Types of discontinuities | Limits and continuity | AP Calculus AB | Khan Academy

V tomto videu si povíme
něco o různých typech nespojitosti,

které jste nejspíše už
viděli během algebry nebo jinde,

řekneme si, jak souvisí s našimi znalostmi
jednostranných a oboustranných limit.

Nejprve se podívejme,
jaké nespojitosti rozlišujeme.

Tady vlevo
můžete vidět,

že tato křivka vypadá jako graf
y rovná se x na druhou,

dokud se nedostaneme
do bodu x rovno 3,

v němž máme místo hodnoty
3 na druhou tuto díru

a funkční hodnota v
bodě 3 je místo toho 4,

ale pak pokračuje dál jako
y rovná se x na druhou.

Tomuto říkáme odstranitelná
nespojitost, a to ze zjevných důvodů,

protože když v tomto bodě
dochází k nespojitosti,

snadno si dokážete představit, jak funkci
v bodě dodefinovat tak, aby byla spojitá,

takže tato nespojitost
je odstranitelná.

Ale jak to souvisí s
naší definicí spojitosti?

Připomeňme si
naši definici spojitosti:

řekneme, že f je spojitá,
právě tehdy, když…

Ještě bychom měli napsat,
že jde o spojitost v bodě x rovno ‚c‘.

Právě tehdy, když je limita f pro x jdoucí
k ‚c‘ rovna funkční hodnotě v bodě ‚c‘.

Proč tomu
tohle nevyhovuje?

Oboustranná
limita existuje.

Pokud řekneme, že ‚c‘ je
v tomhle případě rovno 3,

tak je limita pro x
blížící se ke 3 z funkce f(x)…

Vypadá to, když se
podíváme na graf,

a já ve skutečnosti vím, že jde o graf y
rovná se x na druhou, až na nespojitost,

že tato limita je rovna 9.

Ale problémem je,
že tak jak je graf nakreslený,

nejde o totéž číslo
jako funkční hodnota.

Funkční hodnota f(3)…

Tak jak je funkce
znázorněna se f(3) rovná 4.

Takže jsme v situaci, kdy
oboustranná limita existuje,

ale nerovná se
funkční hodnotě.

V jiných příkladech se vám může stát,
že funkce zde ani nebude definovaná.

Takže tohle
by zde nebylo.

V tom případě by limita opět existovala,
ale funkce by zde nebyla definovaná,

takže ani v jednom případě
nesplníme tuto podmínku spojitosti.

A to je důvodem,

proč odstranitelná nespojitost v bodě
není spojitá podle naší definice.

Nyní se podívejme
na druhý příklad.

Když zkusím spojitost
posoudit intuitivně tak,

že kreslím graf
tužkou na papíře,

vidíme, že jak se dostanu
do bodu x rovno 2,

musím zvednout tužku
a až pak dál kreslit.

Takže to nám napovídá,
že zde dochází k nespojitosti.

Vidíme, že i kdybych
tady kreslil tužkou,

tak musím zvednout tužku,
abych mohl skočit k bodu dole,

a pak bych pokračoval
v kreslení nahoře.

V obou případech bych
zvedl tužku z papíru.

Intuitivně je zde
tedy nespojitost.

Tomuto konkrétnímu
typu nespojitosti,

kdy z jednoho bodu skáču na
druhý, abych mohl pokračovat dál,

říkáme nespojitost
1. druhu.

A tohle je
odstranitelná nespojitost.

Jak to souvisí
s limitami?

V tomto případě limity
zleva a zprava existují,

ale nerovnají se sobě, takže
oboustranná limita neexistuje.

V tomto konkrétním
případě platí,

že pro všechna x až do 2 včetně
jde o graf funkce y rovná se x na druhou

a pro x větší než 2
jde o graf odmocniny z x.

Za těchto okolností se limita z f(x)
pro x blížící se ke 2 zleva rovná 4.

Blížíme se k této hodnotě,
což je dokonce i funkční hodnota.

Ale když budeme hledat limitu z f(x)
pro x blížící se ke 2 zprava,

čemu se bude rovnat?

Blížíme se zprava, tohle
je graf odmocniny z x,

tedy se blížíme
k odmocnině ze 2.

Samozřejmě jen z pohledu na
graf nepoznáte, že jde o odmocninu ze 2.

Já to vím jen proto, že když jsem vytvářel
tento obrázek, použil jsem tuto funkci.

Ale už jen od
pohledu je jasné,

že když se blížíme zprava a zleva,
jdeme vždy k jiné hodnotě.

A tak i když jednostranné limity
existují, nerovnají se tomu samému,

takže oboustranná
limita neexistuje.

A když oboustranná limita neexistuje,
tak se určitě nerovná funkční hodnotě,

i když je zde funkce
definovaná.

Proto nespojitost 1. druhu
nesplňuje tuto podmínku.

Je to opět
intuitivní.

Vidíme, že musím
udělat skok,

musím zvednout tužku, protože
tyto body nejsou propojené.

A nakonec tady máme to,
čemu se často říká nespojitost 2. druhu.

Nespojitost 2. druhu.

Intuitivně vidíme, že
zde máme asymptotu,

jde o svislou asymptotu
procházející bodem x rovno 2.

Kdybych zkoušel tužkou kreslit graf,
zleva bych takto šel dál a dál,

vlastně bych to dělal věčně,
hodnoty by neomezeně klesaly,

jak bych se zleva čím dál tím
víc blížil k bodu x rovno 2.

Kdybych se k bodu x rovno 2 blížil
zprava, tak bych šel neomezeně nahoru.

Ale i kdybych mohl…

Když říkám neomezeně,
tak to jde do nekonečna,

takže je ve
skutečnosti nemožné,

aby běžný smrtelník za svůj
život nakreslil celý graf.

Ale víte,
co myslím.

Určitě se odsud sem nedostanu bez toho,
aniž bych zvedl tužku z papíru.

Pokud toto chceme spojit s
našimi znalostmi limit,

tak obě jednostranné
limity jsou nevlastní,

takže řekneme,
že neexistují,

a tudíž nemůžeme
splnit tuto podmínku.

Takže limita f(x) pro
x blížící se ke 2 zleva,

vidíme, že jdeme neomezeně
záporným směrem,

takže občas uvidíte někoho napsat
něco jako toto: záporné nekonečno.

Toto je ale
spíše intuitivní zápis,

matematicky přesnější je říci,
že limita je nevlastní.

Rovněž limita f(x) pro x blížící se
ke 2 zprava jde neomezeně dál a dál,

tentokrát ke kladnému
nekonečnu.

Tato limita je
tedy opět nevlastní.

Protože je nevlastní,
tak tato limita neexistuje

a nemůže tak splnit tuto podmínku,
tudíž dochází k nespojitosti.

Takže tohle je odstranitelná nespojitost,
nespojitost 1. druhu, když takhle skáču,

a když máme takovouto svislou asymptotu,
tak je to nespojitost 2. druhu.