Using Trig Functions

Using Trigonometric functions to solve the sides of a right triangle

Сейчас мы решим несколько примеров, которые покажут,

чем тригонометрические функции так полезны.

Так что давайте начнём решать.

Скажем, у меня есть вот этот прямоугольный треугольник.

Это прямой угол.

И скажем, что этот угол равен

π/4 радиан.

Я напишу «рад» для краткости.

Этот угол равен π/4, и я также

знаю, что эта сторона треугольника – эта сторона

вот здесь - равна 10√2.

Итак, я знаю, чему равна эта сторона треугольника.

Я знаю, что этот угол равен π/4 радиан.

Теперь вопрос: чему же равна эта сторона треугольника?

Я выделю это оранжевым.

Давайте разберёмся, что же мы знаем, и что

нам нужно узнать.

Мы знаем этот угол – π/4.

Если вы переведёте его в

градусы, то получите 45°.

А еще мы знаем… что это за сторона?...

Это гипотенуза треугольника, правильно?

А что мы пытаемся выяснить?

Мы ищем гипотенузу, прилежащий

или противолежащий катет?

Ну, это гипотенуза, как мы уже знаем.

Это противолежащий катет, противоположная сторона, да?

А эта жёлтая сторона - это прилежащий катет, не так ли?

Он прилегает к этому углу.

То есть мы знаем угол, мы знаем гипотенузу и мы хотим

найти прилежащий катет.

Давайте я задам вам вопрос:

какая тригонометрическая функция связана с

прилежащим катетом и гипотенузой?

Потому что наш прилежащий катет - это то, что

мы хотим найти, а гипотенузу мы уже знаем.

Давайте освежим в памяти нашу мнемоническую аббревиатуру:

SOH-CAH-TOA (sin, cos, tan)

В каком из них фигурирует прилежащий катет и гипотенуза?

Правильно.

Это CAH.

Что здесь означает буква «С»?

«С» обозначает косинус.

Косинус угла – какого угодно угла – равен

прилежащему катету, деленному на гипотенузу.

Давайте используем эту информацию, чтобы найти, чему

равна эта оранжевая сторона.

Мы знаем, что cosπ/4 – оставим в радианах –

должен быть равен этой смежной

стороне вот здесь -

(Давайте назовём её просто А, от англ. «adjacent») -

деленной на гипотенузу.

Гипотенуза - это вот эта сторона.

В задаче, нам дано, что она равна 10√2.

Так мы можем найти А, умножив обе стороны

этого уравнения на 10√2.

И мы получим… правильно ведь,

если мы просто умножим на 10√2,

эти вот сокращаются… да, верно.

И потом умножаем на 10√2 здесь.

Получаем: А=10√2*cos π/4.

Возможно, вы скажете: "Э не, не похоже, чтобы это было очень уж

просто, тем более я не знаю, чему равен cos π/4».

Что же делать?

Никто не держит все значения тригонометрических функций в голове.

Существуют несколько способов.

1.Я могу просто дать вам значение cosπ/4.

Это то, что дано в задаче.

2.Или вы могли бы настроить ваш калькулятор на радианы,

ввести π/4 и узнать, что это равно примерно

0,79, а потом нажать на кнопку косинуса.

Теперь вы узнали, зачем она там вообще нужна.

Так вы получите значение.

3.Или как раньше решали такие задачи,

посмотреть в тригонометрические таблицы, в которых можно найти,

чему равен cosπ/4.

Поскольку сейчас у меня ничего такого нет,

я просто скажу вам, чему равен cosπ/4.

cosπ/4=(√2)/2.

Поэтому А – прилежащий катет –

равен (10√2)*((√2)/2).

Помните, что пытаясь получить (√2)/2, вы можете

немного запутаться.

Вы будете спрашивать себя: "Откуда это взялось?"

Всё, что я сказал - это то, что cosπ/4=(√2)/2.

И это не что-то, что вы… ну, вообще-то этот пример вы

могли знать заранее, т.к. здесь стандартный угол, 45 градусов.

И всё же люди обычно это не зазубривают.

Эту информацию можно найти, или она дана

в задаче, или вы можете использовать калькулятор.

Калькулятор, конечно, не выдаст вам (√2)/2.

Он покажет десятичную дробь и то, что

она равна (√2)/2, не будет очевидным.

