧同时开平方
  • 12:18 - 12:22
    找点空位置 换绿色
  • 12:22 - 12:25
    把这里框出来
  • 12:25 - 12:34
    我们有x-7/12=±根号(121/144)
  • 12:34 - 12:38
    也就是±11/12
  • 12:38 - 12:42
    根号121是11 根号144是12
  • 12:42 - 12:44
    然后两侧同时加上7/12
  • 12:44 - 12:53
    有x=7/12±11/12
  • 12:53 - 12:59
    也就是(7±11)/12
  • 12:59 - 13:04
    有两种可能 7+11=18 18/12
  • 13:04 - 13:08
    x=18/12 即3/2
  • 13:08 - 13:13
    或7-11 有-4/12
  • 13:13 - 13:18
    即x=-1/3 搞定 这就是配方
  • 13:18 - 13:20
    但愿大家能够理解
  • 13:20 - 13:23
    证明二次公式就需要配方
  • 13:23 - 13:26
    只是要配方的不再是具体数例
  • 13:26 - 13:30
    而是抽象方程Ax2+Bx+C=0
  • 13:30 - 13:35
    对Ax2+Bx+C=0进行配方
  • 13:35 - 13:38
    最后得到二次公式
  • 13:38 - 13:40
    之前视频我好像讲过
  • 13:40 - 13:42
    如果我没讲过 之后会讲
  • 13:42 - 13:45
    好了 下次再会
Title:
Completing the square
Description:

Khan Academy's video on completing the square.
more » « less
Video Language:
English
Duration:
13:45
lvfengxing added a translation

Chinese, Yue subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.