Fórmula explícita do Laplaciano

RKA4JL - Olá, pessoal! Tudo bem?

Vamos dizer que você tenha uma função multivariável

que dessa vez tem entradas dimensionais bem altas,

então x₁, x₂ e vai, vai, vai,
até que chegue em xₙ,

n sendo um número longo.

Nos últimos vídeos vem sendo falado
sobre o operador Laplaciano,

que é um jeito de pegar a sua
função de valor escalar f

o qual dará uma nova função de valor escalar
e que também é como uma segunda derivada,

porque pega a divergência
do gradiente de sua função f.

Então o gradiente de f dá um campo vetorial

e a divergência disso nos dá um campo escalar.

O que eu quero mostrar aqui
é que existe uma outra fórmula

que você provavelmente vai ver
para esse operador Laplace.

Primeiro vamos escrever aqui de forma abstrata
como o gradiente de f iria se parecer.

Iniciamos ao pegar esse operador del

o qual vai ser um vetor
cheio de operadores de diferencial parcial,

parcial em relação a x₁,
parcial em relação a x₂,

indo até que chegue na parcial
em relação à última variável de entrada.

E então você multiplica pela sua função.

O que terá no final serão
todas as derivadas parciais de f,

a parcial de f em relação
à primeira variável

e depois vai, vai, vai até conseguir a parcial derivada de f
em relação à última variável, xₙ.

A divergência disso...

bem, para me salvar um pouco de escrever isso aqui,

você vai pegar o operador ∇ [nabla]
e pegar o produto escalar entre todo operador

e esse vetor gradiente que temos aqui.

O que você consegue no final é...

Vamos iniciar multiplicando os primeiros componentes

o que envolve pegar a derivada parcial em relação a x₁,
a primeira variável da derivada parcial de f,

em relação à mesma variável.

Assim parece como a segunda derivada parcial de f
em relação a x₁, a primeira variável.

Depois você adiciona qual o produto
entre esses dois próximos itens vai ser.

Por razões bem semelhantes,

isso vai parecer com a segunda parcial derivada de f
em relação à segunda variável, parcial de x₂².

E você fará isso com todos os outros até o último.

Então temos mais coisas aqui,
e uma outra série de coisas,

e chegamos então na segunda derivada parcial de f
em relação à última variável, parcial de xₙ².

Esse é um outro tipo de formato
que você provavelmente vai ver no operador Laplaciano.

Algumas vezes vai ser escrito
também de forma compacta.

Então o Laplaciano de sua função f é igual a...

Usando a notação sigma, diremos
que a soma vinda de ⅈ é igual a 1, sabe?

1, 2, 3 até n.

Então a soma disso até n
de nossas segundas parciais derivadas,

parciais ao quadrado de f com a variável ⅈ,

então a soma disso até n
de nossa segundas parciais derivadas,

parcial ao quadrado de f com a variável ⅈ.

Então estamos pensando aqui
em termos de três variáveis:

antes, x₁, x₂, x₃
iríamos escrever x, y e z,

mas é mais comum escrever, geralmente, só xⅈ.

Isso aqui é uma fórmula alternativa
que você provavelmente vai ver para o operador de Laplace.

Pessoalmente, eu sempre gosto de pensar sobre isso
como pegar a divergência do gradiente de f

porque você está pensando sobre o campo gradiente

e a divergência disso corresponde com o máximo
e o mínimo da sua função original.

Inclusive foi isso que foi falado no vídeo
da intuição inicial de Laplace,

mas essa fórmula provavelmente é mais direta
quando se diz para calcular,

dado algum exercício que você venha a ter.

Isso também deixa mais claro como o operador de Laplace
é como uma extensão da ideia da segunda derivada.

E é isso, pessoal.

Espero que tenham aprendido
e até a próxima!