Inverse Trig Functions: Arccos

Már készítettem videót az arkusz szinuszról és az arkusz tangensről,

szóval, hogy meglegyen a trió, így az arkusz koszinuszról is csinálok egyet.

A többi inverz trigonometrikus függvényhez hasonlóan fogjuk az arkusz koszinuszt is értelmezni.

Tehát, ha azt mondanám, hogy az „arkusz koszinusz x egyenlő Θ (thétával)”,

akkor az ugyanaz lenne, mintha az mondanám, hogy az „inverz koszinusz x egyenlő Θ (thétával)”.

Ez csak két különböző alakja ugyanannak a kifejezésnek.

Abban a pillanatban, hogy látok egy arkusz vagy inverz trigonometrikus függvényt,

a fejemben rögtön átrendezem a kifejezést, és úgy olvasom, mintha valójában azt mondaná,

hogy „ha valamilyen théta szög koszinuszát venném, akkor x-et kapnék”.

Ez a logika a kifejezés mindkét alakjára igaz.

Szóval, ha úgy szólna a kérdés, hogy „Mi az inverz koszinusz x?”,

akkor rögtön arra gondolnék, hogy milyen szögnek kellene a koszinuszát vennem ahhoz, hogy x-et kapjak.

Miután ezt megbeszéltük, próbáljuk is ki egy példán keresztül!

Vegyük az arccos – két c-vel kell írnom – szóval vegyük az arccos(-1/2)-et!

Rögtön tudom, hogy ez valamilyen szöggel lesz egyenlő, és hogy ezt úgy is mondhatnám,

hogy ennek a keresendő szögnek a koszinusza egyenlő lesz -1/2-del.

Ezzel a módszerrel nekem jóval könnyebb átlátni.

Rajzoljuk fel az egységsugarú kört, hátha az segít a munkánkban!

Remélhetőleg tudok egyenesebb vonalat is rajzolni.

Talán ha bekapcsolnám a vonalzót, úgy könnyebb lenne egyeneseket rajzolni.

Nem, így túl nehéz, mindegy.

Szóval ez itt az y tengely, ez pedig az x tengely.

Nem a legszebben rajzolt tengelyek, de a célnak megfelelnek.

Aztán berajzolom az egységsugarú kört. Kicsit ellipszisnek néz ki, de azért érthető.

Tudjuk, hogy egy szög koszinuszát definíció szerint az x koordináta adja meg az egységsugarú körben.

Szóval a keresett szögünk esetében az x érték -1/2 lesz.

Úgyhogy megkeressük a -1/2-et itt,

és a szög, amit keresünk – théta – az az a szög,

aminek a szára a -1/2 x koordinátájú pontban metszi az egységkört.

Ez az a szög, amit keresünk. Ez a théta, amit meg kell határoznunk.

Hogy is kezdhetnénk neki? Tudjuk, hogy ez itt -1/2.

Vizsgáljuk meg ezeket a szögeket itt!

Szeretem ezt úgy csinálni, hogy megpróbálom meghatározni ezt a szöget itt,

és ha ez megvan, akkor kivonom 180 fokból,

és akkor megkapom ezt a világoskék szöget itt, ami a megoldásunk lesz.

Hadd rajzoljam le ezt a háromszöget egy kicsit nagyobb méretben!

Körülbelül így fog kinézni, és tudjuk, hogy ez a szakasz itt 1/2 hosszúságú.

Tehát ennek a hossza itt alul 1/2, ennek a hossza itt fent pedig 1.

Remélhetőleg már észrevetted, hogy ez egy 30-60-90 fokos háromszög,

így könnyen kiszámolható a harmadik oldal, ami √(3)/2.

Ehhez csak a Pitagorasz-tételre van szükségünk,

le is vezetem most. Ezt az oldalt hívjuk a-nak!

Így azt kapjuk, hogy a² + (1/2)², ami 1/4, az egyenlő 1², ami 1.

