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Washer method rotating around non-axis

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    이제 아주 재미있는 부분입니다
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    y=x 그래프와
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    y=x²-2x 그래프가 있습니다
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    이 두 그래프 사이 공간을
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    회전시켜 보겠습니다
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    이 빗금 친 부분이죠
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    그냥 x축이 아니라
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    y=4 를 축 삼아 회전시킵시다
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    이렇게 수평으로요
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    그러면 이런 물체가 나옵니다
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    옆에 미리 그려 두었어요
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    보다시피 바닥에 구멍이 있는
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    꽃병처럼 생겼습니다
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    이걸 이용해서 우리는
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    원판법의 일종인
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    와셔법을 배울 겁니다
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    먼저 와셔 모양을 만듭니다
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    임의의 x값을 잡아 봅시다
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    이쯤에 두어 보죠
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    이 임의의 x를 이용해서
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    이 부분을
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    회전시키는 겁니다
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    회전시키려면 범위가 있어야겠죠
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    그 x값의 범위를 dx라 합시다
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    이 dx를 y=4를 중심으로
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    회전시킵니다
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    이 물체에는 이만큼의 깊이가 생깁니다
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    이 물체의 안쪽 빈 공간의 반지름은
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    와셔의 안쪽 반지름과 같죠
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    이렇게 생겼을 겁니다
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    이렇게 생겼을 겁니다
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    그리고 와셔의 바깥쪽 반지름은
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    y = x²-2x 를 따라 바뀌겠죠
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    그러면 이렇게
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    가능한 열심히 그리고 있답니다
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    이렇게 생기게 될 겁니다
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    이렇게 생기게 될 겁니다
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    그리고 높이도 필요하겠죠
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    그것도 그려 봅시다
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    dx만큼의 높이가 있겠죠
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    최대한 열심히 그렸어요
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    분홍색으로 높이를 표현했고요
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    좀더 명확히 보이도록
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    와셔 단면에 녹색 빗금을 칠게요
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    알아보기 쉽고
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    설명에 도움이 되게끔요
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    임의의 x에 대한 와셔 면적이 중요해요
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    만약 주어진 x값에 대한
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    와셔의 부피를 구할 수 있다면
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    전체 부피를 구하려면 모든 x값에 대한
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    와셔 부피들을 더하면 되겠죠
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    적분식을 한번 세워봅시다
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    그러면 다음 영상에서는
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    식에 따라 계산하면 되니까요
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    와셔의 부피를 구해봅시다
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    부피를 구하려면
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    와셔의 단면의 넓이부터
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    생각해 봐야겠죠
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    와셔의 단면은
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    무슨 값과 같을까요?
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    윗면은 동전 모양처럼 생겼죠
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    바깥쪽의 원 넒이에서
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    안쪽 빈 부분의 넓이만큼을
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    빼 줘야 합니다
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    만약 가운데에
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    빈 부분이 없었다면
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    그저 π × (바깥쪽 원의 반지름)² 이었겠죠
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    그저 π × (바깥쪽 원의 반지름)² 이었겠죠
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    여기 이만큼을
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    바깥쪽 반지름이라고 표현했어요
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    그리고 와셔의 빈 안쪽 부분의
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    넓이도 빼 줘야겠죠
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    -π × (안쪽 반지름)²
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    즉 바깥 반지름과 안쪽 반지름
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    이 두 반지름을 알아내면 되겠습니다
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    생각해 봅시다
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    바깥쪽 반지름의 값은 무엇일까요?
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    여기서 눈으로 볼 수 있죠
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    이만큼이 바깥쪽 반지름이네요
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    아래 이 값도 마찬가지고요
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    y=4 와 도형 겉 부분을
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    정의하는 함수 사이의 길이이죠
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    정의하는 함수 사이의 길이이죠
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    즉 근본적으로 이 높이는
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    4-(x²-2x) 라고 할 수 있습니다
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    두 가지 함수값을 사용해
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    정의내릴 수 있겠죠
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    그러면 바깥 반지름은
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    4-(x²-2x)이고
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    즉 4-x²+2x 와 같습니다
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    그럼 안쪽 반지름은 어떨까요?
  • 4:00 - 4:05
    그럼 안쪽 반지름은 어떨까요?
  • 4:05 - 4:07
    어떻게 정의할 수 있을까요?
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    안쪽 반지름은 y=4와
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    y=x 그래프간의 차이와 같습니다
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    그럼 4-x로 표현가능하겠죠
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    그럼 4-x로 표현가능하겠죠
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    이제 어떤 x값에 대한 와셔 윗면의 넓이를
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    이렇게 표현할 수 있겠네요
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    이 식들을 이용해서
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    π × (바깥쪽 반지름)²을
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    위에 정리한 식을 사용해서
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    π(4-x²+2x)² 에
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    -π × (안쪽 반지름)² 은
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    위의 식을 이용해서
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    바꾸게 되면
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    -π(4-x)² 로 쓸 수 있습니다
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    이 식을 이용해서
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    와셔들의 단면 넓이를 구할 수 있습니다
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    와셔의 부피를 구하고자 한다면
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    와셔 높이 dx 만큼의 부피를 구하면 되겠죠
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    와셔 높이 dx 만큼의 부피를 구하면 되겠죠
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    이 물체 전체의 부피를 구하려면
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    모든 와셔의 부피를 x에 대해 구하고
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    다 더해주면 되겠습니다
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    이제 해 봅시다
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    x가 0으로 수렴할 때 각 x값들에 대한
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    와셔들의 부피를 더할 겁니다
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    먼저 적분구간을 정확히 정의해야겠죠
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    우리는 이 두 그래프가 서로 만나는
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    두 x값 사이 부분을 구하는 거니까
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    두 x값 사이가 적분구간이죠
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    그러려면 어느 값에서
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    y=x 와 y=x²-2x가 만나는지
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    구하면 됩니다
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    구하면 됩니다
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    보기쉽게 다른 색으로 쓸게요
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    언제 y=x와 y=x²-2x 그래프가
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    서로 만나는지 봅시다
  • 5:46 - 5:49
    서로 만나는지 봅시다
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    양변에 동일하게 존재하는 값이
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    x이므로
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    양변에서 x를 빼 주면
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    0=x²-3x 네요
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    여기서 우변을 x로 묶어 주면
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    0=x(x-3) 이 되죠
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    x의 해를 구하려면
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    둘 중 한 값이 0이어야 하니까
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    x나 (x-3)이 0이 되어야겠죠
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    그러면 x=0 이거나 x-3=0 이네요
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    즉 여기가 x=0 이고
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    여기가 x=3 입니다
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    이만큼이 적분구간이네요
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    그럼 x=0 에서부터
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    x=3 까지의 부피를 구하면 되겠네요
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    다음 동영상에서
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    이 식대로 계산을 해 보겠습니다
  • 6:36 - 6:38
    커넥트 번역 봉사단 | 이선진
Title:
Washer method rotating around non-axis
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:37

Korean subtitles

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