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Inverse Trig Functions: Arccos

  • 0:00 - 0:08
    저는 이미 arcsin과
    arctan에 대한 영상을 만들었었고
  • 0:08 - 0:11
    이제 완성도를 위해
  • 0:11 - 0:13
    arccos에 대해 설명하고자 합니다
  • 0:13 - 0:17
    그리도 다른 삼각함수의 역수처럼
  • 0:17 - 0:20
    arccon은 같은 과정을 거칩니다
  • 0:20 - 0:27
    만약 제가 여러분께
    arccos x = θ라고 한다면
  • 0:27 - 0:30
    만약 제가 여러분께
    arccos x = θ라고 한다면
  • 0:30 - 0:35
    이 문장은 cos x의 역함수 값이
    θ라는 것과
  • 0:35 - 0:37
    같은 뜻의 문장입니다
  • 0:37 - 0:41
    이들은 똑같은 것을
    다른 방법으로
  • 0:41 - 0:42
    나타낸 것입니다
  • 0:42 - 0:46
    그리고 다음에 제가
    또 다른 삼각함수의 역수를
  • 0:46 - 0:49
    설명한다면
    저는 바로 이걸 떠올릴 것입니다
  • 0:49 - 0:50
    설명한다면
    저는 바로 이걸 떠올릴 것입니다
  • 0:50 - 0:54
    제 뇌는 바로 이게 말하는 것은
  • 0:54 - 1:00
    어떤 θ의 cos값을 구한다면
    x가 나올 것이라고요
  • 1:00 - 1:02
    아니면 위의 문장을 얘기할 것입니다
  • 1:02 - 1:05
    다른 함수들도 이런 과정을 거칩니다
  • 1:05 - 1:09
    만약 제가 cos x의
    역함수를 구한다면
  • 1:09 - 1:13
    제 뇌는 어떤 수의 cos 값이 x인지를
    떠올릴 것입니다
  • 1:13 - 1:16
    예시를 풀어보겠습니다
  • 1:16 - 1:23
    예를 들어 arccos(-1/2)을
    구한다고 합시다
  • 1:23 - 1:29
    예를 들어 arccos(-1/2)을
    구한다고 합시다
  • 1:29 - 1:31
    제 뇌는 이 값이 어떤 각도와
    같다는 것을 떠올릴 것입니다
  • 1:31 - 1:33
    제 뇌는 이 값이 어떤 각도와
    같다는 것을 떠올릴 것입니다
  • 1:33 - 1:38
    그리고 이 문장은
    그 각도의 cos 값이
  • 1:38 - 1:42
    -1/2라는 것도 알고 있습니다
  • 1:42 - 1:44
    그리고 이 문장을 떠올리게 된다면
    최소한 제 뇌에서는
  • 1:44 - 1:47
    더욱더 과정이 쉬워질 것입니다
  • 1:47 - 1:50
    그렇다면 답을 찾기 위해
    단위원을 그리도록 하겠습니다
  • 1:50 - 1:52
    그렇다면 답을 찾기 위해
    단위원을 그리도록 하겠습니다
  • 1:52 - 1:56
    그렇다면 답을 찾기 위해
    단위원을 그리도록 하겠습니다
  • 1:56 - 1:59
    만약 자를 두고 그린다면
    더 쉽게 그리겠네요
  • 1:59 - 2:01
    만약 자를 두고 그린다면
    더 쉽게 그리겠네요
  • 2:01 - 2:02
    봅시다
  • 2:02 - 2:03
    이 방법은 너무 어렵네요
  • 2:03 - 2:10
    봅시다
    이게 y축입니다
  • 2:10 - 2:16
    똑바른 축은 아니지만
    계속 진행하겠습니다
  • 2:16 - 2:18
    단위원을 그리겠습니다
  • 2:18 - 2:21
    원보다 타원을 더 닮았지만
    이해하셨기를 바랍니다
  • 2:21 - 2:26
    그리고 단위원에서
    정의되는 각도의 cos은
  • 2:26 - 2:28
    단위원의 x값입니다
  • 2:28 - 2:31
    그래서 이 각도를 대입시키면
  • 2:31 - 2:33
    x값은 -1/2일 것입니다
  • 2:33 - 2:37
    그래서 여기가 -1/2입니다
  • 2:37 - 2:41
    그리고 θ값을 구하기 위한 각도는
  • 2:41 - 2:46
    x값이 -1/2일 때
    단위원과 교차하는 각도입니다
  • 2:46 - 2:47
    x값이 -1/2일 때
    단위원과 교차하는 각도입니다
  • 2:47 - 2:49
    봅시다
    이 각도가 구해야 할 각도입니다
  • 2:49 - 2:51
    봅시다
    이 각도가 구해야 할 각도입니다
  • 2:51 - 2:55
    이 값이 우리가 구할 θ입니다
  • 2:55 - 2:56
    어떻게 구할 수 있을까요?
