Partial fraction decomposition to find sum of telescoping series

В това видео ще се опитаме
да сметнем тази сума,

да сметнем сумата от
–2 върху (n +1)(n + 2)

за n от 2 до безкрайност.

Ако искаме да видим как изглежда
това, то започва с n = 2.

Когато n = 2, това е –2/(2 + 1),

което е 3, по (2 + 2), което е 4.

Когато n = 3, това е –2 върху
3 + 1, което е 4,

по 3 + 2, което е 5.

И продължаваме в този дух,
–2 върху 5 по 6.

Продължаваме така
до безкрайност.

Сега изглежда очевидно,
че всеки следващ член

става по-малък.

И намаляват доста бързо.

Затова е логично да
приемем, че макар

да имаме безкраен брой членове,
това всъщност е крайна сума.

Но не ми хрумва, поне
както го гледам по този начин,

каква би могла да е тази сума
или как мога да я намеря.

Предлагам ти да спреш
видеото на пауза.

Ще ти подскажа как да
разсъждаваш по това.

Изрови спомените си за метода
на неопределените коефициенти,

или разлагане на елементарни дроби по метода
на неопределените коефициенти,

за да представиш този израз
като сбор от две дроби.

Това може да ти помогне
за намирането на тази сума.

Предполагам, че опита.

Сега да преработим
този израз.

Да видим мога ли да го представя
като сума от две дроби.

Това е –2 върху...

ще използвам различни
цветове – (n + 1) (n + 2).

Спомняме си от метода
на неопределените коефициенти,

че можем да представим това
като сбор от две дроби,

като А/(n + 1) плюс В/(n + 2).

Защо можем да направим това?

Ако събираме две дроби,

търсим общ знаменател,

който е кратен на двата
знаменателя.

Това очевидно е кратно
на тези два знаменателя.

В метода на неопределените
коефициенти научихме, че

каквото и да имаме тук горе,
особено понеже степента

е по-ниска от степента долу,
каквото и да имаме горе,

то ще бъде с по-ниска степен
от знаменателя.

Този член е от първа степен
по отношение на n,

така че тези членове тук
са константи.

Сега да намерим А и В.

Ще ги съберем...

ще напиша и двете дроби
с еднакви знаменатели.

Ще представим А като (n + 1) ,

но нека да умножим числителя
и знаменателя по (n + 2).

Умножаваме числителя по
(n + 2) и знаменателя по (n + 2).

Не промених стойността
на тази първа дроб.

Правим същото с В
върху (n + 2).

Умножаваме числителя
и знаменателя по (n + 1),

значи по (n + 1) върху (n + 1).

Отново, това не променя
стойността на тази дроб.

Като направихме това,
сега имаме общ знаменател

и можем да ги съберем.

Това ще бъде равно на
(n + 1) по (n + 2) в знаменателя.

После числителя...
ще умножа по това.

Това ще стане, като умножа по А,

става An + 2А.

Ще го запиша: An + 2А.

Сега да умножим по В,
плюс Bn + В.

Сега искам да преработя това,

като обединя всички членове,
съдържащи n.

Например за An + Bn можем
да изнесем n пред скоби.

Мога да представя това
като (А + В)n,

това са ето тези членове.

После тези два члена,
2А + В,

мога да ги оставя просто така,
2А + В.

И всичко това е върху
(n + 1)(n + 2).

Как можем да намерим
А и В?

Това тук трябва да
е равно на –2.

Тези двете трябва
да са равни.

Спомни си, ние
твърдим, че това,

което е равно на това,
е равно на това.

Това е причината
да правим всичко това.

Твърдим, че тези двете
са еквивалентни.

Правим това допускане.

Значи всичко в числителя
трябва да е равно на –2.

Как ще го решим?

Изглежда, че имаме
две неизвестни.

За да намерим две неизвестни,
ни трябват две уравнения.

Тук се оказва, че

имаме член, съдържащ n
от лявата страна.

Тук нямаме членове,
съдържащи n.

Така че можем да
използваме това,

вместо просто –2, можем
да разглеждаме това

като –2 плюс 0 по n.

Това не е "on".

Това е нула, 0, ще го
запиша така: 0 по n.

Когато го разглеждаме
по този начин,

е ясно, че (А + В)
е коефициент на n.

Той трябва да е равен на нула.

А + В трябва да е равно на 0.

И това е един вид
основното при метода

на неопределените коефициенти.

Имаме други уроци по темата,
ако искаш да преговориш това.