Azt kapod, hogy a² = 3/4,

így pedig az a = √(3)/2.

Rögtön látod, hogy ez egy 30-60-90 fokos háromszög,

az ilyen háromszögekben ha az átfogó hossza 1, akkor a befogók 1/2 és √(3)/2 nagyságúak.

És azt is tudjuk, hogy a √(3)/2 oldallal szembeni szög 60°-os.

Ez a 60°, ez a 90° – a derékszög –, ez pedig a 30°-os fent.

De minket ez a szög érdekel, ez itt,

most számoltuk ki, hogy ez 60°-os. Akkor mekkora lehet ez a nagyobb szög, amit kerestünk?

Melyik szögnek a kiegészítő szöge a 60°? Melyik szög fogja 180°-ra kiegészíteni a 60°-ot?

Tehát arkusz koszinusz, avagy inverz koszinusz – ezt le is írom inkább –

arccos(-1/2) = 120°.

Ide 180°-ot írtam, de az az egészre vonatkozik, amit keresünk, az 180° mínusz 60°,

úgyhogy ez itt 120°, mert 120°+60°=180°.

Vagy, ha radiánban akarjuk írni,

akkor írhatjuk úgy, hogy 120°・(π rad / 180°).

a fokkal lehet egyszerűsíteni, 12 osztva 18-cal az 2/3,

és így (2π)/3 radián a megoldás.

Úgyhogy ez itt fent egyenlő (2π)/3 radiánnal.

Hasonlóan ahhoz, ahogy már láttuk az arkusz szinusz és arkusz tangens videókban is,

mondhatnánk, hogy a cos((2π)/3) = -1/2.

Ezt le is írhatom: cos((2π)/3)=-1/2.

Ez ugyanaz az információ, mint ez a fenti.

De mehetnék tovább az egységsugarú körön és megállhatnék például ennél a pontnál is,

ennek a szögnek a koszinusza is -1/2. Ha pedig mennék még 2π-t, megint visszaérkeznék az első ponthoz.

Szóval rengeteg olyan szög van, aminek ha a koszinuszát venném akkor -1/2-et kapnék.

Emiatt muszáj lesz valami határt szabni, hogy milyen értékeket vehet fel az arkusz koszinusz függvény.

Végeredményben az értékkészletét fogjuk korlátozni.

Erre a felső félkörre korlátozzuk, az I. és II. síknegyedre.

Szóval ha azt mondjuk, hogy arccos(x) = θ,

és az értékeket korlátozzuk a két első síknegyedre,

tehát 0 ≤ θ ≤ π ... nem 2π, csak π,

ami ugyanaz, mint 0° és 180°,

ezzel korlátoztuk magunkat erre a félkörre itt felül,

így ez az egyetlen pont, ahol a szög koszinusza -1/2.

Ez a másik szög nem fog működni, mert az értékkészletünkön kívül esik.

És milyen értékeket vehet fel az x?

Azt tudjuk, ha bármilyen szög koszinuszát vesszük, az eredmény -1 és 1 között lesz.

Ez alapján az arccos függvény értelmezési tartománya: -1 ≤ x ≤ 1.

Ellenőrizzük is a munkánkat! Nézzük meg,

hogy az arccos(-1/2) valóban 2π/3-e a TI-85-ös számológépünkkel számolva is!

Bekapcsolom, és beírom, hogy inverz koszinusz – ami ugyanaz, mint arkusz koszinusz – -1/2, avagy -0,5.

Ezt a furcsa tizedes törtet kapom.

Nézzük meg, hogy ez ugyanaz-e, mint a 2π/3!

2⋅π/3 valóban egyenlő ugyanazzal a számmal.

Tehát a számológép is azt a számot kapta, amit én.

De ez egy használhatatlan szám... na jó, nem használhatatlan, mert teljesen helyénvaló válasz,

de nem egy szép alakja a számnak, ránézésre én nem tudtam volna, hogy ez 2π/3 radián.

