-
..
-
Velkommen til presentasjonen
av ubestemte integraler
-
eller den antideriverte.
-
Vi starter med repetisjon av den
-
deriverte.
-
Så hvis jeg tar d/dx.
-
Det er bare derivasjonssymbolet.
-
Hvis jeg skulle derivere uttrykket x i andre
-
- denne er enkel, hvis du
husker derivasjonsvideoen.
-
- denne er enkel, hvis du
husker derivasjonsvideoen.
-
Vel, dette er ganske lett.
-
Du tar bare eksponenten.
-
Som blir den nye koeffisienten.
-
Du multipliserer den med
den gamle koeffisienten,
-
men her er den gamle koeffisienten 1,
så 2 ganger 1 er lik 2.
-
Og så tar du variabelen 2x.
-
Og så blir den nye eksponenten
en mindre enn
-
den gamle eksponenten.
-
Så det blir 2x i første eller bare 2x.
-
Det var lett.
-
Hvis jeg hadde y lik x i andre,
vet vi nå at stigningstallet til et
-
punkt på den kurven ville være 2 x.
-
Så hva om vi ønsket å
gå den andre veien?
-
Hvis vi begynte med 2 x,
og jeg spurte
-
Hva er 2x den deriverte av?
-
Vel, vi vet svaret på dette
spørsmålet, ikke sant?
-
Fordi vi deriverte x i andre
-
og det ble 2x.
-
Men tenk om vi ikke allerede visste dette.
-
Du vet det kanskje allikevel,
-
når du deriverer sånn vi nettopp gjorde,
-
hvordan du da kan gå motsatt vei.
-
Så var det notasjonen--
vi vet det er x i andre--
-
men notasjonen når vi finner
hva 2x er den deriverte av,
-
la oss si 2x er den deriverte av y.
-
la oss si 2x er den deriverte av y.
-
Så 2x er den deriverte av y.
-
Vi fjerner dette.
-
Så vi kan si.
-
Vi kan si at y er lik-- og nå får du se en
-
ganske fancy notasjon, og
jeg skal forklare hvorfor
-
vi bruker denne notasjonen i
en senere presentasjon.
-
Men du må vite hva notasjonen betyr
-
eller hva du da skal gjøre,
-
altså finne den antideriverte eller
det ubestemte integralet.
-
Så vi kan si at y er lik det ubestemte
-
integralet 2x dx.
-
Og jeg skal forklare hva denne
krokete linja her er og dx,
-
men det du må vite er at
når du ser den krokete linja
-
og denne dx, og så noe
i mellom, så vil de
-
at du finner den antideriverte
av dette uttrykket.
-
at du finner den antideriverte
av dette uttrykket.
-
Og jeg skal forklare senere
hvorfor dette kalles
-
det ubestemte integralet.
-
Og denne notasjonen gir mye mer mening
-
når jeg viser deg hva et bestemt integral er.
-
Men foreløbig er et
-
ubestemt integral--som jeg
tegnet her, en slags
-
krokete linje--det er den antideriverte.
-
Så y er lik den antideriverte,
-
eller det ubestemte integralet
til uttrykket 2x.
-
Så hva er y lik?
-
y er åpenbart lik x i andre.
-
La meg stille deg et spørsmål.
-
Er y bare lik x i andre?
-
Vi deriverte, og den deriverte
-
av x i andre er 2x.
-
Men hva er den deriverte av
x i andre - hva er den
-
deriverte av x i andre pluss 1?
-
..
-
Vel, den deriverte av x i andre er fortsatt 2x.
-
Hva er den deriverte av 1?
-
Riktig, den deriverte av 1 er 0,
så det er 2x pluss
-
0, eller bare 2x.
-
Og tilsvarende, hva er den deriverte
av x i andre pluss 2?
-
Vel, den deriverte av x i andre pluss 2 er
-
også 2x pluss 0.
-
Så merk deg at den deriverte av
x i andre pluss
-
en konstant er 2x.
-
Så egentlig er y lik x i andre
pluss en konstant.
-
Og istedet for en konstant,
setter vi en stor C der.
-
Så x i andre pluss C.
-
Og du vil møte mange lærere som gir deg
-
minus hvis du glemmer å sette
pluss C når du regner
-
et ubestemt integral.
-
Så sier du, Sal, OK, du har
vist meg noen notasjoner,
-
du har minnet meg på at den
deriverte av alle konstanter
-
er 0, men dette hjelper meg ikke med å løse
-
et ubestemt integral.
