积分中值定理

可汗带你理顺积分中值定理和微分中值定理的关系。

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我们有很多视频讲过中值定理了，

现在我打算再回顾一下，

然后看看在微积分课上学的中值定理

与通过定积分表示函数的平均值，有什么联系。

中值定理说的是，

如果函数 f 在一个闭区间中连续，

区间包含端点，从 a 到 b，

而且它可导，

导数定义在开区间 a 到 b，

它不要求在端点可导，

在开区间内可导就行，

那么，我们就能知道

一定存在某个值，某个数 c，

c 在区间的两个端点之间，

也就是 a < c < b，c 在区间内，那么，

好戏来了，
后面是关键，

函数在这个点的导数，

也就是该点处切线的斜率，

等于函数在整个区间的平均变化率，

也就是两个端点之间连线的斜率。

两个端点连线的斜率就是

在 y 方向上的变化，

也就是函数值的变化，

f(b)-f(a)，
除以，b-a，

第一次我们在微积分课上

见到中值定理时，我们讲的挺深，

但现在我来画个图就好，

我觉得画图还是方便实用，

微积分课上学的中值定理，

就是在告诉我们，
看，如果这是 a 这是 b，

然后这是函数 f，曲里拐弯，

这就是 f(a)，这是 f(b)，

而这个值，就是函数值的变化，

这里是 f(b)

减去 f(a)，
就是函数值的变化，

除以 x 方向的变化，

所以这是 y 上的变化除以 x 上的变化，

得到的是斜率，

这就等于这条线的斜率，
这条线的斜率，

这是两点之间的连线，
它的斜率，就是这个量。

而中值定理告诉我们，

在 a b 中一定有某个 c，
拥有同样的斜率。

注意是至少有一个 c，

所以有可能在这，斜率完全相同，

存在一个 c 点，

这一点的切线斜率与它相等，

有可能这里还有个 c，

有可能有多个 c，这是另一个 c。

至少存在一个 c，在 c 点处的切线斜率

与区间平均斜率相同，

同样，我们假设 f 连续并可导。

看着这个式子，是不是觉得有点似曾相识？

它和我们遇到过的，

你可能会记起来，

有点像函数平均值的定义。

回忆一下，一个函数的平均值，

我们说一个函数的平均值等于

1 除以 b 减 a，注意是 1/(b-a)，

这里也有 b - a 在分母上，

乘以定积分，从 a 到 b，f(x)dx，

这就有意思了，
这是一个导数，

而这是一个积分，
但他们之间也许有联系。

也许我们能把这两个东西联系起来，

你也许会灵机一动，

我们可以把这个分子
想办法变成这种形式。

我鼓励你暂停视频，自己试试，

我再给你一个大提示，

这里的 f(x)，如果把它换成 f'(x) 会如何呢？

我建议你试试。

好，我来推导它，

它等于……

这个东西就等于

从 a 到 b 的定积分，f'(x)dx，

考虑一下。

f'(x) 的反导数，

就等于 f(x)，

然后计算它在 b 的值，f(b)，

然后再减去它在 a 的值 f(a)，

这两个东西完全一样。

然后，当然还要再除以 b 减 a，

这就有意思了，

一种理解方式为：
一定存在一个 c，

它等于函数平均——

一定存在一个 c，

函数在 c 点的导数，

就等于导函数在此区间的的平均值，

另一种理解方式为：

如果我们令 g(x) 等于 f'(x)，

跟这里非常类似，

这就是 g(c) 了，

记住，f'(c) 就是 g(c)，

等于 1 除以 b-a，
所以，存在一个 c，

使得 g(c) 等于 1/(b-a)，

乘以定积分 a 到 b，g(x)dx，

f'(x) 就是 g(x)。

所以这种理解方式

实际上就是中值定理的另一个形式，

称作积分中值定理。

我写缩写，

积分中值定理，

实际上就是，

正式表述就是，
已知函数 g，

我往下一点点，
已知函数 g，

g(x) 在一个闭区间上连续，

闭区间是 a 到 b，
其中一定存在一个 c，

使得 g(c) 的值等于，等于什么？

这是函数的平均值，

存在一个 c，使得 g(c) 等于

函数在区间内的平均值，

这就是函数平均值的定义。

这是另一种理解方式，

用积分来理解中值定理，

两种方式联系非常紧密，

它使用了不同的符号，

但实际上，它的概念完全等同于

你在微积分课上学过的中值定理，

但现在，由于不同的符号，

我猜你可能形成不同的理解，

在微积分中，我们这样理解，

我们说这里存在一个点，

函数曲线上这个点的切线斜率，

就等于函数平均变化率，

这就是微分形式的思路，

微分嘛，都是斜率、切线之类的东西，

而现在是积分形式，

我们就会考虑函数平均值，

函数平均值，

存在一点 c，其中 g(c)——

存在一点 c，

此点的函数值就等于函数平均值，

这就是另一种思路，
我来画 g(x)，

这是 x，这是 y 轴，

这就是 y 等于 g(x) 的图像，

也就是 f'(x)，但现在不这么写，

是为了与函数平均值保持一致，

区间是从 a 到 b，

我们已经看到如何计算平均值，

平均值大概就在这里，

这是 g 平均，函数的平均值，

而积分中值定理告诉我们，

存在一个 c，函数在 c 点的值就等于平均值，

其中，c 在区间内，

c 在区间内。