Viszont az egységkört használva megkaptuk a pontos választ.

Hadd kérdezzek egy érdekeset ezzel kapcsolatban! Ez a kérdés az összes ilyen függvényre vonatkozik.

Ha fognám az arccos(x)-et, és az egész koszinuszát venném,

akkor ez mivel lesz egyenlő?

Hát, ezt a kifejezést itt úgy is írhatnám,

hogy az arccos(x)= Θ, ami azt is jelenti, hogy cos(Θ)=x.

És, ha arccos(x)=Θ, akkor a helyére behelyettesítem Θ-t,

és így a cos(Θ) pedig maga az x lesz,

tehát az egész x lesz. Remélem, nem zavartalak össze.

A lényeg, hogy az arccos(x) az egy szög, amit hívjunk most thétának!

A definíció alapján ez azt jelenti, hogy cos(Θ)=x,

ez két ekvivalens állítás itt lent.

Szóval, ha ide fentre Θ-t írok, a cos(Θ) muszáj, hogy egyenlő legyen x-szel.

Most hadd tegyek fel egy kicsit cselesebb bónusz kérdést!

Azt tudjuk, hogy ez a fenti kifejezés bármilyen x értékre igaz,

ha az x -1 és 1 között van, a két végpontot is beleértve.

Nézzük meg, mi lenne, ha azt kérdezném, hogy mivel egyenlő az arccos(cosΘ)!

A válaszunk az, hogy a thétától függ. Ha théta az arkusz koszinusz értékkészletén belül esik,

azaz ha théta 0 és π között van,

ami az arkusz koszinusz értékkészlete,

akkor az eredmény maga théta lesz. Ez csak ezen az intervallumon BELÜL igaz.

De mi lenne, ha théta az intervallumon KÍVÜL esne?

Próbáljuk ki mindkét esetet! Vegyünk először egy olyat, ahol théta az intervallumon BELÜL van!

Vegyük az arkusz koszinuszát valaminek, amit ismerünk,

vegyük az arccos(cos(2π/3))-t!

Ebből arccos(-1/2) lesz, mert a cos(2π/3)= -1/2.

Ezt az előbb számoltuk ki együtt,

és azt mondtuk, hogy a megoldás 2π/3.

Ha az értékkészleten BELÜL vagyunk, ahol théta 0 és π között van, ott ez működik.

Ez azért van, mert az arkusz koszinusz függvény értékei csak 0 és π között lehetnek.

Mi lenne viszont, ha azt kérdezném, hogy mivel egyenlő arccos(cos(3π))?

Ha ide rajzolnám az egységkört a tengelyekkel,

akkor hol lesz a 3π?

A 2π az egy teljes kör, utána megyek még egy π-t,

úgyhogy végül itt fogok megállni másfél kör után.

Mi az x koordináta itt 3π-nél? Mínusz 1.

Szóval cos(3π)= -1. Akkor mi az arccos(-1)?

Ne felejdd, az arkusz koszinusz függvény csak I. és II. síknegyedbeli szögeket adhat eredményül!

Az eredmények csak π és 0 között lehetnek.

Szóval az arccos(-1) eredménye csak π lesz, nem pedig 3π.

Ez nem egy légből kapott válasz, mert a π és a 3π közötti különbség nem más,

mint egy fordulat az egységsugarú körön.

Végül is az egységkör azonos pontjára esik mindkét szög.

Gondoltam, megmutatom ezeket. Az egyik egészen hasznos,

nem ez a lenti, hanem amelyiket itt feljebb csináltunk:

az, hogy a cos(arccos(x)) mindig x lesz. Ez a szinuszra is igaz: a sin(arcsin(x)) is mindig x.

Ezek hasznos dolgok, de nem kell őket fejből megtanulni, nehogy később rosszul emlékezz,

elég, ha kicsit átgondolod, és nem fogod elfelejteni soha.