-
La oss finne en systematisk måte
-
for å løse et
-
ubestemt integral.
-
Jeg fjerner dette.
-
..
-
Jeg tror at en tøffere farge
kan gjøre dette mer interessant.
-
.
-
La oss si at y er lik det ubestemte integralet--
-
Jeg må gjøre det mer interessant.
-
La oss si det ubestemte integralet av x i tredje dx.
-
Vi ønsker å finne funksjonen som har
-
x i tredje som derivert.
-
Hvordan finner vi den?
-
Din intuisjon sier kanskje at det må være
-
noe ganger x i noe, ikke sant?
-
La oss si at y er lik x i nte.
-
Så hva er dy/dx, eller den deriverte av y i nte.
-
Vi husker dette fra derivasjonsdelen.
-
Du tar eksponenten og multipliserer
den med koeffisienten.
-
Så det er a ganger n.
-
.
-
Og da er det x i (n - 1).
-
Vel, her vil det si at x i tredje er
-
dette uttrykket, det er den deriverte av y.
-
Dette er lik x i tredje.
-
Så hvis dette er lik x i tredje,
hva er a og hva er n?
-
Vel, n er lett å finne.
-
n minus 1 er lik 3.
-
Så da er n lik 4.
-
Og hva er a lik?
-
Vel, a ganger n er lik 1,
fordi vi bare har en 1
-
i denne koeffisienten. Denne en koeffisient lik 1.
-
Så a ganger n er lik 1.
-
Hvis n er lik 4, må a være lik 1/4.
-
.
-
Så ved å bruke denne definisjonen på
den deriverte, har vi nå
-
funnet ut hva y er lik.
-
y er lik 1/4 x i fjerde.
-
Jeg tror du kan se et mønster her.
-
Vel hvordan kom vi fra x i tredje til
-
1/4 x i fjerde?
-
Vel, vi økte eksponenten med 1, og den nye
-
eksponenten multipliserer vi med 1
delt på den nye eksponenten.
-
Kan vi lage en generell regel her?
-
.
-
Ja selvfølgelig, pluss C.
-
Jeg hadde strøket på denne prøven.
-
Vi lager en generell regel.
Hvis jeg har integralet til--
-
vel, siden vi allerede har
en a, la oss si b
-
ganger x i nte dx.
-
Hva er dette integralet?
-
Dette er et integraltegn.
-
Min nye regel er, jeg øker
eksponenten til x med 1, så
-
det blir x i (n pluss 1).
-
Og så multipliserer jeg x med
den inverse av dette tallet.
-
Så ganger 1 delt på (n pluss 1).
-
Og selvfølgelig hadde jeg
denne b hele tiden.
-
Og en dag skal jeg gjøre et bedre bevis
-
for hvorfor denne b
bare skal multipliseres.
-
for hvorfor denne b
bare skal multipliseres.
-
Egentlig trenger vi ikke et
bedre bevis hvis du bare
-
husker hvordan vi deriverer,
du bare multipliserer denne
-
med eksponenten minus 1.
-
Så her multipliserer vi
koeffisienten med 1 over
-
eksponenten pluss 1.
-
Det er bare den inverse operasjonen.
-
Så la oss ta et par raske eksempler.
-
Jeg har litt tid igjen.
-
Jeg synes at eksempler,
i hvert fall for meg,
-
er best for forståelsen.
-
Vi vil løse integralet
-
5 x i syvende dx.
-
Vel, jeg tar eksponenten
og øker den med en.
-
Så får jeg x i åttende, og deretter
multipliserer jeg koeffisienten
-
med 1 delt på nye eksponenten.
-
Så det blir 5/8 x i åttende.
-
Og hvis du ikke tror meg,
kan du derivere denne.
-
Finn den deriverte d/dx av 5/8 x i åttende.
-
Du multipliserer 8 med 5/8.
-
Vel det er lik 5 x i--
og den nye eksponenten
-
blir 8 minus 1 -- 5 x i syvende.
-
Og selvfølgelig, pluss C.
-
Jeg må ikke glemme pluss C.
-
Jeg håper du nå forstår litt av
hvordan dette fungerer.
-
I den neste presentasjonen
vil jeg gjøre mange eksempler,
-
og jeg vil også vise deg
hvordan du går
-
motsatt vei.
-
Og deretter vil vi lære integrasjon av deler,
-
som bare er å reversere produktregelen.
-
Ser deg i den neste presentasjonen.
-
.
