积分中值定理

我们有很多视频讲过中值定理了，

现在我打算再回顾一下，

然后看看它与微积分中的
中值定理有什么关系，

然后再联系到
通过定积分表示函数的平均值，

中值定理说的是，

如果函数 f 在一个闭区间中连续，

区间包含端点，从 a 到 b，

而且它可导，

导数定义在开区间 a 到 b，

它不要求在端点可导，

知道在开区间内可导就行，

那么，我们就能知道

一定存在某个值，某个数 c，

c 在区间的两个端点之间，

也就是 a < c < b，c 在区间内，那么，

好戏来了，
后面是关键，

函数在这个点的导数，

也就是该点处切线的斜率，

等于函数在整个区间的平均变化率，

也就是两个端点之间连线的斜率。

两个端点连线的斜率就是

在 y 方向上的变化，

也就是函数值的变化，

f(b)-f(a)，
除以，b-a，

第一次我们在微积分课上

见到中值定理时，我们讲的挺深，

但现在我来画个图就好，

我觉得画图还是方便实用，

微积分课上学的中值定理，

就是在告诉我们，
看，如果这是 a 这是 b，

然后这是函数 f，曲里拐弯，

这就是 f(a)，这是 f(b)，

这就是函数值的变化，

这里是 f(b)

减去 f(a)，
就是函数值的变化，

除以 x 方向的变化，

所以这是 y 上的变化除以 x 上的变化，

得到的是斜率，

这就等于这条线的斜率，
这条线的斜率，

这是两点之间的连线，
它的斜率，就是这个量。

而中值定理告诉我们，

在 a b 中一定有某个 c，
拥有同样的斜率。

注意是至少有一个 c，

所以有可能在这，斜率完全相同，

存在一个 c 点，

这一点的切线斜率与它相等，

有可能这里还有个 c，

有可能有多个 c，这是另一个 c。

至少存在一个 c，在 c 点处的切线斜率

与区间平均斜率相同，

同样，我们假设 f 连续并可导。

看着这个式子，是不是觉得有点似曾相识？

它和我们遇到过的，

你可能会记起来，

有点像函数平均值的定义。

回忆一下，一个函数的平均值，

我们说一个函数的平均值等于

1 除以 b 减 a，注意是 1/(b-a)，

这里也有 b - a 在分母上，

乘以定积分，从 a 到 b，f(x)dx，

这就有意思了，
这是一个导数，

而这是一个积分，
但他们之间也许有联系。

也许我们能把这两个东西联系起来，

你也许会灵机一动，

我们可以把这个分子
想办法变成这种形式。

我鼓励你暂停视频，自己试试，

我再给你一个大提示，

这里的 f(x)，如果把它换成 f'(x) 会如何呢？

我建议你试试。

好，我来推导它，

它等于……

这个东西就等于

从 a 到 b 的定积分，f'(x)dx，

考虑一下。

f'(x) 的反导数，

就等于 f(x)，

然后计算它在 b 的值，f(b)，

然后再减去它在 a 的值 f(a)，

这两个东西完全一样。

然后，当然还要再除以 b 减 a，

这就有意思了，

一种理解方式为：
一定存在一个 c，

它等于函数平均——

一定存在一个 c，

函数在 c 点的导数，

就等于导函数在此区间的的平均值，

另一种理解方式为：

如果我们令 g(x) 等于 f'(x)，

跟这里非常类似，

这就是 g(c) 了，

记住，f'(c) 就是 g(c)，

等于 1 除以 b-a，
所以，存在一个 c，

使得 g(c) 等于 1/(b-a)，

乘以定积分 a 到 b，g(x)dx，

f'(x) 就是 g(x)。

所以这种理解方式

实际上就是中值定理的另一个形式，

称作积分中值定理。

我写缩写，

积分中值定理，

实际上就是，

正式表述就是，
已知函数 g，

我往下一点点，
已知函数 g，

g(x) 在一个闭区间上连续，

闭区间是 a 到 b，
其中一定存在一个 c，

使得 g(c) 的值等于，等于什么？

这是函数的平均值，

存在一个 c，使得 g(c) 等于

函数在区间内的平均值，

这是函数平均值的定义。

这是另一种理解方式，

用积分来理解中值定理，

两种方式联系非常紧密，

它使用了不同的符号，

但实际上，它的概念完全等同于

你在微积分课上学过的中值定理，

但现在，由于不同的符号，

我猜你可能形成不同的解释，

在微积分中，我们这样解释，