Константната част, 2А + В,
е равна на –2.

Сега имаме две уравнения
с две неизвестни.

Можем да ги решим по
различни начини.

Един интересен начин е
да умножим горното уравнение по –1.

Това става –А – В
е равно на...

–1 по 0 е нула.

Сега можем да съберем
тези двете.

И ни остава 2А минус А,
плюс В минус В.

Тези се унищожават.

Това е равно на –2.

Щом А е равно на –2,
А + В е равно на 0,

тогава В трябва да е равно на 2.

–2 плюс 2 е равно на 0.

Намерихме А. После заместваме
обратно тук.

Сега можем да преработим
всичко това тук.

Можем да го представим
като сума от... всъщност,

ще го променя малко.

Ще напиша крайна сума
вместо безкрайна.

И после можем да намерим
границата за безкрайност.

Ще го преработя ето така.

Това е сумата за n от 2,
но вместо до безкрайност,

просто ще напиша до N.

После можем да намерим границата,
когато клони към безкрайност.

Вместо да напиша това, мога
да напиша ето това тук.

Значи А е равно на –2.

Това е –2 върху (n + 1).

В е равно на 2,
плюс В върху (n + 2).

Отново, изразих това
като крайна сума.

По-късно можем да намерим
границата, когато N

клони към безкрайност,
да видим колко е това.

О, извинявам се,
вече няма да пиша В.

Знаем, че В е 2,
значи 2/(n + 2).

Как ни помага това?

Да направим това,
което направихме горе.

Да напишем на какво
е равно това.

Това е равно – когато n е 2,

това е –2/3, значи
–2/3 плюс 2/4.

Когато n е равно...
ще го направя тук долу,

защото ми свършва мястото.

Това е за n = 2.

А какво става, когато
n е равно на 3?

Когато n е равно на 3,
това ще бъде

–2/4 плюс 2/5.

А когато n = 4?

Предполагам, че виждаш
закономерността.

Да направим още едно.

Когато n = 4,

това е –2/5...
ще използвам същия син цвят –

–2/5 плюс 2/6.

И продължаваме така.

Ще превъртя малко надолу
за повече свободно място.

И продължаваме така
до N-тия член.

Значи плюс точка, точка, точка,
до N-тия член,

когато имаме –2/(N + 1) + 2/(N + 2).

Предполагам, че
забелязваш закономерността.

Обърни внимание, че при
n = 2 имаме 2/4.

За n = 3 имаме –2/4.

Тези се унищажават.

За n = 3 имаме 2/5.

Това се съкращава с –2/5
за n = 4.

Значи вторият член се
унищожава с...

втората част за всяко n
се съкращава

с първата част за
следващия индекс.

И това се случва през
цялото време,

докато n стане равно на N.

Значи това също ще
се унищожи с това пред него.

И ще ни остане
този член и този член.

Ще препиша това.

Получаваме...
трябва ми още място.

Това може да се преработи
като сбор за n от 2 до N

от –2 върху (n + 1)
плюс 2 върху (n + 2),

което е равно на – всичко
друго по средата ще се унищожи.

Остава само –2/3 плюс
2/(N + 2).

Това е голямо опростяване.

Спомни си, че първоначалната
сума, която искаме да изчислим,

която има граница N,
клонящо към безкрайност.

Да намерим границата,
когато N клони към безкрайност.

Ще го напиша ето така.

Границата, можем
да го запишем по този начин.

Границата, когато
N клони към безкрайност,

е равна на... границата,
когато N клони към безкрайност...

ние всъщност го намерихме.

Това е –2/3 + 2/(N + 2).

Когато n клони към
безкрайност, това –2/3

изобщо не зависи от n.

Членът, който съдържа 2
върху все по-нарастващо число,

върху безкрайно голямо число...

това клони към нула.

И така получаваме –2/3.

И сме готови.

Намерихме сумата
на този безкраен ред.

Това тук е равно
на –2/3.

Този тип редове се
наричат телескопични редове.

На български няма утвърден
термин за този вид редове.

Това са редове, в които общият член
е разлика на две числа и събираемите

в частичните суми взаимно се унищожават
(без първото и последното събираемо)

Телескопичен ред
е обобщаващ термин.

Ако намерим частичната сума,

тя изглежда като това тук,
където междинните членове

се унищожават взаимно.

И ни остават фиксиран
брой членове накрая.

И по двата начина,
това беше много елегантно,

дълго решение, но много
удовлетворяваща задача.