  • 2:56 - 2:59
    이건 -1/2입니다
  • 2:59 - 3:01
    다른 각도들도 구해보겠습니다
  • 3:01 - 3:03
    저는 이 부분에 있는 각도를 구해보겠습니다
  • 3:03 - 3:05
    저는 이 부분에 있는 각도를 구해보겠습니다
  • 3:05 - 3:08
    이 각도를 구하기 위해서는
    이 각도를 180에서 빼서
  • 3:08 - 3:13
    이 문제의 해답인
    하늘색 각도를 구해보겠습니다
  • 3:13 - 3:15
    이 문제의 해답인
    하늘색 각도를 구해보겠습니다
  • 3:15 - 3:18
    먼저 삼각형을 약간 확대해보겠습니다
  • 3:18 - 3:22
    그래서 이 삼각형은 이렇게 보입니다
  • 3:22 - 3:25
    그래서 이 삼각형은 이렇게 보입니다
  • 3:25 - 3:30
    이 거리는 1/2입니다
  • 3:30 - 3:33
    이 부분의 거리가 1/2입니다
  • 3:33 - 3:36
    이 부분의 거리는 1입니다
  • 3:36 - 3:38
    여러분이 짐작하였듯이
    이 삼각형의 각도는 각각
  • 3:38 - 3:40
    30, 60, 90 삼각형입니다
  • 3:40 - 3:41
    여러분은 마지막 변도
    구할 수 있을 것입니다
  • 3:41 - 3:44
    마지막 변의 길이는 √3/2일 것입니다
  • 3:44 - 3:46
    그리고 이 변의 길이를 구하기 위해서는
  • 3:46 - 3:48
    피타고라스의 정리가 이용됩니다
  • 3:48 - 3:49
    사실, 이걸 다르게 부르겠습니다
  • 3:49 - 3:52
    이 부분은 a라고 부르겠습니다
  • 3:52 - 3:55
    따라서 a² + 1/4는 1²
    즉 1일 것입니다
  • 3:55 - 3:59
    따라서 a² + 1/4는 1²
    즉 1일 것입니다
  • 3:59 - 4:04
    따라서 a²는 3/4일 것이고
    이말은 즉
  • 4:04 - 4:07
    a가 √3/2임을 뜻합니다
  • 4:07 - 4:10
    그래서 이 삼각형은
    30°, 60°, 90°를 가진 삼각형입니다
  • 4:10 - 4:13
    그리고 이 삼각형의 성질 때문에
  • 4:13 - 4:17
    빗변의 길이가 각각 1, 1/2, √3/2라면
  • 4:17 - 4:20
    길이가 √3/2인 변의 반대쪽의 각도는
  • 4:20 - 4:24
    60°일 것입니다
  • 4:24 - 4:26
    이게 60°이고
    이건 90°입니다
  • 4:26 - 4:29
    이게 직각이고
    이 부분이 30°입니다
  • 4:29 - 4:30
    하지만 우리가 주목할 각도는 이 부분입니다
  • 4:30 - 4:34
    우리는 방금 이 각도가
    60°임을 알아냈습니다
  • 4:34 - 4:35
    그렇다면 이 값은 무엇일까요?
  • 4:35 - 4:38
    이 큰 각도의 값은 무엇일까요?
  • 4:38 - 4:41
    어떤 각도에서 60을 빼야 할까요?
  • 4:41 - 4:45
    180°에서 빼야 합니다
  • 4:45 - 4:49
    따라서, cos 함수의 역함수
    즉 arccos의 값은
  • 4:49 - 4:49
    적어보겠습니다
  • 4:49 - 5:01
    arccos(-1/2)의 값은 120°입니다
  • 5:01 - 5:04
    제가 180을 적어놨나요?
  • 5:04 - 5:07
    아닙니다, 이건 180 - 60입니다
    전체가 180°이고요
  • 5:07 - 5:10
    그래서 이 부분은 120°입니다
    맞나요?
