Types of discontinuities | Limits and continuity | AP Calculus AB | Khan Academy

Bu videoda cəbr və ya

riyaziyyat dərslərindən tanış olduğumuz,

ancaq sonradan birtərəfli və ikitərəfli limit

anlayışı ilə əlaqələndirdiyimiz

müxtəlif kəsilmə növləri
haqqında danışacağıq.

Gəlin əvəlcə kəsilən funksiyaların
növlərini nəzərdən keçirək.

Burada solda gördüyünüz əyri

x=3 qiymətinə çatana qədər

y bərabərdir x kvadratı funksiyasına bənzəyir.

Burada 3-ün kvadratı əvəzinə

boşluq görürük

və burada funksiya 3 qiymətində
4-də təyin olunub.

Sonra isə əyri y bərabərdir

x-in kvadratı şəklində davam edir.

Bu, nöqtə və ya

aradan qaldırıla bilən
kəsilmə nöqtəsi olaraq bilinir.

Bu, aydın səbəblərdən belə adlandırılıb.

Bu nöqtə kəsilmə nöqtəsidir.

Funksiyanı yenidən həmin

nöqtədə təyin etsək, onda o, kəsilməz olacaq.

Bu kəsilmə nöqtəsi aradan qaldırıla bilər.

Onda bu kəsilməz funksiyanın tərifi ilə

necə əlaqəlidir?

Gəlin kəsilməzliyin tərifini xatırlayaq.

Əgər

f funksiyası

x-in

c qiymətində

təyin olunubsa və

limit x c-yə yaxınlaşdıqda,

f(x) funksiyanın c-dəki
qiymətinə bərabər olarsa,

o zaman kəsilməz olur.

Bəs bu, niyə o şərti ödəmir?

Əslində, burada 2 tərəfli limit mövcüddur.

Bu halda c-nin 3 olduğunu desək,

limit

x 3-ə yaxınlaşdıqda

f(x),

bunu vizual şəkildə yoxlasaq,

əslində bilirəm ki, buradakı

kəsilmə nöqtəsi xaric bu, y bərabərdir
x kvadratının qrafikidir.

Onda 9-a bərabər olacaq.

Problem isə ondadır ki, qrafikdəki qiymətlə

funksiyanın qiyməti eyni deyil.

f(3)-ün qiyməti

qrafikə əsasən

4-ə bərabərdir.

Bu halda, ikitərəfli limit mövcuddur, amma

bu funksiyanın qiymətinə bərabər deyil.

Bəzi hallar ola bilər ki,

funksiya ümumiyyətlə orada təyin olunmayıb,

yəni, hətta bu, burada yoxdur.

Dediyimiz kimi
ola bilər ki, limit mövcuddur,

amma funksiya orada təyin olunmayıb.

Beləliklə, bu hal kəsilməzliyin

şərtinə uyğun deyil.

Bu, aradan qaldırıla bilən kəsilmənin

limit tərifinə görə

niyə kəsilən olduğunun izahı idi.

Gəlin indi ikinci nümunəyə baxaq.

Əgər kəsilməzlik testinə baxsaq,

bunu izləsək,

görəcəyik ki, x-in iki nöqtəsinə
çatanda

funksiyanın ardını çəkə bilmək
üçün qələmi lövhədən çəkməliyəm.

Kəsilən funksiyalar üçün bu, yaxşıdır.

Biz bunu burada da görürük.

Əgər bu funksiyanı davam etdirmək
istəyirəmsə, qələmimi çəkməliyəm.

Yoxsa, bu nöqtəyə gedə bilmərəm.

Aşağıya gəlib

buradan davam etməliyəm.

Beləliklə, hər iki halda mən
qələmi çəkməliyəm.

Beləliklə, intuitiv olaraq, kəsiləndir.

Kəsilmənin bu növündə,

harada ki, mən bir nöqtədən
digərinə keçirəm

və aşağıdan davam edirəm

bu, sıçrayışlı

kəsilmə

adlanır.

Bu isə aradan qaldırıla bilən kəsilmə nöqtəsidir.

Bu, limitlə necə əlaqəlidir?

Burada sağ və sol limitləri mövcuddur,

ancaq onlar eyni deyillər,

yəni ikitərəfli limitimiz yoxdur.

