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RKA4 - Olá, pessoal! Tudo bem?
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Vamos dizer que
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você tenha uma função multivariável
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\\\que dessa vez tem entradas dimensionais bem
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altas,
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\\\então x1', x2' e vai, vai, vai, até
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que chegue em xn',
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\\\n sendo um
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número longo.
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Nos últimos vídeos vêm
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sendo falado sobre o operador Laplaciano
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\\\que é um jeito de pegar a sua função
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de valor escalar F no qual te dará uma
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nova função de valor escalar
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\\\e que também é como uma segunda derivada
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\\\porque pega a divergência do gradiente de
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sua função f.
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Então o gradiente de f dá
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um campo vetorial
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\\\e a divergência disso
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nos dá um campo escalar.
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O que eu quero
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mostrar aqui é que existe uma outra
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fórmula que você provavelmente vai ver
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para esse operador Laplace.
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Primeiro
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vamos escrever aqui de forma abstrata
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como o gradiente de f iria se parecer.
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Iniciamos ao pegar esse operador del no
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qual vai ser um vetor cheio de
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operadores de diferencial parcial, parcial
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em relação a x1',
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parcial em relação a x2',
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\\\indo até que chegue na parcial
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em relação com a última variável de entrada.
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E então você multiplica pela sua função.
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O que terá no final serão todas as
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derivadas parciais de f,
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\\\a parcial de f em
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relação a primeira variável
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e depois vai,
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vai, vai até conseguir a parcial derivada
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de f em relação a última variável xn'.
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A divergência disso...
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\\\bem, para
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me salvar um pouco de escrever isso aqui,
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\\\você vai pegar o operadora nabla*** e
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pegar o produto escalar entre todo
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operador
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\\\e esse vetor Gradiente que
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temos aqui.
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O que você consegue no
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final é...
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Vamos iniciar
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multiplicando os primeiros componentes
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\\\que envolvem pegar a derivada parcial em
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relação a x1', a primeira variável da
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derivada parcial de F,
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\\\em relação a mesma
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variável.
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Assim parece como a
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segunda derivada parcial de f em relação
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a x1,
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a primeira variável.
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Depois você
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adiciona qual o produto entre esses dois
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próximos itens vai ser
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Por razões bem
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semelhantes, isso vai parecer com a
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segunda parcial derivada de f em relação
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a segunda variável, parcial de x2'².
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E você fará isso com todos os
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outros até o último.
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Então temos mais
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coisas aqui,
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e uma outra série de coisas,
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\\\e chegamos então na segunda derivada
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parcial de f em relação a última
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variável, parcial de xn'².
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Esse é um outro tipo de
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formato que você provavelmente vai ver
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no operador Laplaciano.
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Algumas vezes
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será também escrito de forma compacta.
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Então o Laplaciano de sua função f é igual a...
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Usando a notação sigma diremos que
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a soma vinda de iii*** é igual a 1, sabe?
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1, 2, 3 até n.
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Então a soma disso até
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n de nossas segundas parciais
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derivadas, parciais ao quadrado de f com a
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variável iii,
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\\\então a soma disso até n
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de nossa segundas parciais derivadas,
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\\\parcial ao quadrado de f com a variável iii.
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Então estamos pensando aqui em termos
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de três variáveis: antes, x1, x2, x3 iríamos
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escrever x, y e z,
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\\\mas é mais comum
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escrever, geralmente, só xiii***.
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Isso aqui
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é uma fórmula alternativa que você
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provavelmente vai ver para o operador de
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Laplace.
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Pessoalmente, eu sempre gosto
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de pensar sobre isso como pegar a
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divergência do Gradiente de f
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\\\porque você
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está pensando sobre o campo Gradiente
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\\\e a divergência disso corresponde com o
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máximo e o mínimo da sua função original.
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Inclusive foi isso que foi falado no
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vídeo da intuição inicial de Laplace,
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\\\mas
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essa fórmula provavelmente é mais direta
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quando se diz para calcular, dado algum
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exercício que você venha a ter.
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Isso também
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deixa mais claro como o operador de
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Laplace é como uma extensão da ideia da
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segunda derivada.
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E é isso, pessoal.
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Espero
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que tenham aprendido e até a próxima!
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