  • 5:10 - 5:12
    120 + 60 = 180입니다
  • 5:12 - 5:18
    만약 라디안 값을 원한다면,
  • 5:18 - 5:26
    120° × (π라디안 ÷ 180°)을
    구하면 됩니다
  • 5:26 - 5:35
    12/18은 2/3이므로
    이 값은 2π / 3라디안입니다
  • 5:35 - 5:43
    12/18은 2/3이므로
    이 값은 2π / 3라디안입니다
  • 5:43 - 5:48
    이제, arcsin과 arctan 강의에서
    보신 것처럼
  • 5:48 - 5:53
    만약 2π/3의 cos값이 -1/2라면
  • 5:53 - 5:56
    만약 2π/3의 cos값이 -1/2라면
  • 5:56 - 6:00
    cos(2π/3) = -1/2라고
    쓸 수 있을 것입니다
  • 6:00 - 6:02
    cos(2π/3) = -1/2라고
    쓸 수 있을 것입니다
  • 6:02 - 6:04
    이 문장은 여러분에게 위의 문장과 같은
  • 6:04 - 6:05
    의미를 부여합니다
  • 6:05 - 6:08
    하지만 저는 단위원을
    계속 관찰하겠습니다
  • 6:08 - 6:10
    예를 들어, 여기 있는 부분은
    어떻게 할까요?
  • 6:10 - 6:13
    이 각도의 cos값도 이 값을 더한다면
  • 6:13 - 6:15
    -1/2가 될 것입니다
  • 6:15 - 6:18
    그리고 저는 2π의 거리를
    돌아서 되돌아올 것입니다
  • 6:18 - 6:20
    그래서 이 각도들의 cos 값은
  • 6:20 - 6:23
    -1/2일 것입니다
  • 6:23 - 6:25
    이제 우리는 arccos 함수가
    가질 수 있는 값을
  • 6:25 - 6:29
    제한해야 할 것입니다
  • 6:29 - 6:30
    제한해야 할 것입니다
  • 6:30 - 6:33
    그러니까 치역을 제한하는 것입니다
  • 6:33 - 6:36
    그러니까 치역을 제한하는 것입니다
  • 6:36 - 6:40
    치역을 상반구로
  • 6:40 - 6:42
    즉 첫 번째와 두 번째 사분면으로
    제한합니다
  • 6:42 - 6:52
    만약 x의 arccos 값이
    θ와 같다고 한다면
  • 6:52 - 6:53
    θ의 범위를
    여기까지 제한해야 할 것입니다
  • 6:53 - 6:55
    θ의 범위를
    여기까지 제한해야 할 것입니다
  • 6:55 - 7:00
    그래서 θ는 0보다 크고
  • 7:00 - 7:06
    2π보다 작거나 같아야 할 것입니다
  • 7:06 - 7:10
    2π가 아니라 π입니다
    죄송합니다
  • 7:10 - 7:14
    0보다 크고
    π보다 작거나 같아야 합니다
  • 7:14 - 7:17
    0은 0도이고
    π는 180도를 뜻합니다
  • 7:17 - 7:21
    다시 말해서 식의 범위를
    이렇게 줄인 것입니다
  • 7:21 - 7:23
    다시 말해서 식의 범위를
    이렇게 줄인 것입니다
  • 7:23 - 7:25
    그리고 이 점은 각도의 cos 값이
  • 7:25 - 7:27
    -1/2가 되는 유일한 점입니다
  • 7:27 - 7:29
    이 각도는 범위에 벗어나기 때문에
  • 7:29 - 7:31
    계산할 수 없습니다
  • 7:31 - 7:33
    그렇다면 x의 유효한 값은 무엇일까요?