Но, в любом случае, я сказал вам, что cosπ/4=(√2)/2.

Теперь перемножим: (√2)*((√2)/2).

Чему равен √2*√2?

Это 2.

Так это будет 2, тогда эти двойки сокращаются.

И всё, кроме 10ти, сокращается.

Поэтому прилежащий катет равен 10.

Давайте решим ещё одну.

Давайте я удалю это.

Секунду.

Вообще-то, это один из немногих уроков,

в котором я не придумываю задачи на ходу, т.к. мне нужно

убедиться, что у меня есть значения тригонометрических функций

до того, как я начну решать задачу.

Итак, скажем, что у меня есть другой прямоугольный треугольник.

Наверное, мне не стоило убирать тот треугольник.

Посмотрим, вот это мой прямоугольный треугольник.

Сколько у меня осталось времени? Около 4 минут.

Должно хватить.

Это мой прямоугольный треугольник.

И я знаю угол – назовём это...

Я знаю, что этот угол равен 0,54 радиан.

Также я знаю, что длина этой стороны равна 3 единицам.

И я хочу выяснить длину этой стороны.

Итак, что нам известно?

Ну, какое отношение имеет эта сторона к этому углу?

Она противоположна ему, правильно?

Потому что угол здесь и сторона находится напротив угла.

То есть противолежащий катет.

А эта сторона?

Это прилежащий катет или же гипотенуза?

Это гипотенуза, не так ли?

Длинная сторона напротив прямого угла.

Тогда оставшаяся сторона – это прилежащий катет.

Какая тригонометрическая функция использует противолежащий и прилежащий катеты?

Давайте снова запишем аббревиатуру SOH-CAH-TOA.

SOH-CAH-TOA.

TOA включает оба катета.

Т обозначает тангенс, не так ли?

TOA.

Тангенс равен отношению противолежащего катета (ОР) к прилежащему (Adj).

Давайте используем это.

Возьмём тангенс 0,54 радиан.

tan(0,54) радиан будет равен отношению противолежащего катета...

то есть три, да?...

противолежащий катет равен 3…

к прилежащему катету.

Опять же, прилежащий катет мы как раз и не знаем.

Т.е. нам нужно найти А.

Если мы умножим обе стороны на А, мы получим, что tan(0,54)…

мы можем умножать на А, потому что знаем, что катет не равен 0, он равен 3.

Следовательно А=3/tan(0,54).

Опять так, я не запоминал, чему равен tan(0,54),

но я вам скажу, чему он равен, потому что вы тоже

не помните.

Или вы могли бы использовать калькулятор, чтобы узнать значение,

если он поддерживает функцию радиан.

tan(0,54) равен… позвольте мне проверить,

прав ли я…

да, верно.

Tan(0,54)=3/5.

Тогда A=3/(3/5).

Правильно, прилежащий катет… давайте еще раз, откуда

взялись эти 3/5?

Я просто сказал вам.

Или вы могли использовать калькулятор, чтобы узнать,

что tan(0,54)=3/5.

Конечно, я использую числа, с которыми удобно работать,

так чтобы все дроби сокращались.

Теперь мы знаем, что прилежащий катет равен… когда вы

делите что-то на дробь, это всё равно, что умножить число на обратную дробь, т. е. на 5/3.

Поэтому прилежащий катет равен 5.

Вот. Сокращаем.

Давайте посмотрим на алгоритм моих действий.

Сначала я смотрю, какие стороны мне даны и

какую сторону мне надо найти.

В этом случае мне был дан противолежащий катет,

а найти мне нужно было прилежащий.

Потом я говорю: "А какая тригонометрическая функция затрагивает эти две стороны?"

Прилежащую и противолежащую..

Я записываю нашу аббревиатуру SOH-CAH-TOA

и вижу: "О! ТОА подходит."

Opposite (противолежащая) и adjacent (смежная).

Поэтому я беру тангенс угла.

Потом я говорю, что тангенс угла равен отношению

противолежащего катета к прилежащему.

Он находится, вот здесь.

А потом я просто решаю уравнение и нахожу прилежащий катет.

И, конечно, я пользуюсь калькулятором или говорю вам,

чему равен тангенс 0,54.

Думаю, в следующем видео я решу ещё парочку таких

задач, но пока что время истекло.

Удачи.