Məsələn, xüsusilə bunun üçün,

bütün x dəyərləri və x ikiyə bərabər halı da daxil,

qrafik y bərabərdir x-in kvadratıdır.

Onda x-in 2 dən böyük halı üçün,

bu, x-in kökaltı funksiyasının qrafikidir.

Bu halda,

əgər

limit

x

2-yə

soldan

yaxınlaşırsa,

f(x) 4-ə bərabər olacaq,

bu qiymətə yaxınlaşırıq.

Bu, əslində funksiyanın qiymətidir.

Əgər x sağdan 2-yə

yaxınlaşdıqda f(x)-in limitini götürürsünüzsə,

bu nəyə bərabər olacaq?

Sağdan yaxınlaşdıqda,

bu əslində x-in kvadrat köküdür,

yəni bu, 2-nin kvadrat kökünə yaxınlaşır.

Sadəcə buna baxaraq bunun

2-nin kvadrat kökü olduğunu bilməyəcəksiniz.

Mən bilirəm,

çünki Desmosda işləyəndə

təyin etdiyim funksiya bu idi.

Amma bu, gözlə görüləcək şəkildə aydındır ki,

iki fərqli qiymətə yaxınlaşırsınız,

soldan və

sağdan yaxınlaşırsınız.

Baxmayaraq ki, təktərəfli limit mövcuddur,

onlar eyni qiymətə yaxınlaşmırlar,

yəni ikitərəfli limit mövcud deyil.

Əgər ikitərəfli limit
mövcud deyilsə,

funksiya orada təyin
olunmuş olsa belə,

bu, funksiyanın oradakı qiymətinə
bərabər ola bilməz.

Buna görə də, sıçrayışlı kəsilmə
bu testi keçə bilmir.

Bir daha yenidən qeyd edim ki, bu intiutivdir.

Görürsünüz ki, mən sıçrayış etdim,

qələmimi çəkdim.

Bu iki əyri bir-birinə bağlı deyil.

Nəhayət ki, siz burada

riyaziyyatda keçdiyiniz

2-ci növ

kəsilmə kimi

tanınan

funksiya

görürsünüz.

Burada bir asimptotunuz var.

Bu, x-i ikiyə bərabər olan şaquli asimptotdur.

Əgər qrafiki

soldan izləsəm,

sadəcə ilərləməyə davam edəcəm.

Əslində, bunun bir sonu yoxdur,

sonsuzluğa qədər davam edir,

mən soldan x bərabər 2-yə yaxınlaşdıqca

bu, sərhədsiz olacaq.

Əgər x-in 2-yə bərabər olduğu
hala sağdan yaxınlaşsam,

yenidən sonsuzluq əldə edəcəyəm.

Mən bunun sonsuzluğa getdiyini və

sərhədsiz olduğunu bildiyim halda

izləməyə davam etmək

mümkün deyil.

Ancaq qələmi çəkmədən

burdan buraya keçməyin mümkün olmadığını
bilirik.

Əgər siz bunu limit anlayışı ilə

əlaqələndirmək istəyirsinizsə,

hər iki sol və sağ limitlər sərhədsizdir,

yəni onlar əslində mövcud sayılmırlar.

Əgər onlar mövcud deyillərsə,
onda bu şərtlər də ödənmir.

Əgər

limit x 2-yə soldan

yaxınlaşsa idi,

f(x)-in sərhədsiz olaraq mənfi istiqamətə
getdiyini deyə bilərdik.

Bəzən bunu mənfi sonsuzluq

kimi yazırlar.

Bu, riyaziyyatda çox da düz deyil.

Bunun daha doğru yolu sadəcə

sərhədsiz olduğunu yazmaqdır.

Əgər limit

x 2-yə

sağdan yaxınlaşırsa,

f(x)

müsbət sonsuzluğa doğru sərhədsiz olacaq.

Bir daha

bu da həmçinin,

bu da sərhədsizdir.

Bu, sonsuz olduğundan

və limit mövcud olmadığından,

şərtləri ödəmir.

Yəni kəsilən olacaq.

Beləliklə, bu, aradan qaldırıla bilən kəsilmə,

bu, sıçrayışlı kəsilmə, sıçrama edirik,

sonda isə bu, asimptotlarla,

yəni ikinci növ kəsilmədir.