  • 7:33 - 7:36
    모든 각도에 대한 cos 값은
  • 7:36 - 7:38
    -1과 1 사이일 것입니다
  • 7:38 - 7:44
    따라서, arccos 함수에 대한 x는
  • 7:44 - 7:48
    1보다 같거나 작고
  • 7:48 - 7:51
    -1보다 같거나 클 것입니다
  • 7:51 - 7:53
    지금까지 한 것을 확인해보겠습니다
  • 7:53 - 7:56
    -1/2의 arccos 값은
  • 7:56 - 8:00
    TI-85를 사용해
    -2π/3으로 계산했습니다
  • 8:00 - 8:03
    TI-85를 사용해
    -2π/3으로 계산했습니다
  • 8:03 - 8:04
    이렇게 값이 나옵니다
  • 8:04 - 8:07
    그래서 저는 cos의 역함수, 즉
  • 8:07 - 8:16
    -0.5의 arccos 값을
    구해야 합니다
  • 8:16 - 8:19
    이 값은 이상한 숫자들로
    이루어졌습니다
  • 8:19 - 8:22
    이 값이 -2π/3과 같은 값인지
    확인해보겠습니다
  • 8:22 - 8:28
    -2π/3의 값은
    다음과 같습니다
  • 8:28 - 8:29
    정확히 같습니다
  • 8:29 - 8:31
    이 계산기가
    저에게 정확한 값을 준 것입니다
  • 8:31 - 8:33
    하지만 이 방법은 필요없습니다
  • 8:33 - 8:34
    이 수가 필요없는 건 아닙니다
  • 8:34 - 8:36
    이 수도 정답입니다
  • 8:36 - 8:39
    하지만 정확한 답은 아닙니다
  • 8:39 - 8:42
    저는 이 수가 -2π/3인 줄 몰랐습니다
  • 8:42 - 8:44
    그리고 이 식들을 이용하면
  • 8:44 - 8:47
    답을 얻을 수 있습니다
  • 8:47 - 8:49
    여러분에게
    이 문제의 마지막을
  • 8:49 - 8:51
    설명드리고자 합니다
  • 8:51 - 8:53
    그러기 위해서는
    이 모든 식들이 적용됩니다
  • 8:53 - 8:59
    제가 여러분에게
  • 8:59 - 9:05
    cos( arccos x)의 값을 묻는다면
    어떻게 할까요?
  • 9:05 - 9:10
    cos( arccos x)의 값을 묻는다면
    어떻게 할까요?
  • 9:10 - 9:14
    사실 문장의 이 부분은
  • 9:14 - 9:20
    arccos x가 θ와 같다는 것이고
  • 9:20 - 9:27
    그 말은 cos θ = x라는 것입니다
  • 9:27 - 9:30
    그래서 만약 arccos x가
    θ와 같다면
  • 9:30 - 9:33
    이 값을 θ로 대체할 수 있습니다
  • 9:33 - 9:36
    그리고 cos θ = x이기 때문에
  • 9:36 - 9:38
    위 식의 값은 x일 것입니다
  • 9:38 - 9:40
    여러분이 햇갈리지 않았길 바랍니다
  • 9:40 - 9:43
    제 말은, 괄호 안의 값이 θ가 되고
  • 9:43 - 9:47
    함수들의 정의에 의해
    cos θ = x가 되는 것입니다
  • 9:47 - 9:48
    함수들의 정의에 의해
    cos θ = x가 되는 것입니다
  • 9:48 - 9:50
    두 식은 같은 의미를
    지니고 있습니다
  • 9:50 - 9:54
    두 식은 같은 의미를
    지니고 있습니다
  • 9:54 - 9:56
    만약 여기 θ 값을 넣는다면
  • 9:56 - 9:59
    θ의 cos 값이 되고
    이는 x와 같습니다
  • 9:59 - 10:03
    이제 추가로
    더 어려운 질문을 해보겠습니다
  • 10:03 - 10:07
    만약 제가 여러분에게
    x에 대해 질문한다면
  • 10:07 - 10:08
    물론 이 식에 들어가는
    모든 x에 대해서입니다
  • 10:08 - 10:12
    -1과 1 사이에 있는
    임의의 값 x에 대하여
  • 10:12 - 10:15
    이 식은 성립이 됩니다
  • 10:15 - 10:21
    이제 제가 arccos(cos θ)는
    무엇인지 묻는다면요?
  • 10:21 - 10:25
    이제 제가 arccos(cos θ)는
    무엇인지 묻는다면요?
  • 10:25 - 10:27
    이 값은 무엇과 같을까요?
  • 10:27 - 10:31
    제 정답은
    θ에 의해 달라진다는 것입니다
  • 10:31 - 10:36
    그래서 만약 θ가
    범위 안에 있다면
  • 10:36 - 10:44
    만약 θ가 0과 π 사이에 있다면
  • 10:44 - 10:50
    arccos을 구할 수 있을 것이고
  • 10:50 - 10:54
    그 값이 이 조건식을 성립한다면
    그 값은 θ일 것입니다
  • 10:54 - 10:56
    그 값이 이 조건식을 성립한다면
    그 값은 θ일 것입니다
  • 10:56 - 10:58
    하지만 조건식을
    성립하지 않는다면 어떨까요?
  • 10:58 - 11:00
    제가 해결해보겠습니다
  • 11:00 - 11:04
    예를 들어서 조건식을 성립하는
    θ를 이용하겠습니다
  • 11:04 - 11:10
    아는 각으로
    cos의 arccos를 계산해보죠
  • 11:10 - 11:11
    아는 각으로
    cos의 arccos를 계산해보죠
  • 11:11 - 11:13
    2π / 3로 해보겠습니다
  • 11:13 - 11:14
    2π / 3로 해보겠습니다
  • 11:14 - 11:17
    2π / 3로 해보겠습니다
  • 11:17 - 11:20
    cos 2π/3를 사용하면 이는
  • 11:20 - 11:25
    arccos -1/2과 같습니다
  • 11:25 - 11:27
    cos 2π/3 = -1/2입니다
  • 11:27 - 11:30
    이 영상의 초반부에서
    이미 보았죠
  • 11:30 - 11:31
    그리고 이걸 풀었었습니다
  • 11:31 - 11:34
    이게 π/3이라고 했습니다
  • 11:34 - 11:38
    θ가 0과 π 안에
    있으면 괜찮습니다
  • 11:38 - 11:40
    그리고 이는 arccos 함수의 범위가
  • 11:40 - 11:43
    0과 π 사이에서만 유효하기 때문입니다
  • 11:43 - 11:52
    제가 arccos(cos 3π)가
    무엇인지 묻는다면 어떻게 할까요?
  • 11:52 - 11:59
    제가 arccos(cos 3π)가
    무엇인지 묻는다면 어떻게 할까요?
  • 11:59 - 12:01
    제가 여기서
    단위원을 그려보면
  • 12:01 - 12:03
    제가 여기서
    단위원을 그려보면
  • 12:03 - 12:05
    그리고 이게 축입니다
  • 12:05 - 12:06
    3π는 무엇인가요?
  • 12:06 - 12:09
    2π는 한 바퀴를 의미합니다
  • 12:09 - 12:12
    그리고 반 바퀴를 더 돌아서
    여기 멈추게 되기 때문에
  • 12:12 - 12:15
    한 바퀴 반입니다
  • 12:15 - 12:16
    그래서 이게 3π입니다
  • 12:16 - 12:18
    x좌표는 어디 있나요?
  • 12:18 - 12:20
    이게 -1입니다
  • 12:20 - 12:23
    그러면 3π의 cos은 -1입니다
  • 12:23 - 12:27
    그렇다면 -1의 arccos은 무엇입니까?
  • 12:27 - 12:30
    -1의 arccos은
  • 12:30 - 12:34
    -1의 arccos은
  • 12:34 - 12:38
    상반구로 범위가 제한되어 있습니다
  • 12:38 - 12:45
    즉 값이 π와 0 사이로
    제한되어 있다는 것입니다
  • 12:45 - 12:48
    그래서 -1의 arccos은 π일 것입니다
  • 12:48 - 12:51
    그래서 이건 π일 것입니다
  • 12:51 - 12:54
    -1의 arccos 값은 π입니다
  • 12:54 - 12:56
    -1의 arccos 값은 π입니다
  • 12:56 - 12:58
    그리고 이는 신뢰성 있는 문장입니다
    왜냐하면
  • 12:58 - 13:02
    π와 3π의 차이는 그래프를
    몇 바퀴 도는 것이기 때문입니다
  • 13:02 - 13:03
    π와 3π의 차이는 그래프를
    몇 바퀴 도는 것이기 때문입니다
  • 13:03 - 13:05
    단위원에서 같은 지점에 있는 것이죠
  • 13:05 - 13:07
    단위원에서 같은 지점에 있는 것이죠
  • 13:07 - 13:09
    그래서 저는 이 값들은
    신경쓰지 않습니다
  • 13:09 - 13:11
    하지만 이 값들은
    쓸모있는 값들입니다
  • 13:11 - 13:13
    위에 써놓겠습니다
  • 13:13 - 13:15
    이 값들은 중요합니다
  • 13:15 - 13:18
    cos(arccos x)의 값은
    언제나 x일 것입니다
  • 13:18 - 13:21
    이는 sin으로도 표현이 가능합니다
  • 13:21 - 13:28
    sin(arcsin x)의 값은
    또한 x일 것입니다
  • 13:28 - 13:32
    이건 유용한 것들로
    잘못 외울 수 있으니
  • 13:32 - 13:33
    그냥 외우지 마시고
  • 13:33 - 13:35
    잠시 생각해보시기
    바라겠습니다
  • 13:35 - 13:38
    그러면 절대
    잊지 않을 것입니다
Title:
Inverse Trig Functions: Arccos
Description:

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
13:38

Korean subtitles

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